2025-2026学年江苏省苏州中学校高二上学期期中考试数学试题

这是一份2025-2026学年江苏省苏州中学校高二上学期期中考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.直线x+2y−1=0的一个方向向量AB可以是( )
A. (1,2)B. (2,1)C. (1,-2)D. (2,-1)
2.“m=-1”是“直线mx−y+1=0与直线(m+2)x−my+2=0平行”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知在数列an中，a1=2，an+1=an+nn∈N*，则a5的值为( )
A. 10B. 11C. 12D. 13
4.点(1,1)关于直线x+y+2=0的对称点为( )
A. (−2,-2)B. (−3,-3)C. (−4,-4)D. (−5,-5)
5.已知数列an的前n项和为Sn，a1=2，an+1=11−an，则S2025=( )
A. 20252B. 60752C. 101252D. 2025
6.已知实数a,b,c,d满足4a+3b−3=0，8c+6d+5=0，则(a−c)2+(b−d)2的最小值为( )
A. 85B. 6425C. 1110D. 121100
7.已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列an，且an的前n项和为Sn，则S10=( )
A. 910B. 900C. 890D. 880
8.如图，在平面直角坐标系xOy上，有一系列点P1x1,y1，P2x2,y2，⋯，Pnxn,yn，每一个点Pnn∈N*均位于函数y=x2(x≥0)的图象上.以点Pn为圆心的⊙Pn都与x轴相切，且⊙Pn与⊙Pn+1外切.若x1=1，且xn+10，a4+a16>0D. 若da13
10.设过点M(1,2)的直线l与x轴､y轴正半轴分别交于A,B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是( )
A. 2|OA|+|OB|的最小值为8B. |OA|⋅|OB|的最小值为8
C. MA⋅MB的最小值为4D. 2|MA|+1|MB|的最大值为 2
11.曲线C:x2+y2=2|x|+2|y|，P,Q是曲线C上任意两点，则下列说法正确的是( )
A. 曲线C的图象有且仅有2条对称轴
B. 曲线C所围成的面积为4π+8
C. |PQ|的最大值为4 2
D. 记曲线C上任意一点M(a,b)，则|a+b−6|的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.直线l过点(1,2)，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程是 .
13.已知数列an满足a1=1，an+1={an+1,n为奇数an+2,n为偶数，则an的前10项和S10= .
14.已知圆O:x2+y2=2，点P是直线l:x+y−4=0上一个动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A,B，则△PAB的垂心H的轨迹方程为 .
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的三个顶点A(m,n)，B(3,-1)，C(1,1).
(1)求BC边所在直线的一般式方程；
(2)若△ABC的面积等于6，且点A在直线2x−3y−1=0上，求点A的坐标.
16.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:(x−3)2+(y−4)2=4，直线l:(λ+3)x−(2λ+4)y−2=0
(1)求动直线l经过的定点P的坐标；
(2)当直线l与圆C相交时，截得的弦长等于2 3，求直线l的方程；
(3)当直线l与圆C相离时，求直线的斜率k的取值范围.
17.(本小题12分)
已知等比数列an的公比q>0，其前n项和为Sn，且满足a2+2a3=10a1，S5=31.
(1)求数列an的通项公式；
(2)记bn=1+lg2anan，
(i)求数列的前n项和Tn；
(ii)若对任意的正整数n，不等式m≥(n−3)4−Tn恒成立，求实数m的取值范围
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f(x)=x2+ax−12(a∈R)的图象交x轴于A,B两点，交y轴于点D，经过这三个交点的圆记为圆C.

(1)若a=-2，求圆C的方程；
(2)已知T(0,3)，O为坐标原点，圆C上存在点M满足|MO|=2|MT|，求实数a的取值范围；
(3)当2∠ACD=∠BCD时，求实数a的值.
19.(本小题12分)
已知数列an的首项a1=1，前n项和为Sn，若对任意的正整数n，均有Sn+1k−Snk=λan+1k成立，其中λ和k是实数，则称此数列为“λ−k”数列.
(1)若等差数列an是“λ−1”数列，求λ的值；
(2)若正项数列an是“3−2”数列，求数列an的通项公式；
(3)对于给定的λ，是否存在三个不同的数列an为“λ−13”数列，且an≥0？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可.
【详解】直线方程可化为：y=-12x+12，
故直线的一个方向向量为：(1,-12)，
因为2(1,-12)=(2,-1)，所以D正确.
