11+二次函数应用+学案++2026年中考数学一轮复习

这是一份11+二次函数应用+学案++2026年中考数学一轮复习，共12页。学案主要包含了考点精讲，考点精练等内容，欢迎下载使用。
姓名：___________班级：___________
【考点精讲】
一、 二次函数的应用
1.审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)。
2.设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确。
3.列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数。
4.按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。
5.检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案。
6.写出答案。
二、 二次函数的应用最值与轨迹问题
1.利润最大化： 总利润 = (售价 - 成本) × 销量。售价或销量通常是变量，且销量常随售价增加而减少（线性关系），总利润函数常为二次函数。求使利润最大的定价或产量。
成本最小化： 材料成本、运输成本、库存成本等组合优化问题中，总成本可能表示为某个变量的二次函数。 固定周长围最大面积： 如用一定长度的篱笆围矩形菜地、养鸡场等。设一边长为 x，另一边用周长表示，面积 S = x * (L/2 - x) 是二次函数。
固定表面积求最大体积： 如从矩形纸板四角剪去相同大小的正方形折成无盖盒子，求盒子最大容积。设剪去正方形边长为 x，则盒子容积 V = x(L-2x)(W-2x)
路径最值问题： 如几何中求线段和的最小值
抛物线轨迹问题
抛体运动： 投掷铅球、篮球投篮、炮弹发射等。已知初速度 v₀ 和发射角度 θ（或初始水平速度 v₀x、竖直速度 v₀y），建立高度 y 与水平距离 x 的函数关系 y = ax² + bx + c。 求最大高度（顶点纵坐标）。
桥梁拱形、隧道顶部： 桥梁、隧道的纵截面轮廓是抛物线形。已知关键点坐标（如桥墩位置和高度、拱顶高度），建立抛物线方程，
喷泉的水柱： 水从喷口喷出的路径近似抛物线。
【考点精练】
一、单选题
1．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，则水流喷出的最大高度是（ ）
A．B． C． D．
3．加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度y（单位：）与水平距离x（单位：）的函数解析式为如图所示，A，B，C三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（ ）
A．3B．4 C．5 D．6
4．从地面竖直向上抛出一小球，小球高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论：
①小球运动时间是时，高度为；
②小球运动中高度可以是；
③当时，高度h随着时间t的增大而减小．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1 C．2D．3
5．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③C．②③ D．①②③
6．如图，质量为的小球从某高度处由静止开始下落到竖直放置的轻弹簧上并压缩弹簧（已知自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），得到小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的关系图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．当小球的速度最大时，弹簧的长度为
D．当小球下落至最低点时，弹簧的长度为
7．甲、乙两车从十字路口的同一点沿两互相垂直的方向行驶，走过的距离(单位：) 和时间(单位：) 的关系如下表所示：
则第2秒甲、乙两车间的距离d满足（ ）
B．C． D．
8．如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（ ）
A．5B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．用总长为米的篱笆围成矩形的场地，矩形的面积随矩形的一边长的变化而变化，则当是 时，场地的面积最大？
10．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ．
11．用总长为的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化．当是 时，场地的面积最大，最大面积是 ．
12．如图，在矩形中，，，点在射线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接．
（1）当点恰好落在边上时， ．
（2）当 时，有最小值．
三、解答题
13．如图，某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长，主塔高，主缆可视为抛物线，主缆垂度，主缆最低处距离桥面，桥面距离海平面约．请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求该抛物线的表达式．
14．某商店销售一种玩具，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式（不要求写出自变量x的取值范围）；
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
