2025-2026学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年吉林省延边二中高二（上）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.“a=0”是“直线x-ay+1=0与直线ax+y-1=0相互垂直”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2.若双曲线C：x24-y221=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，且|PF1|=6，则|PF2|=( )
A. 2B. 10C. 12D. 6
3.椭圆C：x216+y225=1的两个焦点为F1，F2，椭圆C上有一点P，则△PF1F2的周长为( )
A. 12B. 18C. 16D. 20
4.O为坐标原点，F为抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，点M(x0,2)在C上，且|MF|=2|OF|，则p=( )
A. 8B. 4C. 2D. 1
5.如果ac0)的两个焦点为F1，F2，过F1作直线交椭圆于M，N，若MF1⊥MF2，且MF1=2F1N，则椭圆的离心率为( )
A. 23B. 33C. 23D. 53
7.设点P(x0,1)，若在圆M：(x-1)2+y2=1上存在点N，使得∠MPN=45°，则x0的最大值是( )
A. 1B. 2C. 2D. 4
8.已知椭圆C：x29+y28=1的左、右焦点分别为F1，F2，M为C上任意一点，N为圆E：(x-5)2+(y-7)2=1上任意一点，则|MN|-|MF1|的最小值为( )
A. 83-7B. 65-7C. 65+7D. 83+7
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知曲线C：mx2+ny2=1，则( )
A. 若m=n>0，则曲线C表示圆，且半径为 1m
B. 若mn0，则曲线C表示两条直线
D. 若00)的左，右焦点分别为F1，F2，且F1，F2与短轴的一个端点Q构成一个等腰直角三角形，点P( 22, 32)在椭圆E上，过点F2作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆E于A，B和点C，D，且点M，N分别是弦AB，CD的中点．
(Ⅰ)求椭圆E的标准方程；
(Ⅱ)若D(0,1)，求以CD为直径的圆的方程；
(Ⅲ)直线MN是否过x轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.C
6.D
7.C
8.B
9.AC
10.BD
11.ACD
12.y2=8x(x≥0)或y=0(x0，得m>-2．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=-8，y1y2=-8m．
由(1)知，P(4,4)，
所以k1=y1-4x1-4,k2=y2-4x2-4，
则k1+k2=y1-4x1-4+y2-4x2-4=y1-4y124-4+y1-4y224-4=4y1+4+4y2+4=4(y1+y2+8)(y1+4)(y2+4)=0．
所以k1+k2为定值．
16.
(1)∵△ABC的两顶点坐标为A(1,-1)，C(3,0)，M(0,1)是边AB的中点，
∴B(-1,3)，
由两点式可得BC所在直线的方程为y-30-3=x+14，
整理可得3x+4y-9=0．
(2)∵AD是BC边上的高，∴kBC⋅kAD=-1，
∵kBC=-34，∴kAD=43，
∴高AD所在直线的方程为：y+1=43(x-1)，即4x-3y-7=0．
(3)由题意可得当所求直线过BC的中点(1,32)，
∴由两点式可得y-324-32=x-13-1，整理可得5x-4y+1=0；
当所求直线平行于BC时，其斜率为kBC=-34，由点斜式可得y-4=-34(x-3)，
整理可得3x+4y-25=0．
综上，所求直线方程为5x-4y+1=0和3x+4y-25=0．
17.解：(1)设圆心C1(a,1)，则 ( 5-a)2+(1-1)2= (1-a)2+(-1-1)2，
解得a=0，
此时圆的半径为r1= 1+4= 5，
所以圆C1的方程为：x2+(y-1)2=5，
化为一般形式为：x2+y2-2y-4=0；
(2)将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，
即(x2+y2-4x+2y)-(x2+y2-2y-4)=0，
化简得x-y-1=0，
所以圆C1的圆心(0,1)到直线x-y-1=0的距离为d=|-1-1| 1+1= 2，
设两圆交点为A，B，
则(|AB|2)2=r12-d2=5-2=3，
解得|AB|=2 3，
所以所求公共弦长为2 3．
(3)由(2)得y=x-1，代入圆C2：x2+y2-4x+2y=0，
化简可得2x2-4x-1=0，
解得x=2± 62；
当x=2+ 62时，y= 62；
当x=2- 62时，y=- 62；
设所求圆的圆心坐标为(a,b)，
则(a-2+ 62)2+(b- 62)2=(a-2- 62)2+(b+ 62)22a+4b=1，
解得a=32b=-12；
所以圆的半径为r2=(32-2+ 62)2+(-12- 62)2=72；
所以过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为(x-32)2+(y+12)2=72．
18.解：(I)因为椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点P( 22, 32)，
且F1，F2与短轴的一个顶点Q构成一个等腰直角三角形，
则b=c，a2=b2+c2=2b2，
即12×2b2+34b2=1，解得a2=2，b2=1，
故椭圆E的方程为x22+y2=1；
(II)由题意，F2(1,0)，D(0,1)，故直线CD的方程为x+y=1，
联立x22+y2=1x+y=1，解得x=43y=-13或x=0y=1，所以C(43,-13)，
所以N(23,13),|CD|=43 2，
故以CD为直径的圆的方程为(x-23)2+(y-13)2=89；
(III)设直线AB的方程为x=my+1，m≠0，则直线CD的方程为x=-1my+1，
联立x2+2y2=2,x=my+1,消去x得(m2+2)y2+2my-1=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则y1+y2=-2mm2+2,y1y2=-1m2+2，
∴x1+x2=(my1+1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=4m2+2，
由中点坐标公式得M(2m2+2,-mm2+2)，将M的坐标中的m用-1m代换，
得CD的中点N(2m22m2+1,m2m2+1)，所以kMN=3m2(m2-1)，
故直线MN的方程为y+mm2+2=3m2(m2-1)(x-2m2+2)，
即为y=mm2-1(32x-1)，则直线MN过定点(23,0)．