江苏省南京市南京师范大学附属中学树人学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份江苏省南京市南京师范大学附属中学树人学校2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图标，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点A的坐标是−2,1.将点A向右平移3个单位长度，得到点A1，再作点A1关于x轴的对称点，得到点A2，则点A2的坐标是( )
A. 1,1B. −1,1C. 1,−1D. −1,−1
3.如图，用直尺和圆规作∠AOB的平分线OC，则△DOC≌△EOC的依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
4.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c.下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是( )
A. c2=a2−b2B. a:b:c=3:4:5
C. ∠C=∠B−∠AD. ∠A:∠B:∠C=3:4:5
5.若一次函数y=kx+b(k、b是常数，k≠0)的图象经过一、二、四象限，则点k,b在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
6.如图是某游乐场每天的利润y(票价总收入减去运营成本)与每天售出的门票张数x的函数图象．目前该游乐场亏损，为了扭亏，游乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，下列图象中能表示采取措施后的图象是( )
A. B.
C. D.
7.如图，一张三角形纸片ABC，∠ABC,∠ACB的平分线相交于点P，将纸片沿MN折叠，使点A恰好落在点P处．若∠BPC=2∠BMP，则∠A的度数为( )
A. 50 ∘B. 55 ∘C. 60 ∘D. 65 ∘
8.如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形MNPQ拼成的一个大正方形ABCD.连接AQ、BP、CN、DM.若正方形ABCD的面积为2a，阴影部分的面积为2b.则AN的长度为( )
A. a+bB. a2+b2C. a+bD. a2+b2
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.4的平方根是 .
10.已知月球与地球的距离约为384000km，将384000精确到万位取近似值用科学记数法表示为 .
11.比较大小： 7−2 _1.
12.已知y是x的一次函数，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示，
比较大小：m n.
13.在平面直角坐标系中，将函数y=2x+3的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是 .
14.在△ABC中，AB=AC=13，BC=10.则△ABC的面积为 .
15.如图，△ABC≌△EDC，点D在边AB上，∠B=50 ∘，则∠ACE的度数为 ∘.
16.如图，一次函数y1=kx−m(k、m是常数，且k≠0)，y2=−x+n的图像交于点P3,2，则关于x的不等式k+1x>m+n的解集为 .
17.如图，△ABC和△DEF分别是边长为6和2的等边三角形，顶点D，E是AC边上的动点．顶点F的位置随D，E在AC边上的运动而变化，连接BF，则BF的最小值为 .
18.如图，在△ABC中，AB=AC，直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线，m，n交于点P，连接CP.若∠1=21 ∘，则∠B的度数为 ∘.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
19.解决下列问题：
(1)计算： 25− −32+3−64；
(2)求x的值：2x−22=8.
四、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
如图，AD=EB,∠BDC=∠BCD,AD//BC，求证：AB=EC.
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，点N的坐标为−2,−3.
(1)点M的坐标为 ；
(2)画出线段M′N′，使M′N′与MN关于y轴对称；若以M′N′为斜边的△PM′N′是等腰直角三角形，直接写出点P的坐标．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，直线l是BC边的垂直平分线，l与AB边交于点D，与∠BAC的平分线交于点E，连接BE、CE，延长AC至点F.
(1)求证：∠ABE=∠ECF；
(2)连接CD，若∠ACD=30 ∘，则∠ABE= ∘.
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点−3,−2,0,4.
(1)求一次函数的表达式；
(2)画出这个一次函数的图象，并根据图象回答：当x 时，y>0；
(3)若该一次函数的图象、函数y=kx+4(k为常数，k≠0)的图象和x轴所围成的三角形的面积大于8，直接写出k的取值范围．
24.(本小题8分)
如图，已知线段m，n.用两种不同的方法：求作△ABC，使∠B=90 ∘，AB=m，AC边上的中线长为n.要求：
(1)尺规作图；
(2)保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
25.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90 ∘，CD是中线，作DE⊥AB，垂足为D，交BC于点E，点F在CD上，且EF=EC，连接BF.
(1)求证：AC=BF；
(2)若AB=10,BF=6，则BE= .
