安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试素质测试数学试题（解析版）-A4

这是一份安徽省马鞍山市第二中学2024-2025学年高一下学期期中考试素质测试数学试题（解析版）-A4，共3页。试卷主要包含了 已知向量，若与共线，则， 已知，其中为虚数单位，则等内容，欢迎下载使用。
命题人 钱进 审题人 卢建军
一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，若与共线，则（ ）
A. 9B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】若与共线，则，解得.
故选：C.
2. 已知，其中为虚数单位，则（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可得到答案.
【详解】，
则.
故选：B.
3. 如图，长方体被一个平面截成两个几何体，且，这两个几何体分别是（ ）
A. 三棱柱和五棱柱B. 三棱台和五棱柱
C. 三棱柱和五棱台D. 三棱台和五棱台
【答案】A
【解析】
【分析】由棱柱的几何特征即可求解.
【详解】由于，所以,所以几何体为三棱柱，几何体为五棱柱，
故选：A.
4. 已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 （ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据投影向量的定义列方程求结果.
【详解】依题意，，
所以.
故选：B
5. 长、宽、高分别为的长方体的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出长方体外接球半径，再利用球的表面积公式即可得到答案.
【详解】长方体的外接球的半径.
则接球表面积.
故选：B.
6. 水平放置的三角形的直观图如图，其中，那么原三角形是一个（ ）
A. 等边三角形B. 腰和底边不相等的等腰三角形
C. 直角三角形D. 钝角三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用斜二测画法的性质即可求解原图性质.
【详解】
由斜二测画法可知，原图中的，
再用勾股定理可得：，
同理可得，所以原图是等边三角形，
故选:A.
7. 等腰三角形中，在边上，满足，则下列各式中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合图形和题设条件，逐一判断各选项即可.
【详解】
对于A，如图，与方向不同，故A错误；
对于B，与方向相反，故B错误；
对于C，因在边上，满足，
则，，由A项知与不相等，故C错误；
对于D，由图知，，
因，故有，即D正确.
故选：D.
8. 三角形中，角的对边分别为，且，则其面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理及二倍角公式可得，再由余弦定理可得，得，利用平方关系可计算的值，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】在中，由正弦定理得，又，
则，于是，
由余弦定理得，解得，则，
而，则，
所以的面积.
故选：D
二､多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，其中为虚数单位，为实数，则（ ）
A. 可能为实数
B. 可能为纯虚数
C. 若在复平面内所对应的点在第三象限，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用复数的乘法求出复数，分别从复数的组成，几何意义以及模长定义，逐一判断各选项即得.
【详解】因.
对于A，当时，，故A正确；
对于B，因，且，故不可能为纯虚数，即B错误；
对于C，因复数在复平面内所对应的点的坐标为，依题意，，故C正确；
对于D，由，可得，化简得，解得，故D正确.
故选：ACD.
10. 在直角坐标系xOy中，，，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值是（ ）
A. 1B. －1C. 3D. －6
【答案】BD
【解析】
【分析】分∠A＝90°，∠B＝90°，∠C＝90°三种情况依次求解即可.
【详解】若∠A＝90°，则，k＝－6；若∠B＝90°，则，k＝－1；
若∠C＝90°，则无解．∴综上，k可能取－6，－1两个数．
故选：BD.
11. 如图，在直三棱柱中，分别为所在棱的中点，，三棱柱挖去两个三棱锥，后所得的几何体记为，直三棱柱的体积记为，则（ ）
A. 有7个顶点B. 有6个面
C. 直线平面D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，B两项，只需根据图形按一定顺序统计即得；对于C，取的中点，连接，证明，即可由线线平行证明线面平行；对于D，结合图形和题设条件，找到两个三棱锥的底面面积与三棱柱的底面面积的倍数关系，以及两者的高的关系，利用体积公式计算即得.
【详解】对于A，如图可知，含有共8个顶点，故A错误；
对于B，由图知，包含平面和共6个面，故B正确；
对于C，如图，取的中点，连接，
因分别为所在棱的中点，点是的中点，
易得，可得，
则有，又平面，平面，
故有平面，故C正确；
对于D，由图易得，
则有，故有；
又因，故有，
于是，故D正确.
故选：BCD.
三､填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，则__________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据向量模的坐标表示即可得到答案.