15．在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米．
(1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式．
(2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由．
16．天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展．如图是隧道截面图，其轮廓可近似看作是抛物线的一部分．若隧道底部宽12米，高8米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不少于0.5米，当两辆车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）．若宽3米，高3.5米的两辆车并排行驶，能否安全通过？请说明理由．
17．为方便悬挂电子屏幕，学校需要在校门上方的抛物线形框架结构上增加立柱．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
(2)现有一根长度为的材料，如果用它制作这两根立柱，请你通过计算，判断这根材料的长度是否够用（因施工产生的材料长度变化忽略不计）
18．在平面直角坐标系中，为原点，等边的顶点，点在第一象限，等边的顶点，顶点在第二象限．
(1)填空：如图①，点的坐标为____________，点的坐标为____________；
(2)将等边沿水平方向向右平移，得到等边，点的对应点分别为．设．
①如图②，若边与边相交于点，当与重叠部分为四边形时，试用含有的式子表示线段的长，并直接写出的取值范围；
②设平移后重叠部分的面积为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
时间
0.5
3
5.5
8
甲走过的距离
5
30
55
80
乙走过的距离
1.25
15
41.25
80
每件的售价x/元
…
25
28
31
…
日销售量y/件
…
15
12
9
…
活动主题
为校门上方的抛物线形框架结构增加立柱
活动准备
1．去学校档案馆查阅框架结构的图纸；
2．准备皮尺等测量工具．
采集数据
图1是校门及上方抛物线形框架结构的平面示意图，信息如下：
1．大门形状为矩形（矩形）；
2．底部跨度（的长）为；
3．立柱的长为，且，垂足为．
设计方案
考虑实用和美观等因素，在间增加两根与垂直的立柱，垂足分别为，立柱的另一端点在抛物线形框架结构上，其中．
确定思路
小组成员经过讨论，确定以点为坐标原点，线段所在直线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．点的坐标为，设抛物线的表达式为，分析数据得到点或点的坐标，进而求出抛物线的表达式，再利用表达式求出增加立柱的长度，从而解决问题．
《2026年中考数学一轮复习专题
11二次函数应用》参考答案
1．A．
解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图：
∴设抛物线解析式为：，
∵观察图形可知抛物线经过点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：，
∴当水位上涨时，即当时，有，
∴，，
∴水面的宽度为：．
故选：A．
2．B
解：，
，
当时，取最大值，最大值为，即2.75米，
故选：B．
3．C
解：设抛物线的对称轴为，点C关于对称轴的对称点为D，
记D点的横坐标为，
观察图象可知C点横坐标为8，
∴由中点坐标公式得∶，
解得，
观察图象可知点二次函数关于对称轴的对称点D是介于A、B两点之间的，
∴，
即，
解得，
∴实心球行进到最高点时水平距离x可能为5，
故选C．
4．C
解：①当时，，故①正确；
②，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，故②错误；
③由②可知，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
∴当时，高度随着时间的增大而减小，故③正确，
∴正确的个数有 2 个，
故选：C．
5．C
解：设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
②当时，
解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
综上，正确结论是②③．
故选：C．
6．D
解：A、由图象可知，弹簧压缩后小球开始减速，故此选项不符合题意；
B、由图象可知，当弹簧被压缩至最短，即弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最小，速度为0，故此选项不符合题意；
C、由图象可知，当小球的速度最大时，弹簧压缩，此时弹簧的长度为，故此选项不符合题意；
D、由图象可知，当小球下落至最低点时，弹簧被压缩的长度为，此时弹簧的长度为，故此选项符合题意．
故选：D．
7．B
解：由表格得，甲走过的距离和时间是一次函数关系，乙走过的距离和时间是二次函数关系，
∴设甲走过的距离关于时间的表达式为，
将，代入得，
解得
∴；
设乙走过的距离关于时间的表达式为，
将，，，代入得，
解得
∴；
∴当时，，
∵沿两互相垂直的方向行驶，
∴
∵
∴
∴
∴第2秒甲、乙两车间的距离d满足．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题、矩形的性质、相似三角形的性质与判定，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式是解题的关键．首先推导出，设，利用相似三角形的性质求出关于的函数关系式为，再结合函数图象求出的值即可得出结论．
