2025-2026学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年湖北省武汉市东西湖区八年级（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.中国的方块字中有些具有对称性.下面四个汉字中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知三角形的两边长分别为3，4，另一边长可能是( )
A. 1B. 4C. 7D. 8
3.点P(−3,6)关于y轴对称点的坐标是( )
A. (3,6)B. (−3,−6)C. (3,−6)D. (6,−3)
4.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，DE⊥AB，若∠B=50∘，则∠AED的大小为( )
A. 30∘
B. 40∘
C. 50∘
D. 25∘
5.如图，已知∠ACB=∠ACD，那么添加下列一个条件后不能证明△ABC≌△ADC的是( )
A. AB=AD
B. BC=CD
C. ∠B=∠D
D. ∠BAC=∠DAC
6.如图，有一个池塘，要测量池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD=CA.连接BC并延长到E，使CE=CB.连接DE，那么DE的长就是A、B的距离.则解决这个问题蕴含的全等依据是( )
A. SAS
B. ASA
C. AAS
D. SSS
7.如图，△ABC中，点D在BC边上，将点D分别以AB、AC所在直线为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF.如果∠B+∠C=110∘，则∠EAF的度数为( )
A. 110∘
B. 150∘
C. 70∘
D. 140∘
8.如图，在△ABC中，AB=AC，分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，交AC于点M，连接BM.若BC=7，△BCM的周长为18，则△ABC的周长为( )
A. 18
B. 25
C. 29
D. 32
9.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等，应选择的位置是( )
A. △ABC三边垂直平分线的交点B. △ABC三条中线的交点
C. △ABC三条高的交点D. △ABC三条角平分线的交点
10.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，点E是AC的中点，点D为△ABC内一点，EC=ED，若已知△BCD的面积，则一定可以求出( )
A. 线段BD的长
B. 线段CD的长
C. △ECD的面积
D. △ABD的面积
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.自行车的支架做成三角形，这是利用三角形具有______.
12.如图，点D在△ABC的边CB的延长线上，若∠A=75∘，∠C=60∘，则∠ABD的大小为 .
13.若等腰三角形的两边长分别为2和5，则第三条边长为 .
14.如图的三角形纸片中，AB=12cm，BC=8cm，AC=7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为 .
15.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=120∘，AB=6cm，BC=9cm，CD=12cm，点P在线段BC上以2cm/s的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段CD上由点C向点D匀速运动，若△BAP与△PCQ在某一时刻全等，则点Q运动速度为 .
16.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点G，过点A作AF⊥BE于点H，交BC于点F，下列结论：
①∠AGE=∠AEG；
②AE=DF；
③GD+DC=AB；
④；
其中正确的是 .(填序号)
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠BAC=40∘，∠B=75∘，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
18.(本小题8分)
已知：如图，BC//EF，BC=EF，AF=DC.求证：△ABC≌△DEF.
19.(本小题8分)
已知：CD=BE，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E.且BD、CE相交于点F.求证：AF平分∠BAC.
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90∘，E是BC的中点，DE平分∠ADC.
(1)求证：AD=CD+AB；
(2)若AD=16，CB=12，求四边形ABCD的面积.
21.(本小题8分)
如图是由边长为1的小正方形组成的8×7网格，已知点A，B，C均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题，画图过程用虚线表示，每个任务不超过3条线.
(1)图中△ABC的面积为______；
(2)在图1中画出△ABC的高BD；
(3)在图1中的BC边上画一点E，使∠CAE=45∘；
(4)在图2中，F为线段BC上一点，画线段CF的中点G.
22.(本小题10分)
(1)问题背景：如图1，已知三角形内角和为180∘，连接BD得到△ABD和△BCD，易得四边形ABCD的内角和为______.
(2)尝试应用：如图2，已知在四边形ABCD中，DE⊥BC，∠BAD+∠BCD=180∘，AD=DC.
①求证：BD平分∠ABC.
②若AB=5，BC=18，求BE的长.
23.(本小题10分)
在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC，且满足∠BAC=∠AEC=α.
(1)如图1，当∠BDA=α=90∘时，直接写出线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
(2)如图2，当∠BAC是钝角，且CE=DA时，探究∠BDA与∠AEC之间的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，当∠BAC是钝角，且CE=DE时，直接写出∠BDA与∠AEC之间的数量关系.
24.(本小题12分)
已知在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上某一点，点P是第二象限内一动点.
(1)如图1，若动点P(a,b)满足|3a+15|+(5−b)2=0，则a=______，b=______.
(2)如图2，在第(1)问的条件下，若PA⊥PB，点B在x轴上，将∠APB绕点P顺时针旋转至如图所示位置，点C和点D均在坐标轴上，求OD+OC的值.
