四川省绵阳市元三维大联考2025-2026学年高三上学期第一次诊断考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市元三维大联考2025-2026学年高三上学期第一次诊断考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， “”是“函数在上单调递增”的， 已知，则等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级､姓名､考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】，，
，.
故选：C.
2. 若，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】当且，则，，A、B错，
由题设，则，且，C错，D对.
故选：D
3. 已知，则的最大值为（ ）
A. 1B. 2C. 4D.
【答案】B
【详解】，，
，当且仅当，即时等号成立，
的最大值为2.
故选：B
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】由题设，则，而，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
故选：D
5. “”是“函数在上单调递增”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】对函数求导得
当时，，此时函数在上单调递增，
所以“”是函数在上单调递增的充分条件；
令，则，即，
因为，所以，所以，经验证当时，此时，在上单调递增，符合题意，
则无法推出，
也就是说，函数在上单调递增推不出“”，
综上，“”是函数在上单调递增的充分不必要条件.
故选：A.
6. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，
所以.
故选：B
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】因为，
又因为对数函数在上单调递增，且，
所以，即.
，，由于，，且函数在上单调递增，
所以，即.
综合以上两个比较结果，可得.
故选：A
8. 在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5倍经过了10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为（ ）（参考数据：）
A. 12B. 15C. 18D. 20
【答案】C
【详解】若原来蓝藻数量为，则，可得，
令经过天后蓝藻增长为原来5倍，则，即，
可得天.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知定义在上的偶函数可导，的导数为是奇函数，则（ ）
A. B. 的一个周期为8
C. D. 的图象关于对称
【答案】BCD
【详解】因为是奇函数，所以，
令，可得，解得，A错误；
因为是偶函数，则，且，
用代替可得，即.
又，则，所以，从而有，
所以的一个周期为8，B正确；
因为是偶函数，则，两边求导得，
所以是奇函数，所以，C正确；
由，两边同时对求导得，
即，所以函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：BCD
10. 已知公比不等于1的等比数列的前项和为，且成等差数列，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 成等差数列
D. 若，则数列的最大项为
【答案】ACD
【详解】选项A：设等比数列的公比为（），
由成等差数列，则，即，
因为，所以.
令，方程变，解得或（，所以，舍去），即，故选项A正确；
选项B：若，则，故选项B错误；
选项C：等比数列前项和公式为且，
，，
因为，，
所以，故成等差数列，选项C正确；
选项D：若，由得.
等比数列的项为：
，，，
……
可见偶数项为正，奇数项为负，且，所以正项的绝对值逐渐减小，
即，因此数列的最大项为，故选项D正确.
故选：ACD
11. 已知函数的图象与直线，从左往右的连续4个交点依次为，且.则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则的可能取值为
B. 若，则
C. 若，则
D.
【答案】AC
【详解】对于A，由恒成立，且，可得，
即，故的可能取值为，故A正确；
对于B，由，则，
即，可得，
所以，而当时，，故B错误；
对于C，由题设，且的最小正周期，如下图所示，
所以，且，
所以，
即，则，
所以，则，
综上，，则，
因，而，故，故C正确；

对于D，由，且的最小正周期，
所以，则，
所以，
所以，
即，则，
不妨令，，而，
而为锐角，所以且为钝角，
则，故D错误.
故选：AC
三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 与4的等差中项为__________.
【答案】1
【详解】若与4的等差中项为，则.
故答案为：1
13. 在中，，则__________.
【答案】
【详解】，故，，
又，
故.
故答案为：
14. 已知函数则使不等式成立的的取值范围是__________.
【答案】
【详解】因为，所以，所以，
当时，，不符合题意；
当时，；
当时，，即，
综上的取值范围是.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 函数的最小正周期为，且.
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，求函数在区间上的值域.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：因为函数的最小正周期为，
所以，解得，
因为，
所以，即，
因为，所以，
所以，
【小问2详解】
解：因为函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象
所以，
因为，所以，
所以，当，即时，有最大值；
当，即时，有最小值；
所以，函数在区间上的值域为
16. 设函数.
（1）若，写出函数的单调区间；
（2）当时，，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【小问1详解】
由题设，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为、.
【小问2详解】
由题设，在上恒成立，则恒成立，
所以，只需，
由在上单调递增，在上单调递减，故，
由在上单调递减，故，
所以.
17. 已知数列满足：当时，，且数列为等比数列（为常数），.
（1）求常数的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【小问1详解】
解：因为数列为等比数列（为常数），设公比为，
所以，当时，，即，
因为，时，，
所以解得
所以，，
又，，
所以是等比数列，公比为，首项为，
所以，即
【小问2详解】
解：由（1）知，
令的前项和为，
则
，
两式相减得：，
所以
所以数列的前项和.
18. 已知函数的图象关于点对称.
（1）求的值；
（2）记函数在区间上的最大值为，求及的最小值；
（3）若存在实数，使得是函数的三个互异零点，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）；最小值为.
（3）
小问1详解】
由函数的图象关于点对称，
可得，即，
整理得，解得，此时函数，
经验证：函数满足，所以.
【小问2详解】
由（1）知，函数，可得，
根据二次函数的性质，可得在上为单调递增函数，
当时，即，此时在上恒成立，
所以函数在为单调递增函数，所以；
当，即，此时在上恒成立，
所以函数在为单调递减函数，所以；
当且时，时，在存在，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
又由且，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上可得，当时，；当时，，
所以，所以.
【小问3详解】
由函数，
可得，
因为是函数的一个零点，可得，可得，
所以，
可得
令，
因为是函数的三个互异零点，
则有两个不同的实数根，且，
则，整理得，
又由，即，即，
因为存在实数，使得是函数的三个互异零点，
所以，即
又由当时，总存在实数a使得成立，
所以实数的取值范围为.
19. 已知函数.
（1）请判断是否可以为偶函数，并说明理由；
（2）若在区间上有唯一的极值点和零点分别为.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
【答案】（1）不可以为偶函数；
（2）（i）；（ii）证明见解析.
【小问1详解】
不为偶函数，
理由如下：若为偶函数，则只需要，
即恒成立，
即恒成立，
而该等式显然对任意实数不恒成立，故不为偶函数；
【小问2详解】
，，
令，，则，，
令，，则，，
又，则，
则在上单调递增，即在上单调递增，
①当时，，对恒成立，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
在上无极值点，也没有零点，不满足题意；
②当时，，又在上单调递增，
且当，，因此，使，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
，又时，，
由零点存在性定理知：，使，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
在有唯一的极值点，
又且当时，，
由零点存在性定理知：，使，
在有唯一的零点，
综上所述：，满足题意；
（ii）要证：，由，
即证：，
即，令，
由（i）知，即证当时，恒成立，
令，
即证：在恒成立，注意到，
，
，且，
又由，知，
，且，
令，，
则，且，
令，，
则，当且仅当时等号成立，
则恒成立，
在单调递减，故，
在单调递减，故；
在单调递减，故，