故选：D
2.【答案】C
【解析】【分析】根据直线平行的条件，判断“m=-1”和“直线mx−y+1=0与(m+2)x−my+2=0平行”之间的逻辑关系，即可得答案.
【详解】当m=-1时，直线−x−y+1=0与x+y+2=0平行；
当直线mx−y+1=0与(m+2)x−my+2=0平行时，
有−m2=-m−2，解得m=2或m=-1，
当m=2时，2x−y+1=0与4x−2y+2=0重合，不合题意；
当m=-1时，直线−x−y+1=0与x+y+2=0平行；
故“m=-1”是“直线mx−y+1=0与(m+2)x−my+2=0平行”的充要条件，
故选：C
3.【答案】C
【解析】【分析】利用累加法可求得an，进而得到a5.
【详解】∵an+1=an+nn∈N*，a1=2，
∴当n≥2时，an=an−an−1+an−1−an−2+⋅⋅⋅+a2−a1+a1=[(n−1)+(n−2)+⋅⋅⋅+2+1]+2=n(n−1)2+2，
当n=1时，a1=2满足an=2+n(n−1)2，
∴an=2+n(n−1)2n∈N*，∴a5=2+10=12.
故选：C.
4.【答案】B
【解析】【分析】假设所求点为(m,n)，根据斜率关系和两点连线中点在对称轴上可构造方程组求得结果.
【详解】设点(1,1)关于直线x+y+2=0的对称点为(m,n)，
则n−1m−1=1m+12+n+12+2=0，解得：m=-3n=-3，
∴点(1,1)关于直线x+y+2=0的对称点为(−3,-3).
故选：B.
5.【答案】A
【解析】【分析】根据递推关系可求得数列的周期，由此可求得S2025.
【详解】∵an+3=11−an+2=11−11−an+1=-1−an+1an+1=1−111−an=an，
∴数列an是周期为3的数列，
又a1=2，a2=11−2=-1，a3=11+1=12，
所以a1+a2+a3=32，
∴S2025=675S3=675×32=20252.
故选：A.
6.【答案】D
【解析】【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果.
【详解】(a−c)2+(b−d)2的几何意义为直线4x+3y−3=0上的点(a,b)到直线8x+6y+5=0上的点(c,d)的距离d的平方，
∵直线4x+3y−3=0与直线8x+6y+5=0平行，
∴dmin=−3−52 42+32=1110，∴(a−c)2+(b−d)2的最小值为11102=121100.
故选：D.
7.【答案】A
【解析】【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和.
【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5，
所以an是首项为1，公差为4×5=20的等差数列，则S10=10×1+10×92×20=910.
故选：A
8.【答案】A
【解析】【分析】利用PnPn+1=xn2+xn+12可整理得到1xn+1−1xn=2，知数列1xn为等差数列；由等差数列通项公式可得xn，采用裂项相消法可求得结果.
【详解】∵PnPn+1= xn+1−xn2+yn+1−yn2= xn+1−xn2+xn+12−xn22
两圆半径之和为yn+yn+1=xn2+xn+12，
∴xn2+xn+12= xn+1−xn2+xn+12−xn22=xn+1−xn 1+xn+1+xn2，
整理可得：1xn−1xn+12=4，
∵xn+10时，由S5=S12知图象的对称轴为n=172，∴n=8或9时，Sn取得最小值；
当d0，则a4+a16=2a10>2a9=0，C正确；
对于D，∵a3=a9−6d=-6d，a13=a9+4d=4d，又d0，即a3>a13，D正确.
故选：BCD.
10.【答案】ABD
【解析】【分析】根据已知关系可得1a+2b=1，对A，将选项中的式子分别化为2|OA|+|OB|=(2a+b)1a+2b，再利用基本不等式，即可求解；对B，根据条件有|OA|⋅|OB|=ab，再由基本不等式，即可求解；对于C，利用数量积的运算得MA⋅MB=5−(a+2b)，再利用“1”的妙用，即可求解；对于D，利用等面积法得到2|MA|+1|MB|=a+b a2+b2，再结合基本不等式可求得结果.