(3)如图3，若点B与点B′关于y轴对称，且AG⊥PB′，动点P满足，请直接写出，S△APB和三个三角形之间的面积关系.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：盛，世，太不是轴对称图形，平是轴对称图形，
故选：D.
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：根据三角形的三边关系，得：
第三边大于：4−3=1，小于4+3=7，
则此三角形的第三边可能是4.
故选：B.
根据三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和求得第三边的取值范围，再进一步选择．
本题考查了三角形的三边关系，即三角形的第三边大于两边之差，而小于两边之和，此题基础题，比较简单．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意可知，对称点的坐标是(3,6).
故选：A.
根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数作答即可．
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标的特点是关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90∘，∠B=50∘，
∴∠A=90∘−∠B=40∘，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90∘，
，
故选：C.
由∠ACB=90∘，∠B=50∘，求得∠A=90∘−∠B=40∘，因为DE⊥AB，所以∠ADE=90∘，则，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“直角三角形的两个锐角互余”是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=∠ACD，AC=AC，
∴当添加AB=AD时，不能证明△ABC≌△ADC，所以A选项符合题意；
当添BC=CD，△ABC≌△ADC(SAS)，所以B选项不符合题意；
当添加∠B=∠D时，△ABC≌△ADC(AAS)，所以C选项不符合题意；
当添加∠BAC=∠DAC时，△ABC≌△ADC(ASA)，所以D选项不符合题意．
故选：A.
由于∠ACB=∠ACD，AC为公共边，则根据全等三角形的判定方法可对各选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
6.【答案】A
【解析】证明：在△ABC和△DEC中，
∵CA=CD∠ACB=∠DCECB=CE，
∴△ABC≌△DEC(SAS)，
∴AB=DE.
故选：A.
图形中隐含对顶角的条件，容易得到两个三角形全等
本题考查全等三角形的应用，解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．
7.【答案】D
【解析】解：连接BE，CF，AD，
∵点D关于AB、AC所在直线的对称点为点E和点F，
∴∠ABE=∠ABC，∠ACF=∠ACB，∠E=∠ADB，∠F=∠ADC.
∵∠ABC+∠ACB=110∘，∠ADB+∠ADC=180∘，
，∠E+∠F=180∘，
∴∠EAF=540∘−180∘−220∘=140∘.
故选：D.
根据轴对称的性质进行计算即可．
本题主要考查了轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM.
∵BC=7，△BCM的周长为18，
∴BC+BM+CM=7+AM+CM=7+AC=18，
∴AC=11.
∴AB=11，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=11+11+7=29.
故选：C.
由作图过程可知，直线EF为线段AB的垂直平分线，可得AM=BM，则BC+BM+CM=7+AM+CM=7+AC=18，则，进而可得答案．
本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴度假村应建在△ABC三条角平分线的交点处．
故选：D.
角平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案．
本题考查三角形的重心，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质．
10.【答案】B
【解析】解：如图，过B作BF⊥CD，交CD延长线于点F，
∴∠BFC=90∘，
由条件可知EA=ED=EC，
∴∠ADE=∠DAE，∠DEC=∠DCE，
，
∴∠ADC=∠BFC=90∘，
∴∠BCF+∠ACD=90∘，∠DAC+∠ACD=90∘，
∴∠BCF=∠CAD，
在△BCF和△CAD中，
∠BFC=∠CDA∠BCF=∠CADBC=CA，
∴△BCF≌△CAD(AAS)，
∴BF=CD，
∴△BCD的面积一定则可以求出CD长，
故选：B.
连接AD，过B作BF⊥CD，交CD延长线于点F，通过三角形内角和定理，等边对等角，先证明，再由同角的余角相等得∠BCF=∠CAD，从而证明△BCF≌△CAD(AAS)，则BF=CD，根据△BCD的面积为即可求解．
本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，直角三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键．
11.【答案】稳定性
【解析】解：自行车的三角形车架，这是利用了三角形的稳定性．
故答案为：稳定性．
根据三角形具有稳定性解答．
本题考查了三角形的稳定性，是基础题．
12.【答案】135∘
【解析】解：∵点D在△ABC的边CB的延长线上，
，
∵∠BAC=75∘，∠C=60∘，
，
故答案为：135∘.