26.(本小题8分)
快车、慢车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一条笔直的公路匀速相向而行．快车到达乙地后休息一段时间，再以原速的54倍原路返回甲地，快、慢两车恰好同时到达甲地．快车离甲地的距离y(单位：km)与行驶时间x(单位：h)之间的函数图像如图①所示．
(1)甲、乙两地之间的距离为 km，慢车的速度为 km/h；
(2)求线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
(3)设快、慢车两车之间的距离为s(单位：km)，在图②中画出s与x之间的函数图象．(标明必要的数据)
27.(本小题8分)
在长方形ABCD中，AD=6，E，F分别是AD，AB边上的动点．在长方形ABCD的内部(包含边界)，以EF为直角边作等腰直角三角形EFP，且∠EFP=90 ∘.过点P作PQ⊥AB，垂足为Q.
(1)如图①，当AE=1时，设AQ=x,PQ=y，求y与x之间的函数表达式；
(2)当点E的位置如图②所示时，点F在AB边上运动，用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点P；(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)
(3)当点E，F分别在AD，AB边上运动时，满足条件的点P所形成的区域的面积随着AB的长度变化而变化，设点P所形成的区域的面积为S，AB的长度为n.请直接写出S与n的函数表达式及对应n的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，C选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D.
2.【答案】C
【解析】此题主要考查了平移变换以及关于x轴对称点的性质，利用平移的性质得出点A1的坐标，再直接利用关于x轴对称点的性质得出点A2坐标．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点A的坐标是−2,1，将点A向右平移3个单位长度，得到点A1，则A11,1，
∵作点A1关于x轴的对称点，得到点A2，
∴点A2的坐标是1,−1.
故选：C.
3.【答案】A
【解析】本题考查作图-复杂作图、全等三角形的判定．由作图痕迹可知，OD=OE，CD=CE，再结合全等三角形的判定可得答案．
【详解】解：由作图痕迹可知，OD=OE，CD=CE，
∵OC=OC，
∴△DOC≌△EOCSSS.
∴△DOC≌△EOC的依据是SSS.
故选：A.
4.【答案】D
【解析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答．
【详解】解：∵c2=a2−b2，则a2=b2+c2
∴△ABC是直角三角形，故A选项不符合题意；
∵a:b:c=3:4:5，
∴可设a=3k,b=4k,c=5k，
∴a2+b2=3k2+4k2=25k2=5k2=c2，
即a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，故B选项不符合题意；
∵∠C=∠B−∠A，且∠A+∠B+∠C=180 ∘，
∴∠B=90 ∘，
∴△ABC是直角三角形，故C选项不符合题意；
∵∠A:∠B:∠C=3:4:5,∠A+∠B+∠C=180 ∘，
∴最大角∠C=512×180 ∘=75 ∘，
∴△ABC不是直角三角形，故D选项符合题意，
故选：D.
5.【答案】B
【解析】本题考查了一次函数的图象和性质，象限内点的坐标特征．根据一次函数经过一、二、四象限得出k0，再根据第二象限内坐标特征判断即可．
【详解】解：∵y=kx+b(k≠0)的图象经过一、二、四象限，
∴k0，
∴点k,b在第二象限，
故选：B.
6.【答案】A
【解析】本题考查了一次函数的应用，从降低运营成本、提高票价两种措施结合函数图象，逐项分析判断，即可求解．
【详解】根据直线的倾斜角变大，即相同的乘客量时收入变大，即票价提高了，故CD选项，不合题意，
直线向上平移说明当乘客量为0时，收入是0但是支出的变少了，即说明了降低成本而保持票价不变，故B选项不合题意；
综上所述，乐场同时采取降低运营成本、提高票价两种措施，只有A选项中的图象符合题意，
故选：A.
7.【答案】C
【解析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，折叠问题，角平分线定义，连接PA，由角平分线定义得到∠BAC=2∠PAM，由折叠的性质得到∠PAM=∠APM，由三角形的外角性质推出∠BMP=∠BAC，由角平分线定义得到∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB，因此∠BPC=90 ∘+12∠BAC，得到90 ∘+12∠BAC=2∠BAC，求出∠BAC=60 ∘.
