河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北省沧州市多校联考2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．0
2．已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若，则（ ）
A．6B．8C．10D．12
3．已知向量，，若与共线，则（ ）
A．12B．9C．D．
4．若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点，若过定点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
7．已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知点，直线，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．若为椭圆的方程，则的值可以为（ ）
A．3B．6C．8D．1
10．已知直线与，则下列说法正确的是（ ）
A．若上恰有1个点到直线的距离为2，则
B．若上恰有2个点到直线的距离为2，则的取值范围是
C．若上恰有3个点到直线的距离为2，则
D．若上恰有4个点到直线的距离为2，则的取值范围是
11．如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ）

A．
B．异面直线所成角的余弦值为
C．
D．若四点共面，则点是线段的中点
三、填空题
12．已知直线：，直线：，若，则 .
13．过点与圆相切的直线方程为 .
14．已知、分别是椭圆的左､右焦点，为坐标原点，是椭圆上的点，若的面积是，且，则的离心率是 ．
四、解答题
15．已知直线与直线相交于点．
(1)求过点且与直线垂直的直线的方程；
(2)求过点且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程．
16．如图，在直三棱柱中，，，，分别为，的中点.
(1)判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
17．已知圆经过点，且与圆相切于原点.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线不同时为0与圆交于两点，当取得最小值时，与圆交于两点，求的值.
18．已知椭圆的左､右焦点分别为，且过点．
(1)求的方程；
(2)若点是上的两点，且线段的中点为，求直线的方程；
(3)若点是上不同于左､右顶点的一点，点是的重心，点是圆上的一点，求的最大值．
19．如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点.

(1)求证：；
(2)若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围.
1．D
由倾斜角的定义可得.
【详解】由题意知直线的倾斜角为0．
故选：D．
2．C
根据椭圆的定义求得正确答案.
【详解】根据椭圆的定义可知，
所以.
故选：C
3．C
由空间向量共线的充要条件列式求得，，即得.
【详解】由向量，共线，
故存在，使得，即，
解得，，所以．
故选：C．
4．B
由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是.
【详解】易知圆可化为，可得，即；
又在圆外部，可得，解得；
可得.
故选：B.
5．A
根据直线斜率公式，结合数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线过定点，且直线与线段相交，
由图象知，或，则斜率的取值范围是．
故选：A
6．A
建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案.
【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，由，可得，
为的重心，所以，，，
则，，，
故点到直线的距离为.
故选：A
7．C
确定与距离为的直线，由题意这条直线与相切或没交点，联立方程，由韦达定理即可求解.
【详解】
设平行且距离为的直线方程为，
所以，解得或（结合图象舍去）
设直线与平行且它们之间的距离为，则的方程为，
由整理，得，
因为上的点到直线的最短距离不小于，
所以与椭圆相切或没有交点，
所以，整理得，
由椭圆的离心率为，可知，所以，
所以，则，所以.
故选：C.
8．D
利用两点间距离公式由得到点的轨迹方程，再利用圆心到直线的距离小于或等于半径可得.
【详解】设点，
因为，所以，
整理得点的轨迹方程为，
根据题意可得直线与点的轨迹有公共点，
所以，即，解得．
故选：D．
9．AC
将方程化为标准式，依题意可得，即可求出的取值范围，即可判断.
【详解】方程，即，
依题意可得，解得且，
即的取值范围为，结合选项可知A、C符合题意.
故选：AC
10．ACD
根据圆上点的个数到直线的距离为2，数形结合得到圆心到直线的距离或距离范围，得到方程或不等式，求出答案.
【详解】圆的圆心为，半径为，
A选项，要想圆上恰有1个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离为，
即，解得，A正确；
B选项，要想圆上恰有2个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离大于，小于，
即，解得，B错误；
C选项，圆上恰有3个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离等于1，
即，解得，C正确；
D选项，圆上恰有4个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离小于1，
即，解得，D正确.
故选：ACD．
11．BCD
用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解.
【详解】因为，
所以，
取FC中点为M，因为点是三角形的重心，
所以，
所以
，
所以，
所以
，所以，故A错误；
因为，所以异面直线所成角即为所成角，
因为，
所以，
所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确；
因为
，
所以，即，故C正确；
，
因为四点共面，所以，
所以，所以点是线段的中点，故D正确.
故选：BCD
12．2
根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式求解.
【详解】由直线：与直线：平行，得，解得，
所以.
故答案为：2
13．或
直接分两类：一类切线斜率存在时待定系数法可得，二类斜率不存在时验证直线是不是切线即可.
【详解】易知圆心，半径，且点在圆外，
当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
则，即，解得，故切线方程为.
当直线斜率不存在时，且过，此时直线为，圆心到直线的距离
，所以直线与圆相切.
故所求切线方程为或.
故答案为：或.
14．/
依题意可得且在线段上，从而得到，设，利用余弦定理及椭圆的定义得到，再由面积公式得到，即可求出，再由勾股定理求出、与的关系，最后在中利用勾股定理求出、的关系，即可得解.
【详解】因为，所以且在线段上，
所以，
设，则，
在中，由余弦定理得，
即，
即，
又因为，
所以，即，
所以，
因为，所以，
所以，又，所以，所以，
即．

