浙江省温州环大罗山联盟2025-2026学年高一上学期11月期中数学试卷（Word版附解析）

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考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 浙BA比赛正在如火如荼进行中，某市篮球协会成员45人，统一去抢购该市参与的前后两场比赛门票，第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，则该协会两场门票都没抢购到的人数为（ ）.
A. 6B. 10C. 13D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出仅第一场抢购成功和仅第二场抢购成功人数，即可得解.
【详解】因为第一场抢购成功31人，第二场抢购成功29人，两场门票都抢购成功25人，
则仅第一场抢购成功的有（人），仅第二场抢购成功（人），
所以两场门票都没抢购到的人数为（人）.
故选：B
2. 幂函数过点，则（ ）.
A. B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由幂函数经过的点求参数值，再代入自变量求函数值.
【详解】由题设，则，
故.
故选：C
3. 已知函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由根式、分式的性质及指数函数的单调性求函数的定义域.
【详解】由题设，则，即定义域为.
故选：D
4. 命题“，”的否定为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由特称命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得.
【详解】由特称命题的否定是全称命题，则原命题的否定为，.
故选：C
5. 函数图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据解析式确定定义域，再由奇偶性定义研究对称性，最后结合对应的函数符号，应用排除法即可得.
【详解】由解析式知，定义域为，
由，则为奇函数，排除C、D，
当时，，此时，排除A.
故选：B
6. 从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值.
【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为，
加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为，
加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为，
，
连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为，
令，，故至少是4.
故选：A
7. 定义取大函数，现有，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据取大函数的定义，取值判断ABD；分段推理判断C.
【详解】在同一坐标系内作出函数的图象，如图：
当时，，当时，，
对于A，，而，A错误；
对于B，，而，B错误；
对于C，当时，，由，得，
函数在R上是增函数，则；
当时，由，得，则，C正确；
对于D，，而，D错误.
故选：C
8. 已知正实数，，满足，则取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，将条件化为关于的方程有解，利用判别式求的范围.
【详解】设，则，
所以关于的方程在上有解，
对于，其图象开口向上且对称轴，
所以，只需，则，
所以.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列不等关系正确的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用指数函数的单调性可判断ABC选项，利用幂函数的单调性和奇偶性可判断D选项.
【详解】对于A选项，因为指数函数在上为减函数，所以，A错；
对于B选项，因为指数函数在上为增函数，则，B对；
对于C选项，因为幂函数在上为减函数，且，故，C错；
对于D选项，令，该函数的定义域为，
，故函数为偶函数，
且函数在上为增函数，故，D对.
故选：BD.
10. 定义在上的函数满足：，且是奇函数，则下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 存在函数在递增D. .若，则有
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知得的图象关于点、对称，，进而依次判断各项的正误.
【详解】由题设，的图象关于点、对称，即，A、B对，C错，
由且，
所以且，
所以，即，
由，则，D对.
故选：ABD
11. 函数，下列选项正确的是（ ）
A. 当时，在上递增；
B. 当时，值域为；
C. 当时，时，恒有成立.
D. 当时，是的必要不充分条件.
【答案】BC
【解析】
【分析】由定义域为可判断A；根据，直接求值域可判断B；在上单调性求最大值即可判断C；通过取特殊值验证可判断D.
【详解】对于A，时，，定义域为，故A不正确；
对于B，在上递增，值域为；时，在和上分别单调递增，值域为，所以值域为.故B正确；
对于C，当时，，而在上单调递增，所以，故C正确；
对于D，函数，定义域，
，同号，，
当时，，
而，
∴，
所以当时，有成立
所以不是的必要条件.故D不正确.
故选：BC.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】利用指数运算法则和根式性质运算求解.
【详解】.
13. 函数在单调递减，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数、指数函数的性质，结合复合函数的单调性确定的单调区间，再由已知区间的单调性列不等式求参数范围.
【详解】令，其图象的开口向下，对称轴为且，
所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又在各定义域上均单调递增，则在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由在上单调递减，则，可得，
所以.