解：矩形，
，
，
，，
．
，
．
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，关于的函数图象经过，
代入得，，
，
．
故选：A．
9．
解：根据题意，矩形的一边长为米，则另一边长为米，
，
即当时，，
故答案为：．
10．
解：由题意，，
得，
将代入，
得：，
解得：，
∴，
令，得，
解得：，，
∴为，
故答案为：．
11． 15 225
解：设矩形一边长为 米，则另一边长为 米，则矩形面积为
，
∵
∴当时，取得最大值，最大面积为平方米．
故答案为 15，225．
12．
解（1）如图所示，当点F恰好落在边上时，
∵在矩形中，，
∴，
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴，
∴；
在中，
故答案为：．
（2）过点作于点，与交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，即抛物线开口向上，
当时，即时，的最小值为5，
在中，,
∴
∴当时，又有最小值；
故答案为：．
13．该抛物线的表达式为
解：建立平面直角坐标系，如图所示：
则抛物线顶点坐标为，，即，
设该抛物线的表达式为，
将代入得，
解得，
该抛物线的表达式为．
14．(1)
(2)10元或30元
【分析】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数解析式的求解，解决本题的关键是正确求解出一次函数与二次函数的解析式．
（1）先设出一次函数解析式，再根据待定系数法代值求解即可；
（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令求解x的值即可．
解（1）解：∵日销售量y（件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，
∴设函数表达式为，
∵当时，；当时，；
∴，解得，
∴，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）知，，
∴日销售额，
∵玩具日销售额为300元，
∴令，即，
整理可得，
解得，，
∴每件玩具的售价为10元或30元时，日销售额为300元．
15．(1)
(2)小康这次的成绩不能得到满分，理由见解析
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式．
（2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分．
解（1）解：由题意可设，
将代入，得，
，
抛物线的解析式为．
（2）解：小康这次的成绩不能得到满分．
理由：当时，，
∴小康投掷实心球的成绩小于米，
∴小康这次的成绩不能得到满分．
16．(1)
(2)能安全通过，见解析
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）先得到顶点坐标，然后设顶点式，再代入即可求解，继而得到函数解析式；
（2）先求出点坐标，然后求出点距离抛物线的距离，然后减去车辆的高度，得到的差值与比较即可．
解（1）解：由题意得，顶点为，即，
设抛物线的解析式为：
代入点得，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：能安全通过，理由如下：
如图，
由题意得：，
将代入，
则，
∵，
∴能安全通过．
17．(1)
(2)这根材料的长度够用
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）求出点坐标，代入函数解析式，进行求解即可；
（2）求出的坐标，进而求出的长，进行判断即可．
解（1）解：由题意，得：，，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴；
（2）由题意，可知：，
∴关于轴对称，
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
故这根材料的长度够用．
18．(1)
(2)①，②
【分析】（1）作于点，作于点，根据等边三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可；
（2）平移的性质，得到，求出的长，解直角三角形求出的长，线段的和差表示出的长，当点落在轴上之后，直至点与点重合之前，重叠部分为四边形，求出的范围即可；
（3）分，和三种情况进行讨论求解即可．
解（1）解：作于点，作于点，
∵均为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）①∵平移，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
当点落在轴上时，此时，点为的中点，则：，
当点与点重合时，，
∴当与重叠部分为四边形时，；
②当时，则重叠的部分为四边形，如图，作轴，
由（1）和（2）①可知：，，，
∴，
∴当时，的值最小，为；
∴；
设交轴于点，则：，
∴当时，此时点于重合，与点重合， 重叠的部分恰为，
∴；
当，随着的增大而减小，
∴当时，有最小值，此时点轴，如图：
此时重叠部分为五边形，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
由平移可得：，，
∴，
∴，
∴，
同法可得：，
∴；
综上：．
【点睛】本题考查坐标与图形，等边三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，二次函数求最值等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
A
B
C
C
C
D
B
A