【详解】解：连接PA，
∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴PA平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠PAM，
由折叠的性质得到∠PAM=∠APM，
∵∠BMP=∠PAM+APM=2∠PAM，
∴∠BMP=∠BAC，
∵PB平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=12∠ABC+∠ACB，
∴180 ∘−∠BPC=12×180 ∘−∠BAC，
∴∠BPC=90 ∘+12∠BAC，
∵∠BPC=2∠BMP，
∴90 ∘+12∠BAC=2∠BAC，
∴∠BAC=60 ∘.
故选：C.
8.【答案】C
【解析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为2b，得到S△ADM=142a−2b=12AM⋅DN=12AM2，得到AM= a−b，根据三角形的面积公式列方程得到2 a−bQM=2b−QM2，求得MQ= a−b+ a+b，于是得到AN=AM+MN= a+b.
【详解】解：由题意得AM=DN，
∵正方形ABCD的面积为2a，
∴AD= 2a，
∵阴影部分的面积为2b，
∴S△ADM=142a−2b=12AM⋅DN=12AM2，
∴AM= a−b，
∵S△AMQ=12AM⋅QM=14(2b−S正方形PQMN)=14(2b−MQ2)，
∴2 a−bQM=2b−QM2，即QM2+2 a−bQM−2b=0，
∴MQ=− a−b+ a+b(负值已舍)，
∴AN=AM+MN= a+b，
故选：C.
9.【答案】±2
【解析】解：∵(±2)2=4，
∴4的平方根是±2.
故答案为±2.
10.【答案】3.8×105
【解析】本题主要考查了科学记数法和求一个数的近似数，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤a3时，函数y1=kx−m的图象都在函数y2=−x+n的图象的上方，由此得到不等式kx−m>−x+n，即k+1x>m+n的解集．
【详解】解：如图所示，一次函数y1=kx−m与y2=−x+n的图像交于点P3,2，
∴不等式kx−m>−x+n，即k+1x>m+n的解集为x>3
故答案为：x>3.
17.【答案】4 3
【解析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，平行线间的距离；过点F作FT⊥AC于点T，过点B作BK⊥AC于点K.求出FT，BK，由题意点F在平行AC的直线m上运动，当BF⊥直线m时，BF的值最小．
【详解】解：过点F作FT⊥AC于点T，过点B作BK⊥AC于点K.
∵△ABC和△DEF分别是边长为6和2的等边三角形，
∴DT=TE=1，AK=KC=3，
∴FT= 3，BK=3 3
由题意点F在平行AC的直线m上运动，平行线之间的距离为 3
∴当BF⊥直线m时，BF的值最小，最小值为4 3
故答案为：4 3.
18.【答案】67
【解析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，连接AP,BP，设m，AB交于点D，根据题意得出∠PBC=∠PCB，设∠ABP=α，则∠BPD=90 ∘−α，进而得出∠BPC=180 ∘−∠PBC+∠PCB=4α，根据∠DPB+∠BPC+∠1=180 ∘得出α=23 ∘，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接AP,BP，设m，AB交于点D
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵直线m，n分别是AB、AC的垂直平分线
∴PA=PB,PA=PC
∴PB=PC
∴∠PBC=∠PCB
∴∠ABC−∠PBC=∠ACB−∠PCB，即∠PBA=∠PCA
设∠ABP=α，则∠BPD=90 ∘−α
∴∠PAB=∠PBA=∠PCA=∠PAC=α，则∠BAC=2α
∴∠BPC=180 ∘−∠PBC+∠PCB
=180 ∘−180 ∘−∠PBA−∠PAB−∠PAC−∠PCA
=4α
又∵∠DPB+∠BPC+∠1=180 ∘
∴90 ∘−α+4α+21 ∘=180 ∘
解得：α=23 ∘
∴∠ABC=12180 ∘−2α=12180 ∘−2×23 ∘=67 ∘
故答案为：67.
19.【答案】【小题1】
解： 25− −32+3−64
=5−3−4
=−2.
【小题2】
解：2x−22=8
∴x−22=4
∴x−2=±2
解得：x=4或x=0.

【解析】1.
此题考查实数的混合运算，利用平方根定义解方程：
先计算算术平方根，零指数幂，立方根，再进行加减运算即可得到答案；
2.
利用平方根的定义，解方程，即可求出x的值．
20.【答案】证明：∵AD//BC，
∴∠ADB=∠CBE，
∵∠BDC=∠BCD，
∴BC=BD，
在△ABD与△ECB中，
AD=EB∠ADB=∠CBEBD=BC
∴△ABD≌△ECBSAS，
∴AB=EC.