故答案为：
14. 中，斜边，，是的中点，为线段（端点除外）上的动点，线段绕着点旋转到，当与垂直且相交时，则的面积范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，结合已知得且，利用二次函数的性质求范围.
【详解】设，则，
由且与相交，则，得，

所以中边上的高，
故且，
由在上单调递增，
所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 已知集合，，
（1）求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）通过解不等式求出集合，再进行并集；
（2）通过解含参不等式求出集合C，又由得，根据集合之间的包含关系列不等式求解即可.
【小问1详解】
，.
∴.
【小问2详解】
.
.
∴或
解得或
所以取值范围为或
16. 已知函数是偶函数
（1）试用定义法证明在递增；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据偶函数的性质求参数值，再由单调性的定义证明区间单调性；
（2）令，问题化为在上恒成立，应用单调性求右侧最值，即可得范围.
【小问1详解】
由，且是偶函数，则，
所以，恒成立，可得，
证明：，不妨设，则有：
，
∵，则，，
∴，即成立，则在上单调递增；
【小问2详解】
由代入得：，
令，而，则，
所以恒成立，
令，易知在单调递增，所以，
∴，得.
17. 某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式；
（2）年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】（1），
（2）6，最大利润为万元.
【解析】
【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得.
（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
当时，，
由对称轴知在递增，.
当时，.
当且仅当时等号成立，
而，由，
，，
所以当时，.
即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元.
18. 已知正实数、满足
（1）求的最小值；
（2）求的最小值；
（3）求的最大值.
【答案】（1）9. （2）8
（3）6.
【解析】
【分析】（1）利用“1”的代换结合基本不等式即可求解.
（2）方法一：通过“双不等式法同时取等”的方法求解；方法二：利用“平均值不等式法”求解；方法三：由变形为，利用基本不等式得到，再将变形为，利用二次函数求最值即可；方法四：由变形得，令，进而有，利用基本不等式结合二次函数求最值即可.
（3）方法一：将代入得，通过二次函数求最值；方法二：由，代入消元得，再通过二次函数求最值；方法三：利用“乘1”法，将原式整理化简为，通过二次函数求最值.
【小问1详解】
当,即时等号成立，有最小值9.
【小问2详解】
方法一（双不等式法同时取等）：
（当且仅当时等号成立）
（当且仅当时等号成立）
所以当，时，有最小值8.
方法二（平均值不等式法:调和平均值不超过平方平均值）：
（当且仅当时等号成立），
所以当，时，有最小值8.
方法三（配完全平方法）：
.
∵，当且仅当，时等号成立.
，
当时，有最小值8.
方法四（消元法）：
，
令（由得），则，
则
，当时时等号成立，所以有最小值8.
【小问3详解】
方法一（整体代入转化）：
，
原式，
当时，即，时等号成立，有最大值6.
方法二（整体代入消元法）：
由，
所以
（当且仅当时等号成立）.
方法三（乘1法）：
原式.
当时，即，时等号成立，有最大值6.
19. 函数，，
（1）求不等式的解集；
（2）若的解集中有且只有一个整数，求的取值范围；
（3）若，对于恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据二次不等式的解法，对原式进行因式分解，对参数进行分类讨论，求出结果即可；
（2）根据不等式，构造函数，判断函数解集中满足条件的整数解，进而列出不等式组，求出参数范围；
（3）根据二次函数图像的性质，对参数进行分类讨论，根据恒成立条件，列出不等式组，求出参数范围；
【小问1详解】
由题意得，解得或，
当时，，此时无解；
当时，；
当时，.
【小问2详解】
由题意得，令，
可知，当时，，解得无整数根（舍）；
当时，，说明唯一的整数根为0，
则，即，解得，
得的取值范围为.
【小问3详解】
由已知得，
令，其中恒成立，
令，解得或，
可知，
当时，
当时，在上单调递增，最大值为成立；
当时，此时在递减，递增；
可得，即，解得；
当，即时，在递增，递减，递增，
可得，即，解得；
当时，即时，在递减，递增，递减，递增；
可得，即，此时无解；
综上所述：的取值范围为.