【详解】设直线l:xa+yb=1(a>0,b>0)，则A(a,0)，B(0,b)且1a+2b=1，
对于A，2|OA|+|OB|=2a+b=(2a+b)1a+2b=4+4ab+ba≥4+2 4ab⋅ba=8，
当且仅当4ab=ba，即a=2，b=4时取等号，所以2|OA|+|OB|的最小值为8，A正确；
对于B，∵1a+2b=1≥2 2ab，∴2ab≤14，
则ab≥8(当且仅当1a=2b，即a=2，b=4时取等号)，即|OA|⋅|OB|≥8，
∴|OA|⋅|OB|的最小值为8，B正确；
对于C，∵MA=(a−1,-2)，MB=(−1,b−2)，
∴MA⋅MB=1−a−2b+4=5−(a+2b)=5−(a+2b)1a+2b=-2ab+2ba≤−2 2ab⋅2ba=-4(当且仅当2ab=2ba，即a=b=3时取等号)，
∴MA⋅MB≤−4，C错误；
对于D，∵原点O到直线l的距离d=1 1a2+1b2=ab a2+b2，
∴S△OAM=12|MA|⋅d=12a⋅yM，S△OBM=12|MB|⋅d=12b⋅xM，
∴|MA|=2aab a2+b2=2 a2+b2b，|MB|=bab a2+b2= a2+b2a，
∴2|MA|+1|MB|=b a2+b2+a a2+b2=a+b a2+b2，
∵a+b2≤ a2+b22，∴a+b a2+b2≤ 2(当且仅当a=b=3时取等号)，
∴2|MA|+1|MB|的最大值为 2，D正确.
故选：ABD.
11.【答案】BCD
【解析】【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆x2+y2=8可知C正确；将|a+b−6|转化为曲线上的点到直线x+y−6=0的距离的 2倍，结合图形可求得D正确.
【详解】当x≥0，y≥0时，曲线C:x2+y2=2x+2y，即(x−1)2+(y−1)2=2；
当x≥0，y≤0时，曲线C:x2+y2=2x−2y，即(x−1)2+(y+1)2=2；
当x≤0，y≥0时，曲线C:x2+y2=-2x+2y，即(x+1)2+(y−1)2=2；
当x≤0，y≤0时，曲线C:x2+y2=-2x−2y，即(x+1)2+(y+1)2=2；
可作出曲线C的图象如下图所示(含坐标原点)，
对于A，由图象可知：曲线C关于x,y轴，直线y=x，y=-x对称，A错误；
对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为12π× 22+12×2×2=π+2，
∴曲线C所围成的图形面积为4π+2=4π+8，B正确；
对于C，曲线C内切于圆x2+y2=8，且切点在y=±x上，如下图所示，
则|PQ|的最大值即为圆x2+y2=8的直径，∴|PQ|max=4 2，C正确；
对于D，∵|a+b−6|= 2×|a+b−6| 2，
∴|a+b−6|的几何意义为曲线C上的点到直线x+y−6=0的距离的 2倍；
∴曲线C上的点到直线x+y−6=0的距离的最小值为6 2−2 2= 2，
∴|a+b−6|的最小值为2，D正确.
故选：BCD.
12.【答案】2x−y=0或2x+y−4=0
【解析】【分析】根据题意，分2种情况讨论：①直线过原点，又由直线经过点(1,2)，由点斜式方程即可得出答案.②直线不过原点，设其方程为xa+y2a=1，又由直线经过点(1,2)，代入求出a，即可求出直线l的方程.
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①直线过原点，又由直线经过点(1,2)，此时直线的方程为y=2x，即2x−y=0；
②直线不过原点，设其方程为xa+y2a=1，
又由直线经过点(1,2)，则有1a+22a=1，解可得a=2，
此时直线的方程为2x+y−4=0，
故直线l的方程为2x−y=0或2x+y−4=0.
故答案为：2x−y=0或2x+y−4=0.
13.【答案】75
【解析】【分析】根据题意分别求a2,a3,a4,⋅⋅⋅,a10，进而求S10.
【详解】由题意可知：a1=1，a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5，
a5=a4+2=7，a6=a5+1=8，a7=a6+2=10，a8=a7+1=11，
a9=a8+2=13，a10=a9+1=14，
所以an的前10项和S10=1+2+4+5+7+8+10+11+13+14=75.
故答案为：75.
14.【答案】x2+y2−x−y=0(去原点)
【解析】【分析】先根据圆的性质和相关几何关系确定一些点的轨迹，再利用点与点之间的对称关系来求出△PAB的垂心H的轨迹方程.
