安徽省皖江名校联盟2025-2026学年高一上学期期中联考数学A试题（Word版附解析）

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考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作
答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值的概念以及交集，可得答案.
【详解】．
故选：B．
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由特称命题的否定为全称命题即可得.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：D.
3. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则当（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数为奇函数，利用已知解析式求得对称区间解析式即可.
【详解】当时，，则，
即，因此．
故选：B．
4. “，且”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义判断.
【详解】若，且，则且成立，
即“，且”是“且”的充分条件；
反之，若“”，则，且或，且．而，且时，，不满足，所以，且.
所以“，且”是“且”的必要条件
因此“，且”是“且”的充要条件．
故选：C．
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 由1，2，3组成的集合可表示为或
B. 空集是集合的子集
C. 代数式的值组成的集合是
D. 集合与集合是同一个集合
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合元素的性质，结合子集的性质、同一集合的定义逐一判断即可.
【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对．
空集是任何非空集合的子集，B对．
当时，；
当或时，；
当时，C对．
是点集，是数集，D错．
故选：D
6. 若，且，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式确定函数零点，从而确定，时函数值的正负从而排除选项即可得结论.
【详解】由于时，，
当时，由知，，排除AD．
当时，由知，，排除B．
故选：C．
7. 形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（ ）
A. ①②④B. ②③④C. ①③④D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】利用代入法，结合奇函数的定义、单调性的性质逐一判断即可.
【详解】由题意得解得．
定义域是．
因为，所以是奇函数．①错．
因为均在和内单调递减，
所以在内单减，没有最小值．②对③错．
由得，．④对，
故选：D
8. 若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性，结合绝对值的性质进行求解即可.
【详解】．
当时，在内单调递增，满足题意．
当时，在内单调递增，在内单调递减，不合题意．
当时，在内单调递增，满足题意．
综上知，实数的取值范围是．
故选：A．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 设，集合，集合，则（ ）
A. 或
B. 当时，
C. 当时，
D. 当且且时，
【答案】BD
【解析】
【分析】根据交、并、补的定义逐项判断.
【详解】对于A：因为，所以且A错；
对于B：当时，B对；
对于C：当时，可以为2或5，此时C错；
对于D：当且且时，D对．
故选：BD．
10. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 函数在内单调递减
B. 函数在内没有最小值
C. 函数的图象关于点对称
D. 对，函数均偶函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】由幂函数定义可得A；借助基本不等式计算可得B；借助对称性定义可得C；由偶函数定义判断D.
【详解】对A：幂函数在内单调递减，故A正确；
对B：函数，当且仅当时等号成立，
故在内有最小值，故B错误；
对C：因为，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对D：对，
又定义域为关于原点对称，故对，均为偶函数，故D正确．
故选：ACD．
11. 已知函数的定义域是，对任意实数都有，且，则（ ）
A. B.
C. 为奇函数D. 为偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】根据函数关系式，令，即可判断A；令，结合的值化简已知等式即可判断B；赋为，为，结合已知等式即可得从而可判断C，D.
【详解】令，则，故A正确；
令，则，所以，故B不正确；
赋为，为，则，
即，
所以，
若，则，与不符，所以，
于是，即为偶函数，故C不正确，D正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的值域是___________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出和的值域，进而求解.
【详解】当时，．当时，．
故函数的值域是．
故答案为：.
13. 某公司为降低成本、提高效益，引进智能机器人系统开展工作．已知购买台机器人的总成本为（单位：万元）．要使每台机器人的平均成本最低，则应买机器人___________台．
【答案】300
【解析】
【分析】由基本不等式求最值，根据等号成立条件求解.
【详解】每台机器人的平均成本为，
当且仅当，即时取等号．
因此应买300台机器人，可使每台机器人的平均成本最低．
故答案为：.
14. 已知是上的奇函数，且当时，，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】的图象关于对称．根据得到答案.
【详解】由是奇函数，得，
令，则，
故，
故
故答案为：
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知幂函数在区间内是减函数．
（1）求实数的值；
（2）求方程的解集．
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由幂函数的定义可得，从而得，从而根据单调性进行取舍最值得符合的实数的值；
（2）根据幂函数解析式列方程求解即可得解集.
【小问1详解】
得，，解得或，
当时，，在区间内是增函数，舍去，
当时，，在区间内是减函数，符合，
故.
【小问2详解】
由（1）得，则就是，
等价于，
解得或，故方程的解集是.
16. 已知函数的定义域为，函数的值域为．
（1）求集合；
（2）若，求实数的最小值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用根式要求可得，结合函数单调性可求出；
（2）由题意可得，计算即可得.
【小问1详解】
由，可得，解得，所以；
因为，则在上单调递减，
所以值域；
【小问2详解】
因为，所以，
于是，即，解得或，
又，所以．
故实数的最小值是2.
17. 设，函数．
（1）当时，求在上最小值和最大值；
（2）若方程有四个不相等的实数根，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）设，由，利用二次函数的性质求解；
（2）由有四个不相等的实数根，即为有两个不相等的正实数根求解.
【小问1详解】
设，则.
因，所以．
当时，；
当时，
【小问2详解】
由（1）知，就是，其中．
方程有两个不相等的正实数根即可，
则，且，
解得．故的取值范围是．
18. 已知函数.
（1）画出函数图像
（2）根据定义证明函数在区间上单调递增
（3）求函数在区间上的最大值和最小值
【答案】（1）函数图像见解析
（2）证明见解析 （3）.
【解析】
【分析】（1）根据题意作出函数图形；
（2）根据单调性的定义分析证明即可；
（3）根据（2）中单调性取最值即可.
【小问1详解】
画出函数的图像，如图所示：
【小问2详解】
任取，且，
则，
因为，则，可得，
则，即，
所以在上单调递增.
【小问3详解】
因为在上单调递增，则在上单调递增，
所以.
19. 函数．
（1）若不等式的解集是空集，求实数的取值范围；
（2）已知，且．
（i）若不等式恒成立，求实数的取值范围；
（ii）证明：．
【答案】（1）
（2）（i）;（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论取绝对值后可得，即可得实数的取值范围；
（2）（i）利用基本不等式计算可得，则，再分类讨论即可得；（ii）化简后借助基本不等式计算即可得.
【小问1详解】
因为，
所以，因此时不等式的解集是空集，
故实数的取值范围是；
【小问2详解】
（i）因为，
所以，
即，当且仅当时取等号，
因此的最小值是，即有，
所以，当时，有，解得，又，故；
当时，有恒成立，故；
当时，有，解得，又，故；
综上可知，实数的取值范围是；
（ii）
，
故，当且仅当时取等号.