因为点D在△ABC的边CB的延长线上，∠BAC=75∘，∠C=60∘，所以，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形内角和定理及其推论，正确理解和应用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：当等腰三角形的腰为2时，底边为5，
此时三角形的三边分别为2，2，5，
∵2+25，5−2DF，故②错误；根据全等三角形的性质得到∠BFG=∠BAD=45∘，根据等腰直角三角形的性质得到DF=DG，求得AB=BF=BD+DF=CD+DG，故③正确；根据全等三角形的性质得到S△AEG=S△AFG，推出S△ABG=S△ACF，得到S△BGF=S△ACF，于是得到S△ABF=S△ABG+S△BFG+S△AGF=2S△AFC+S△AGE.故④正确．
本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定定理是解题的关键．
17.【答案】解：∵AD平分∠CAB，∠BAC=40∘，
∴∠DAB=12∠BAC=20∘，
∵∠B=75∘，
∴∠ADB=180∘−∠DAB−∠B=180∘−20∘−75∘=85∘.
【解析】根据角平分线定义求出∠DAB，根据三角形内角和定理得出∠ADB=180∘−∠DAB−∠B，代入求出即可．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义的应用，注意：三角形的内角和等于180∘.
18.【答案】证明：∵BC//EF，
∴∠ACB=∠EFD，
∵AF=DC，
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，
AC=DF∠ACB=∠EFDBC=EF，
∴△ABC≌△DEF(SAS).
【解析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠EFD，利用SAS证明△ABC≌△DEF即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
19.【答案】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDF=∠BEF=90∘，
∵∠DFC=∠EFB，CD=BE，
∴△DFC≌△EFB(AAS)，
∴DF=EF，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴AF平分∠BAC.
【解析】证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDF=∠BEF=90∘，
∵∠DFC=∠EFB，CD=BE，
∴△DFC≌△EFB(AAS)，
∴DF=EF，
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴AF平分∠BAC.
根据AAS证明△DFC≌△EFB，可得DF=EF，即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，掌握全等三角形的判定是解本题的关键．
20.【答案】如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵DE平分∠ADC，EC⊥CD，EF⊥DF，
∴EF=CE，
又∵E是BC的中点，
∴EF=CE=BE，
在Rt△AEF与Rt△AEB中，
AE=AEEF=BE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，
在Rt△DEF与Rt△DEC中，
DE=DEEF=CE，
∴Rt△DEF≌Rt△EDC(HL)，
∴CD=DF，
又∵AB=AF，AD=AF+DF，
∴AD=AB+CD；
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【解析】(1)证明：如图，过点E作EF⊥AD于点F，
∵DE平分∠ADC，EC⊥CD，EF⊥DF，
∴EF=CE，
又∵E是BC的中点，
∴EF=CE=BE，
在Rt△AEF与Rt△AEB中，
AE=AEEF=BE，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，
在Rt△DEF与Rt△DEC中，
DE=DEEF=CE，
∴Rt△DEF≌Rt△EDC(HL)，
∴CD=DF，
又∵AB=AF，AD=AF+DF，
∴AD=AB+CD；
(2)解：∵AD=AB+CD，AD=16，
，
∵BC=12，
，
∴梯形ABCD的面积
(1)根据角平分线的性质得出EF=CE，根据HL证明Rt△AEF≌Rt△AEB，Rt△DEF≌Rt△EDC(HL)，即可得出结论；
(2)根据，得出梯形ABCD的面积即可推出结果．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】12；
如图1中，线段BD即为所求；
如图1中，点E即为所求；
如图2中，点G即为所求
【解析】(1)△ABC的面积=12×6×4=12.
故答案为：12；
(2)如图1中，线段BD即为所求；
(3)如图1中，点E即为所求；
(4)如图2中，点G即为所求．
(1)利用三角形面积公式求解；
(2)取格点J，连接BJ延长BJ交AC于点D，线段BD即为所求；
(3)构造等腰直角三角形ACE即可；
(4)作△ACF的中线CK，FT交于点O，连接AO，延长AO交CF于点G，点G即为所求．
本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
22.【答案】360∘；
①如图2，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F，
∵∠BAD+∠BCD=180∘，∠BAD+∠DAF=180∘，
∴∠BCD=∠DAF，
∵DE⊥BC，DF⊥BA，
∴∠CED=∠AFD=90∘，
∵AD=DC，
∴△CED≌△AFD(AAS)，
∴DE=DF，
∵DE⊥BC，DF⊥BA，
∴BD平分∠ABC；
②11.5
【解析】(1)解：∵∠A+∠ABD+∠ADB=180∘，∠C+∠CBD+∠CDB=180∘，
∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=360∘，
∴∠A+∠ABC+∠ADC+∠C=360∘，
∴四边形ABCD的内角和为360∘，
故答案为：360∘；
(2)①证明：如图2，过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F，
∵∠BAD+∠BCD=180∘，∠BAD+∠DAF=180∘，
∴∠BCD=∠DAF，
∵DE⊥BC，DF⊥BA，
∴∠CED=∠AFD=90∘，
∵AD=DC，
∴△CED≌△AFD(AAS)，
∴DE=DF，
∵DE⊥BC，DF⊥BA，
∴BD平分∠ABC；
②解：∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBD，
∵∠BFD=∠BED=90∘，BD=BD，
∴△BDF≌△BDE(AAS)，
∴BF=BE，
∵AB=5，BC=18，
∴AB+AF=BC−CE，
∵△CED≌△AFD，
∴CE=AF，
，
，
(1)根据三角形内角和定理即可解决问题；
(2)①过点D作DF⊥BA交BA的延长线于点F，证明△CED≌△AFD(AAS)，得DE=DF，然后根据角平分线的性质即可证明BD平分∠ABC；
②证明△BDF≌△BDE(AAS)，得BF=BE，然后根据AB=5，BC=18，即可求BE的长．
本题是四边形综合题，考查三角形内角和定理和四边形内角和，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是证明△CED≌△AFD.