【详解】设P(x0,y0)，则OA⊥PA，OB⊥PB，
根据圆的性质可知AB⊥PO，设PO与AB交于Q，
由O(0,0)，P(x0,y0)，且Q为AB中点，同时Q在PO上，因为P在直线x+y−4=0上，即y0=4−x0，
根据OQ⋅OP=OA2=2，设Q(x,y)，OQ=(x,y)，OP=(x0,y0)，则 x2+y2⋅ x02+y02=2，
又因为x0+y0=4，x02+y02=(x0+y0)2−2x0y0=16−2x0y0，且xx0=yy0= x2+y2 x02+y02，
由OQ⋅OP=2可得x0=2xx2+y2，y0=2yx2+y2，代入x0+y0=4，得到2xx2+y2+2yx2+y2=4，整理得x2+y2−x2−y2=0(去原点)，所以Q点轨迹方程为x2+y2−x2−y2=0(去原点)；
因为AH//OB，BH//OA，所以四边形OAHB是平行四边形，
又因为OA=OB，所以四边形OAHB是菱形，故H与O关于Q点中心对称，
设H(x,y)，Q(x1,y1)，则x1=x+02=x2y1=y+02=y2；
因为Q(x1,y1)在x2+y2−x2−y2=0(去原点)上，将x1=x2，y1=y2代入Q点轨迹方程得(x2)2+(y2)2−12×x2−12×y2=0；
整理可得x2+y2−x−y=0(去原点).
故答案为：x2+y2−x−y=0(去原点).
15.【答案】解：(1)∵B(3,-1)，C(1,1)，∴BC边所在直线斜率k=1+11−3=-1，
∴直线BC方程为：y−1=-(x−1)，即x+y−2=0，
即BC边所在直线的一般式方程为：x+y−2=0.
(2)∵|BC|= (3−1)2+(−1−1)2=2 2，S△ABC=6，
∴点A到直线BC的距离d=2S△ABC|BC|=3 2，
∵A(m,n)在直线2x−3y−1=0上，∴n=2m−13，即Am,2m−13，
∴d=m+2m−13−2 2=|5m−7|3 2=3 2，解得：m=5或m=-115，
当m=5时，n=3；当m=-115时，n=-95；
∴A(5,3)或A−115,-95.

【解析】(1)利用两点坐标可得直线斜率，由此可写出直线点斜式方程，整理可得一般式方程；
(2)根据三角形面积和|BC|长可求得点A到直线BC的距离，利用点到直线距离公式可构造方程求得结果.
16.【答案】解：(1)将直线l方程化为：(x−2y)λ+(3x−4y−2)=0，
由x−2y=03x−4y−2=0得：x=2y=1，∴动直线l经过定点P(2,1).
(2)由圆C方程知：圆心C(3,4)，半径r=2；
设圆心C到直线l的距离为d，
∵直线l被圆C截得的弦长为2 3，∴2 r2−d2=2 4−d2=2 3，解得：d=1，
∴d=|−5λ−9| (λ+3)2+(2λ+4)2=1，解得：λ=-2或λ=-75，
∴直线l方程为：x=2或4x−3y−5=0.
(3)由题意知：直线l斜率存在，则可设l:y−1=k(x−2)，即kx−y−2k+1=0，
∵直线l与圆C相离，∴|3k−4−2k+1| k2+1>2，解得：−3−2 630；当n≥5时，cn+1−cn0，∴Sn+1+Sn=3an+1=3Sn+1−Sn，即Sn+1=2Sn，
又S1=a1=1，∴数列Sn是以1为首项，2为公比的等比数列，∴Sn=2n−1，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2n−1−2n−2=2n−2，
当n=1时，a1=1不满足an=2n−2，
∴an=1,n=12n−2,n≥2,n∈N*.
(3)由“λ−13”数列定义知：Sn+113−Sn13=λan+113，又an≥0，a1=1，
令bn=Sn13，则bn>0，故Sn+1≥Sn，且bn+1≥bn，且bn+1−bn=λSn+1−Sn13，
∴bn+1−bn3=λ3bn+13−bn3，λ>0；
若bn+1−bn=0，则bn+1−bn3=λ3bn+13−bn3恒成立，则λ∈R，
若bn+1−bn≠0，则λ3=bn+1−bn3bn+13−bn3==bn+1−bn2bn+12+bn+1bn+bn2=bn+12−2bn+1bn+bn2bn+12+bn+1bn+bn2
=1−3bn+1bnbn+12+bn+1bn+bn2=1−3bn+1bn+bnbn+1+1，
因为存在三个不同的数列an为“λ−13”数列，
故λ=1−3bn+1bn+bnbn+1+1有两个不同的解，
故31−λ=bn+1bn+bnbn+1+1有两个不同的解，由双勾函数的单调性可得31−λ>3，
∴0