【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，对角对等边，根据平行线的性质得出∠ADB=∠CBE，再根据等角对等边得出BC=BD，再根据SAS证明△ABD≌△ECB即可得出结论．
21.【答案】【小题1】
−1,4
【小题2】
如图，M′N′即为所求，
以M′N′为斜边的△PM′N′是等腰直角三角形，则点P的坐标为5,1或−2,0.

【解析】1.
本题考查了坐标与图形，等腰三角形的定义；
根据坐标系写出点的坐标即可；
∵点M在第二象限，且点M到x轴的距离为4，到y轴的距离为1，
∴M−1,4.
故答案为：−1,4；
2.
利用轴对称变换的性质作出线段M′N′，再根据等腰直角三角形的判定作出△PM′N′，根据坐标系写出点的坐标即可．
22.【答案】【小题1】
证明：如图，作EG⊥AB，垂足为点G，EH⊥AF，垂足为H，
∴∠BGE=∠CHE=90 ∘，
∵直线l是BC边的垂直平分线，
∴BE=CE，
∵AE平分∠BAC，EG⊥AB，EH⊥AF，
∴GE=HE，
∴Rt△BEG≌Rt△CEHHL，
∴∠ABE=∠ECF；
【小题2】
75

【解析】1.
本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质．
作EG⊥AB，垂足为点G，EH⊥AF，垂足为H，证明Rt△BEG≌Rt△CEHHL即可得到∠ABE=∠ECF；
2.
利用线段的垂直平分线可推导出∠DBE=∠DCE，再利用(1)的结论得到∠DCE=∠ECF=12180 ∘−∠ACD继而求出结果．
解：∵直线l是BC边的垂直平分线，
∴BD=CD，BE=CE，
∴∠DBC=∠DCB，∠EBC=∠ECB，
∴∠DBE=∠DCE，
由(1)可知∠ABE=∠ECF.
∴∠DCE=∠ECF=12180 ∘−∠ACD=12×180 ∘−30 ∘=75 ∘.
故答案为：75.
23.【答案】【小题1】
解：设一次函数解析式为y=mx+nk≠0，
∵一次函数的图象经过点−3,−2,0,4，
−3m+n=−2n=4，
解得m=2n=4
∴一次函数解析式为y=2x+4；
【小题2】
>−2
【小题3】
∵函数y=kx+4(k为常数，k≠0)的图象和y轴的交点坐标(0,4)，
∴该函数与x轴交点坐标为−4k,0
当函数y=kx+4经过点−6,0或(2,0)时，两直线与x轴所围成的三角形的面积为8
即−4k=−6或−4k=2
解得：k=23或k=−2，
∵该一次函数的图象、函数y=kx+4(k为常数，k≠0)的图象和x轴所围成的三角形的面积大于8，
∴−20，
故答案为：>−2.
3.
根据当函数y=kx+4经过点−6,0或(2,0)时，两直线与x轴所围成的三角形的面积为8，结合图形，即可求解．
24.【答案】【小题1】
解：方法1，如图，△ABC为所作．
方法1，如图，△ABC为所作．
【小题2】
解：方法1，∵AD=BD=n，
∴∠BAD=∠ABD，
∵∠ABC=90 ∘，
∴∠BAD+∠ACB=90 ∘，∠ABD+∠DBC=90 ∘，
∴∠DCB=∠DBC，
∴CD=BD=n，
∴△ABC符合题意；
方法1，∵AD=BD=CD=n，
∴∠BAD=∠ABD，∠DCB=∠DBC，
∴∠BAD+∠ABD+∠DCB+∠DBC=180 ∘，
∴∠ABC=∠ABD+DBC=90 ∘，
∵AB=m，
∴△ABC符合题意；

【解析】1.
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
方法1，先在直线l上取点B，过B点作BC⊥l，再在直线l上截取BA=m，然后分别以A和B点为圆心，n为半径画弧交于D，连接AD并延长交BC于点C，则△ABC满足条件．
2.