23.【答案】DE=BD+CE；
∠BDA=∠AEC；理由如下：
∵∠BAC=∠AEC=α，
又，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴∠BDA=∠AEC；

【解析】(1)∵∠BAC=∠AEC=90∘=∠BDA，
∴∠BAD=∠ACE=90∘−∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACEAB=AC，
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE，
故答案为：DE=BD+CE；
(2)∠BDA=∠AEC；理由如下：
∵∠BAC=∠AEC=α，
又∵∠BAD+∠CAE=180∘−α=∠CAE+∠ACE，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△CAE中，
∵AB=CA∠BAD=∠ACEDA=EC，
∴△ABD≌△CAE(SAS)，
∴∠BDA=∠AEC；
(3)2∠BDA=180∘+∠AEC；理由如下：
在CE上截取FE=AE，连接AF，
则∠EAF=∠EFA=12(180∘−∠AEF)，∠CFA+∠AFE=180∘，
∵CE=CF+EF=DA+AE，
∴AD=CF，
∵∠DAC=∠BAD+∠BAC=∠AEC+∠ACE，∠BAC=∠AEC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵AB=AC，
∴△ACF≌△BAD(AAS)，
∴∠BDA=∠CFA，
∴∠BDA+∠AFE=180∘，
∴∠AFE=180∘−∠BDA，
∴180∘−∠BDA=12(180∘−∠AEC)，
(1)证明△BDA≌△AEC，得到CE=AD，BD=AE，根据DE=DA+AE，即可得出结论；
(2)证△ABD≌△CAE(SAS)，即可得解；
(3)在CE上截取FE=AE，易得AD=CF，证明△ACF≌△BAD，得到∠BDA=∠CFA，根据∠CFA+∠AFE=180∘，∠AFE=12(180∘−∠AEC)，即可得出结论；
本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形的内角和定理，掌握高三角形的面积比等于底边比即是解题的关键．
24.【答案】−5，5；
；

【解析】(1)由题可知3a+15=0，5−b=0，
∴a=−5，b=5；
故答案为：−5，5；
(2)如图，过点P作PF⊥y轴，PE⊥x轴，
∴∠PED=∠PFO=90∘，
∵∠DOC=90∘，
∴∠EPF=90∘，
，
又，
∴∠DPE=∠FPC，
由(1)知，
在△PED和△PFC中，
，
∴△PED≌△PFC(ASA)，
∴DE=CF，
；
；
证明：过点A作AH⊥BP，记AB与PB′交于点K，
由对称可知，AB=AB′，，
∴∠BAB′=2∠BAO，
，
，
，
∴∠ABH=∠AB′G，
∵AG⊥PB′，AH⊥PB，
∴∠AHB=∠AGB′=90∘，
在△ABH和△AB′G中，
∠AHB=∠AGB′∠ABH=∠AB′GAB=AB′，
∴△ABH≌△AB′G(AAS)，
∴AH=AG，，
在Rt△APH和中，
，
∴Rt△APH≌△Rt△APG(HL)，
∴PH=PG，
，
，
两边同时乘以12AG得，，
(1)根据偶次方和绝对值的非负性即可得解；
(2)过点P作PF⊥y轴，PE⊥x轴，易得△PED≌△PFC(ASA)，即可得解；
(3)过点A作AH⊥BP，先证明△AGB′≌△AHB，再证明△AH′≌△AGP，得到，在等式两边同时乘以AG易得面积关系S△APB′−S△APB=2S△AGP.
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．