安徽省马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（解析）-A4

这是一份安徽省马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（解析）-A4，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x−13=1+2，
故圆M与圆C相离，故|PQ|的最小值为2 5−3，
当且仅当M，P，Q，C共线时且P，Q在M，C之间时取最小值．
而|PC|的最小值为|CM|−2=2 5−2，当且仅当M，P，C共线且P在M，C之间时取最小值，
故|PQ|+|PC|的最小值为4 5−5．
14.设函数f(x)=xex，若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(x0>0)的切线与抛物线y=ex2有且仅有一个公共点，则x0的值为________．
【答案】1
解：先求曲线的切线方程，因为f(x)=xex，所以f′(x)=ex+xex，
则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为k=ex0+x0ex0，
用点斜式表示切线方程为：y−x0ex0=(ex0+x0ex0)(x−x0)，
将抛物线y=ex2与切线方程联立可得：
ex2=(ex0+x0ex0)(x−x0)+x0ex0，(x>0)，
去括号整理可得：ex2−ex0(1+x0)x+x02ex0=0．
计算方程ex2−ex0(1+x0)x+x02=0的△=(ex0+x0ex0)2−4e⋅x02ex0，
因为曲线的切线与抛物线只有一个交点，其成立的必要条件需满足△=0，
所以(ex0+x0ex0)2−4e⋅x02⋅ex0=0，因为ex0>0，所以等式两边同时除以ex0结果仍成立，
故ex0(1+x0)2−4ex02=0，ex0(1+x0)2=4ex02，因为x0>0，所以(1+x0)2x02=4eex0，
则ex0−12x0+1−2x0=0，
令ℎx=ex−12x+1−2x,x>0，
ℎ′(x)=12ex−12x+1−ex−12−2=12ex−12x+3−2，
显然ℎ′(x)在0,+∞上单调递增，又ℎ′(1)=0，
所以当0E(X)，所以乙胜出．
17.(本小题15分)
如图，ΔABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D、E分别为AB，AC的中点，将ΔADE沿着DE翻折到某个位置得到ΔPDE．
(1)线段PB上是否存在点M，使得DM//平面PCE，并说明理由；
(2)当PB= 6时，求平面PBD与平面PCD所成角的余弦值．
【答案】解：(1)法一：存在，且M为PB的中点，下面给出证明：
如图，取PC中点G，连接MG，GE，
因为M、G为PB、PC中点所以 MG= //12BC，
又D、E分别为AB，AC的中点，
所以 DE= //12BC，
所以 DE= //MG，
所以四边形DMGE为平行四边形，
所以 DM= //EG，
又 DM⊄平面PCE,EG⊂平面PCE，
所以 DM//平面PCE；
法二：存在，且M为PB中点，证明如下：
取BC中点G，连接DG，GM
因为因为D、M、G为AB、PB、BC中点所以 MG//PC ， DG//CE，
又 MG⊄平面PCE,PC⊂平面PCE ； DG⊄平面PCE,CE⊂平面PCE，
所以 MG//平面PCE ， DG//平面PCE，
又 MG∩DG=G ， MG,DG⊂平面DMG，
所以 平面DMG//平面PCE，
因为 DM⊂平面DMG，
所以 DM//平面PCE；
(2)连接BE，则 BE= 22+12= 5，
又 PE=1 ， PB= 6，
所以 PB2=PE2+BE2，
所以 PE⊥BE，
又因为 PE⊥DE ， BE∩DE=E，BE,DE⊂平面BDE，
所以 PE⊥平面BCED，
又 CE⊂平面BCED，
所以 PE⊥CE，
所以 EP,EC,ED 两两垂直，
以E为原点， ED,EC,EP 的方向分别为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，
则 D(1,0,0) ， P(0,0,1) ， B(2,1,0) ， C(0,1,0)，
所以 DP=(−1,0,1),DB=(1,1,0) ， CP=(0,−1,1),CD=(1,−1,0)，
设平面PBD的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1)，
则 n1⋅DP=−x1+0+z1=0n1⋅DB=x1+y1=0,
不妨令 x1=1 ，则 y1=−1,z1=1，所以 n1=(1,−1,1)，
设平面PCD的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2)
则 n2⋅CP=−y2+z2=0n2⋅CD=x2−y2=0，不妨令 x2=1 ，则 y2=1,z2=1，
所以 n2=(1,1,1)，
设平面PBD与平面PCD所成角的大小为 θ ，
则cs θ=|cs|=|1×1−1×1+1×1 1+1+1× 1+1+1|=13，
所以，平面 PBD 与平面 PCD 所成角的余弦值为 13．

18.(本小题17分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，其左顶点A(−2,0)，离心率e=32．
(1)求双曲线方程及渐近线方程；
(2)过右焦点F的直线与双曲线右支交于P，Q两点，与渐近线分别交于点M，N，直线AP，AQ分别与直线x=43交于R，T．
(i)求|PQ||MN|的取值范围；
(ii)求证：以RT为直径的圆过定点，并求出该定点．
【答案】解：(1)因为双曲线C的左顶点A(−2,0)，离心率e=32，
所以a=2ca=32a2+b2=c2，
解得a=2，b= 5，c=3，
所以双曲线方程为x24−y25=1，
其渐近线方程为x2±y 5=0，
即 5x±2y=0；
(2)(i)显然当过点F(3,0)的直线斜率不能为0，
设直线l的方程为x=my+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立x=my+3x24−y25=1，消去x并整理得(5m2−4)y2+30my+25=0，
此时5m2−4≠0900m2−100(5m2−4)>0255m2−4