方法2，先在直线l上取点A，再在直线l上截取AD=CD=n，然后分别以A和D点为圆心，分别m和n为半径画弧，两弧交于B，连接AB和BC，则△ABC满足条件．
25.【答案】【小题1】
证明：连接AE，如图所示：
∵在△ABC中，∠ACB=90 ∘，CD是中线，
∴AD=BD=CD，
∵DE⊥AB，垂足为D，
∴DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠AEC=∠EAB+∠EBA=2∠EBA，
∵BD=CD，
∴∠DCB=∠EBA，
∵EF=EC，
∴∠DCB=∠EFC，
∴∠DCB=∠EFC=∠EBA，
∴∠BEF=∠DCB+∠EFC=2∠DCB=2∠EBA，
∴∠BEF=∠AEC，
在△BFE和△ACE中，
BE=AE∠BEF=∠AECEF=EC
∴△BFE≌△ACESAS，
∴AC=BF；
【小题2】
254

【解析】1.
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，等腰三角形的性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关性质是解答的关键．
连接AE，依题意得AD=BD=CD，DE是线段AB的垂直平分线，则BE=AE，进而得∠EAB=∠EBA，则∠AEC=2∠EBA，根据BD=CD，EF=EC得∠DCB=∠EBA=∠EFC，则∠BEF=2∠EBA，由此得∠BEF=∠AEC，进而可依据SAS判定△BFE和△ACE全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论；
2.
由△BFE和△ACE全等得AC=BF=6，∠BFE=∠ACB=90 ∘，进而得BC=8，设EF=CE=a，则BE=BC−CE=8−a，在Rt△BEF中，由勾股定理可求a=74，进而即可求解．
解：由(1)可知：△BFE≌△ACESAS，
∴AC=BF，∠BFE=∠ACB=90 ∘，
∵BF=6，
∴AC=BF=6，
在Rt△ABC中，AC=6，AB=10，
由勾股定理得：BC= AB2−AC2=8，
设EF=CE=a，则BE=BC−CE=8−a，
∵∠BFE=∠ACB=90 ∘，
∴△BEF是直角三角形，
在Rt△BEF中，EF=a，BE=8−a，BF=6，
由勾股定理得：BE2=EF2+BF2，
∴8−a2=a2+62，
解得：a=74
∴BE=8−a=254
故答案为：254.
26.【答案】【小题1】
300
50
【小题2】
解：由图可得，
快车从甲到乙的速度为300÷3=100km/h，
则快车从乙到甲的速度为100×54=125km/h，
∴快车从乙到甲的时间为：300÷125=125h，
∴点A的横坐标为6−125=185，
∴点A的坐标为185,300，
设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=kx+b，
∵点A185,300，点B6,0在该函数图象上，
∴185k+b=3006k+b=0，
解得k=−125b=750，
即线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y=−125x+750；
【小题3】
解：当x=3时，慢车行驶的路程为：50×3=150km，
当x=185时，慢车行驶的路程为50×185=180km，
图象如图所示．
.

【解析】1.
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据图①中的数据，可以写出甲、乙两地之间的距离，计算出慢车的速度；
解：由图①可得，
甲、乙两地之间的距离为300km，慢车的速度为300÷6=50km/h，
故答案为：300，50；
2.
根据题意，可以算出点A的坐标，然后根据待定系数法，即可求得线段AB所表示的y与x之间的函数表达式；
3.
根据题意，可以计算出x=3和x=185时，慢车走的路程，然后即可画出相应的函数图象．
27.【答案】【小题1】
解：∵△EFP是等腰直角三角形，
∴EF=FP，∠EFP=90 ∘，
∵四边形ABCD是长方形，
∴∠A=90 ∘，
又∵PQ⊥AB
∴∠PQF=90 ∘
∴∠AFE=90 ∘−∠PFQ=∠FPQ，
在△AEF,△QFP中，
∠A=∠PQF∠EFA=∠FPQEF=PF
∴△AEF≌△QFPAAS
∴FQ=AE，则PQ=AF=AQ−FQ=AQ−AE
∵AE=1，AQ=x,PQ=y
∴y=x−1
【小题2】
解：如图所示，在AB上截取点N，使得AN=AE，在AB上任取一点F，过点F作PF⊥EF,PF=EF，连接NP交DC于点M，连接MN，则MN为所有满足条件的点P的轨迹
【小题3】
解：长方形ABCD中，AD=6，
分四种情况讨论，
①当0