12.3.2 等腰三角形的判定（教学课件）-2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

12.3.2 等腰三角形的判定 第12章 全等三角形 华师大版2024·八年级上册章节导读学 习 目 标掌握等腰三角形基础判定方法能通过定义（两条边相等）直接识别等腰三角形理解“等角对等边”定理，并能通过角相等推导边相等灵活运用几何性质利用对称性（如轴对称图形、角平分线/中线/高三线合一）辅助判定结合全等三角形证明边或角的关系掌握等边三角形核心判定标准熟练应用三边相等或三角相等（均为60°）的直接判定掌握“等腰三角形+60°角”的衍生判定方法旧知复习等腰三角形的性质由此得到以下等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，简写成 “等边对等角”如图所示，若△ABC为等腰三角形，则∠A=∠B已知：如图，在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C证明：作∠BAC的平分线AD，在△ABD和△ACD中，∵AB=AC，∠1=∠2，AD=AD∴△ABD≌△ACD（SAS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）新知探究小组活动："如果我们知道一个三角形有两个角相等，能否反过来推出它是等腰三角形呢？"根据下面表格中的数据，借助量角器画出三角形ABC。将你的结果填入上表，并观察线段AC、BC是否相等？合作探究我们可以发现: 如果一个三角形中有两个角相等, 那么它就是等腰三角形 即有两个角相等的三角形是等腰三角形,简写成 “等角对等边”已知：△ABC中∠A=∠B，求证：AC=BC 典例分析例1 . 已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF，求证：△ABC是等腰三角形． 变式训练如图所示，在△ABC中，BC⊥AB，∠BAC=45°，F是AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF．求证：△ABE≌△CBF 典例分析例2 .如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F，若FG=4，ED=9，则BE+CD的值为（ ）A．13 B. 14 C. 15 D. 16 A提示：由角平分线与平行线易得∠EGB=∠ABG，从而得到BE=EG，同理可得DF=CD，再根据BE+DC=ED+FG即可得到答案。变式训练如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，DB=1，BC=3，则AC的长为（ ）提示：由△BCD≌△ECD（ASA）得到BC=CE=3，BD=DE=1，由等角对等边判定AE=B，继而可求AC。A．4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5C新知探究等边三角形的判定等边三角形的两个判定定理：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。已知：△ABC中∠A=∠B=∠C，求证：△ABC是等边三角形。证明：∠A=∠B，根据等角对等边可得BC=AC∠B=∠C，同理可得AC=AB∴AB=AC=BC∴△ABC是等边三角形你能自己证明第二个判定定理吗？典例分析例3 .如图，在△ABC中，点D，E在BC边上，连接AD，AE，且AD=DE，线段DF,EH分别是△ADB和△AEC的高，且AF=AH，DF=EH．请判断△ADE是等边三角形吗？并加以证明．证明：∵线段DF、EH分别是△ADB和△AEC的高，∴∠AFD=∠AHE=90°又AF=AH、DF=EH∴△AFD≌△AHE（SAS）∴AD=AE，又AD=DE，∴AD=DE=AE∴△ADE是等边三角形变式训练 如图，已知△ABC是等边三角形，且∠1=∠2=∠3．试问：△DEF是等边三角形吗？请说明理由．解：DEF是等边三角形，理由如下：∵△ABC是等边三角形∴∠ACB=60°，∴∠3+∠BCE=60°∵∠2=∠3∴∠BEF=∠2+∠BCE=60°同理∠EFD=∠FDE=60°∴△DEF是等边三角形典例分析例4 .如图，∠AOB=90°，∠B=30°，△A'OB'可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转α角度得到的．若点A'在AB上，则旋转角的α大小可以是（ ）A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°C提示：由旋转性质可知OA=OA'，由已知可推出∠A=60°，则△A'OA'是等边三角形，故旋转∠A'OA'可求变式训练 如图，在等边△ABC中，点D是其内部一点，连接BD、CD，将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACD'，连接DD'，若BD=4.5cm，CD=3cm，则DD'的长为（ ）A. 5cm B. 4.5cm C. 3cm D. 4cmC课堂练习1.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰三角形，满足条件的格点C的个数是（ ）BA．5 B. 6 C. 7 D. 8 提示：根据题意并结合图形，分AB为等腰△ABC底边和AB为等腰△ABC的腰两种情况分别解答即可课堂练习2．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转106°，若点B的对应点D恰好落在线段BC的延长线上∠B大小为 （ ）DA．33° B. 34° C. 36° D.37°提示：由旋转的性质可得出AB=AD，∠BAD=106°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题的解课堂练习3．如图，把三角形纸片ABC分别沿DE，MN所在直线折叠，使得点B、C都与点A重合，若∠BAC=110°，则∠DAM的度数为（ ）．CA．20° B. 30° C.40° D.50°课堂练习4. 如图，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点 D，DE∥AB，AE=6，则DE的长为__________．65. 如图，在△ABC中，角平分线BO和CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC=4，则△OEF的周长为___________．4课堂练习6. 如图，在正方形网格中有线段AC、BC，点A，B，C在网格的格点上，则∠1+∠2=_____．45°7. 如图，∠ABC的平分线BF与∠ACG的平分线相交于点F，过F作DF∥BC交AB于D，交AC于E，若DB=18，DE=8，则CE的长为_______．10课堂练习8．如图，A、B、C、D依次在同一条直线上，AB=CD，AE=DF，∠A=∠D，BF与EC相交于点M．求证：MC=MB． 课堂小结等角对等边判定依据：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。几何语言：在△ABC中，若∠B=∠C，则AB=AC，△ABC是等腰三角形。等边三角形的判定①判定依据：三个内角都相等的三角形是等边三角形（每个角为60°）。几何语言：在△ABC中，若∠A=∠B=∠C=60°，则△ABC是等边三角形。②判定依据：若一个三角形是等腰三角形，且有一个角为60°，则它是等边三角形。感谢聆听!