湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题含解析

这是一份湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题含解析，共15页。试卷主要包含了 设集合，，则， 命题“”的否定是， 将化成分数指数幂的形式是， 已知函数，则， 已知函数是奇函数，则是的， 下列说法正确的是， 下列命题中的真命题有等内容，欢迎下载使用。
时量：120分钟 分值150分
命题人：李云皇 审题人：彭熹､汤芳
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集的概念求解出结果.
【详解】因为，，所以.
故选：D
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定求解.
【详解】根据存在量词命题的否定可得，
的否定为，
故选：C
3. 将化成分数指数幂的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由根式与分数指数幂的转换公式即可求解.
【详解】.
故选：A.
4. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由分段函数定义域范围直接代入计算即可；
【详解】由题意可得，当时，，
当时，，
所以.
故选：B.
5. 已知函数是奇函数，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据奇函数的定义求出即可判断.
【详解】是奇函数，
等价于，即，
故是的充要条件.
故选：C
6. 若函数的值域是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】通过函数解析式分析每个分段的值域，因为，值域为，所以，的值域应包含，所以判断出函数的单调性和范围，从而求出实数的取值范围.
【详解】当时，，其开口向上，对称轴为，值域为，
由函数的值域是，
则当时，的值域应包含，所以为减函数，
所以，解得，故的取值范围是.
故选：C
7. 为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如表：
若某户居民本月交纳的水费为66元，则此户居民本月用水量为（ ）
A. 17m3B. 18m3C. 19m3D. 20m3
【答案】A
【解析】
【分析】根据收费标准，求出y关于x的分段函数，由水费的值，判断出用水量的范围，求出x的值，即可求解．
【详解】设用水量为xm3，水费为y元，
当0≤x≤12时，y＝3x，
当12＜x≤18时，y＝12×3+（x﹣12）×6＝6x﹣36，值域为
当x＞18时，y＝12×3+6×6+（x﹣18）×9＝9x﹣90，
∵12＜x≤18，
∴令6x﹣36＝66，解得x＝17，
故此用户居民本月用水量为17m3．
故选：A．
8. 已知函数的图象过原点，且无限接近于直线但又不与该直线相交，当时，函数有（ ）
A. 最小值B. 最大值C. 最小值D. 最大值
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象的性质得，进而有时，结合基本不等式求最值即可.
【详解】由题设，且，则，
所以，则时，，
所以，令，则，
当且仅当时取等号，故最大值为.
故选：B
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若幂函数过点，则
B. 函数表示幂函数
C. 若幂函数在单调递增，则
D. 幂函数的图象都过点和
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，利用待定系数法求解判断，对于B，根据幂函数的定义分析判断，对于C，根据幂函数的性质分析判断，对于D，举例判断即可.
【详解】对于A，设幂函数为，则，所以，所以A正确，
对于B，因为的系数为2，所以函数不是幂函数，所以B错误，
对于C，因为幂函数在单调递增，
所以，解得，所以C正确，
对于D，因为幂函数的图象不过，所以D错误.
故选：AC
10. 下列命题中的真命题有（ ）
A. 当时，的最小值是3
B. 的最小值是2
C. 当时，的最大值是5
D. 对正实数x，y，若，则的最大值为3
【答案】AC
【解析】
【分析】对A：将目标式进行配凑，再利用基本不等式即可求解；
对B：令，构造对勾函数，利用对勾函数的单调性即可求得结果；
对C：直接利用基本不等式即可求得结果；
对D：取特殊值，即可判断正误.
【详解】对A：当时，，
当且仅当，即时取得等号，故A正确；
对B：，
令，则，令，
又在上单调递增，故，
故的最小值为，也即的最小值为，故B错误；
对C：，当且仅当，即时取得等号；
故当时，的最大值是,故C正确；
对D：因为，且，显然满足题意，
此时有，故D错误.
故选：AC.
11. 非空数集，同时满足如下两个性质：（1）若，则；（2）若，则．称A为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A. 若A一个“封闭集”，则
B. 若A为一个“封闭集”，且，则
C. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或
D. 若都是“封闭集”，则是“封闭集”的充要条件是或
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于AB，由“封闭集”的定义可得正确；对于C，举出反例；D选项，先证明充分性，再利用反证法证明必要性成立，得到D正确.
【详解】对于A，因为A为一个“封闭集”，所以由定义可知若，则，那么，A正确．
对于B，因为A为一个“封闭集”，，所以，所以，B正确．
对于C，不妨取“封闭集”，
则也是“封闭集”，显然或不成立，C错误．
对于D，充分性：都是“封闭集”，
若或，则或，则是“封闭集”．
必要性：若是“封闭集”，令，
假设或不成立，则存在，同时，
因为是“封闭集”，所以，
分两类情况讨论，
若，又当时，，所以，这与假设矛盾，
若，又当时，，所以，这与假设矛盾，
故假设不成立，原结论是“封闭集”，则或成立，即必要性成立．D正确．
故选：ABD.