故答案为：
15．(1)；
(2)或．
（1）通过解方程组求出交点坐标，再根据互相垂直的两直线方程的特征，利用代入法进行求解即可；
（2）根据截距是否为零分类进行求解即可.
【详解】（1）由得所以点．
设过点且与直线垂直的直线的方程为，
将点代入方程得，解得，
所以所求直线的方程为．
（2）当直线过原点时，直线在轴上的截距与在轴上的截距都是0，显然符合题意，
设所求直线的方程为，将点代入，得，
故所求直线方程为．
当直线不过原点时，设所求直线方程为，将点代入，得，
故所求直线方程为，即．
综上所述，所求直线的方程为或．
16．(1)直线平面，理由见解析
(2)
（1）直线平面，取的中点，连接，，证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算可得结果.
【详解】（1）直线平面，证明如下：
取的中点，连接，，因为为的中点，所以，且，又为的中点，，，所以，且，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以直线平面.
（2）因为，由已知得平面，以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
由，得，，，，.
设异面直线与所成的角为，则，
所以异面直线与所成角的余弦值为.
17．(1)；
(2).
（1）先判断出与圆外切，从而得三点共线，则有圆心在直线，用待定系数法求解即可；
（2）先求出直线恒过点，从而得当时，取最小值，即可求出直线的方程，再利用直线与圆相交时的弦长公式求解即可.
【详解】（1）解：因为圆与图相切，且点在圆的外部，
所以圆与圆外切，
则三点共线，
图，
化为标准形式为：，
所以圆心，
故圆心在直线上，
设圆的标准方程为，
又圆过原点，则，
圆经过点，则，解得，
故圆的标准方程为；
（2）解：由（1）可知，圆的圆心坐标为，
由直线，化为，
所以直线恒过点，
易知点在圆的内部，
设点到直线的距离为，则，
要使取得最小值，则取得最大值，所以，
此时，所以，
则直线的方程为，即.
又圆心到直线的距离，
所以.
18．(1)
(2)
(3)
（1）根据椭圆定义求出的值，根据，求解即得椭圆方程；
（2）利用点差法求出中点弦所在直线方程；
（3）依题意，设，，根据，求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
所以，所以，
所以的方程为．
（2）设，又线段的中点为，且在椭圆内部，
所以，即，
又点是上的两点，所以，
两式相减得，
所以，
即直线的斜率为
所以直线的方程为，即．
（3）
设，因为点是的重心，所以，
所以，又点是上的一点，所以，
所以，即，
所以．
所以，
当且仅当时等号成立，
因为，当且仅当在线段上时等号成立，
所以的最大值为．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）在中，，，所以，
所以在四棱锥中，，，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以.
（2）当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面.
又平面平面，，平面，
所以平面，
故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
如图所示，

则，，，，，所以.
设平面的一个法向量为，
又，，
所以，令，解得，，
所以平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
又，，
所以，
令，解得，所以平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
所以，
即平面与平面的夹角的余弦值为.
（3）以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，，
，，
又，所以，解得，
则，则，
又，所以，
整理得，且，，得.
易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，
，
则，
令，函数在上单调递减，，
因此，则，解得，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
B
A
A
C
D
AC
ACD
题号
11









答案
BCD