【详解】，则.
故答案为：5.
13. 假设你有一张半径为的半圆形纸片，圆心为，现剪掉一个半径为的半圆（圆心仍为），再将纸片卷成一个圆台的侧面，则该圆台的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出圆台上、下底面半径和高，结合台体体积公式可求得结果.
【详解】如下图所示：

圆台可视为在圆锥中截去圆锥而成，
设圆锥的底面半径为，则，解得，
圆锥的母线长为，圆锥的高为，
同理可知，圆锥的底面半径为，高为，
所以，圆台的高为，
因此，圆台的体积为.
故答案为：.
14. 已知平面四边形中，，，，，则该平面四边形面积的最大值为_____________.
【答案】
【解析】
分析】先根据余弦定理可得，进而表示出四边形面积，进而得到，进而求解.
【详解】连接，由余弦定理得，
，
即，
即，
又四边形面积
，
则
，
即，即，
当且仅当时，等号成立，
所以平面四边形面积的最大值为.
故答案为：.
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知复数，其共轭复数为，为实数.
（1）若，求；
（2）若，求的值.
【答案】（1）.
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据共轭复数的概念代入计算得，最后利用复数的乘方运算即可得到答案；
（2）根据共轭复数的概念和复数的乘法运算即可得到方程，解出即可.
【小问1详解】
，所以.
【小问2详解】
，解得或.
16. 如图，在矩形中，点是线段上一动点（含端点），是上靠近点的三等分点.
（1）设，求的值；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据向量线性运算即可；
（2）转化为，再根据向量数量积运算律和定义计算得到，最后根据的范围即可得到其范围.
【小问1详解】
由题意知，
则，则.
【小问2详解】
因为，所以的取值范围是.
17. 如图，已知分别是正方体的棱的中点，.
（1）证明：直线交于同一点；
（2）作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长.
【答案】（1）证明见解析
（2）答案见解析，
【解析】
【分析】（1）先证明，可推得相交于点，再证明即可；
（2）依次连接，易证，可得四点共面，即得截面，求其各边长即得截面周长.
【小问1详解】
证明:正方体中，如图连接，
因，则四边形是平行四边形，则，
因分别是的中点，则，
故，所以四点共面，因，
则相交，设交点为，则，而平面，则平面，
同理平面，而平面平面
故，即点在直线上，所以直线交于同一点.
【小问2详解】
如图所示，依次连接，
易证，故四点共面.
则即为所求截面.
而，
所以的周长为.
18. 锐角三角形中，角的对边分别为且.
（1）求；
（2）求三角形周长的取值范围；
（3）求三角形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边换角并利用两角和的正弦公式展开化简即可得到答案；
（2）利用正弦定理得，再将周长转化为三角函数值域问题即可；
（3）利用余弦定理和基本不等式即可得到的最大值，再利用三角形面积公式即可得到答案.
【小问1详解】
由正弦定理：，
则，
所以，根据得：.
【小问2详解】
由正弦定理：，所以，
，
注意到，所以，
所以，
所以，
所以周长的取值范围是.
小问3详解】
余弦定理：，
所以三角形面积为，
当且仅当时，即为等边三角形时，三角形面积取最大值.
19. 已知正四棱锥.
（1）证明：平面；
（2）当时，求该正四棱锥外接球的体积；
（3）当该正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比最小时，求四棱锥的高.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）根据已知的线线平行关系以及直线与平面的位置关系，利用判定定理证明线面平行.
（2）通过正四棱锥底面正方形中心到各顶点距离以及已知的棱锥侧棱长，确定外接球的球心和半径，再利用球的体积公式求解外接球体积.
（3）对外接球，根据几何关系建立方程求解半径R；对内切球，先求出侧面三角形面积进而得到四棱锥表面积，再利用体积法求出内切球半径 r，最后得到的表达式，通过换元法结合基本不等式求其最小值及对应的h 值.
【小问1详解】
证明：因为平面平面，所以平面.
【小问2详解】
底面正方形的中心记为，则，
因为，
所以，即正四棱锥的外接球的球心为，半径为1，所以外接球体积为.
【小问3详解】
对外接球：，解得：，
对内切球：，
故四棱锥表面积，
由体积法：，
所以，
令，则，
进而，
当且仅当，即时，取最小值，此时.