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数（常数且）图象恒过定点P，则P的坐标为__．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数的运算性质进行求解即可.
【详解】当时，，所以P的坐标为，
故答案为：
13. 已知，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】两边平方后，求出答案.
【详解】因为，所以，即．
故答案为：3
14. 若存在实数，使得对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】去掉绝对值，先把不等式转化成，根据的存在性和的任意性，进一步将问题转化成，根据，分、两种情况讨论即可.
【详解】由题意知存在实数，使得对任意的，都有，
即，
即成立，
设，，
则题意等价于存在实数，使得，所以，
即，
当时，显然在上单调递增，
则，解得，所以；
当时，
根据对勾函数的性质，在上单调递减，在上单调递增，
（ⅰ）当时，在上单调递增，
，，
由，解得，所以．
（ⅱ）当时，在上单调递减，在上单调递增，
，．
因为，所以，
解得，所以．
（ⅲ）当时，在上单调递减，
，．
由，解得，与矛盾．
综上所述，实数的取值范围为．
故答案为：
四､解答题（共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15. 已知函数.
（1）函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）最大值为1，最小值为.
【解析】
【分析】（1）任取，且，然后化简变形，判断符号，从而可得结论；
（2）由（1）知在区间上单调递增，从而利用其单调性可求出其最值.
【小问1详解】
证明：任取，且，
则
因为，，所以，，，
所以，即，
所以上单调递增.
【小问2详解】
由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为1，最小值为.
16. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若是的充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）或.
（2）.
【解析】
【分析】（1）先求出，再利用交集的定义可求出；
（2）由题意得，然后列不等式组可求得答案.
【小问1详解】
当时，，
所以或，
因为，
故或.
【小问2详解】
因为是的充分条件，所以
所以，
解得 ，
所以的取值范围为.
17 已知函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）当时，求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可知的两根为和，然后利用根与系数的关系可求得结果；
（2）当时可得，当时，，然后分和两种情况结合一元二次不等式的解法可求得结果.
【小问1详解】
由题意可知的两根为和，
所以由根与系数的关系得，
解得.
【小问2详解】
当时，则，解得；
当时，，
当时，则，解得或；
当时，则，
当时，即，解，得；
当时，即，解，得；
当时，即，解，得.
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18. 某企业原来生产某种产品（万件）可获利（万元），且满足.现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元.由市场调研分析得知，当前产品供不应求.记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）.
（1）求函数的解析式；
（2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
【答案】（1）
（2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元
【解析】
【分析】（1）根据题意直接写出解析式；
（2）当时，利用二次函数性质求最值，当时，利用基本不等式求最值，综合两段函数求最值.
【小问1详解】
由题意得，
【小问2详解】
当，，
故当时，取最大值，；
当时，，
当且仅当，即时，为最大值.
因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润万元
19. 若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“阶自伴函数”．
（1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由：
（2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求的值；
（3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围．
【答案】（1）不是，理由见解析；
（2）1； （3）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的定义，取，判断 在没有实数解，即可得解.
（2）根据给定的定义，当时，用表示并判断单调性，求出值域，借助集合的包含关系求解即得.
（3）根据给定的定义，函数在区间,上的值域包含函数在区间,上的值域，再结合二次函数的性质，分类讨论即可求解．
【小问1详解】
假定函数是区间上的“2阶自伴函数”，
取，，由，得，显然此方程无实数解，
所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”.
【小问2详解】
函数为区间上的“1阶自伴函数”，
则对任意，总存在唯一的，使得，
即，整理得，显然函数在上单调递减，
且当时，，当时，，
因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而，
于是，则有，解得，即，
所以的值是1.
【小问3详解】
由函数在上单调递减，得函数的值域为，
由函数是在区间上的“2阶伴随函数”，
得对任意的，总存在唯一的时，使得成立，
于是，则在区间上的值域必定包含区间，
且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为，
显然，，
①当时，在上单调递增，则，
即，解得；
②当时，在上单调递减，则，
即，解得；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，则，
即，解得；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，则，
即，解得，
所以a取值范围是.
【点睛】思路点睛：本题首先要理解“m阶自伴函数”或“m阶伴随函数”的意义，然后根据每一小问函数的类型设计出解决问题的思路，对于第三问，存在对称轴问题，需要仔细分类讨论，特别是当时，要考虑对称轴在区间时，二次函数的图像的形状，以此来建立不等式求出a的范围.
每户每月用水量
水价
不超过12m3的部分
3元/m3
超过12m3但不超过18m3的部分
6元/m3
超过18m3的部分
9元/m3