江苏省南京市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷

这是一份江苏省南京市2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷，共11页。
注意事项：
本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 150 分．
本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
已知 i 为虚数单位，则 5 ＝
2－i
A．－2－iB．－2＋iC．2－iD．2＋i
已知向量 a＝(1，2)，b＝(2，k)．若 a⊥b，则实数 k＝
A．－4B．－1C．1D．4
在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AC 与 BC1 所成角的大小为
0ºB．45ºC．60ºD．90º
已知方程 x2
4－m
＋ y2
2＋m
＝1(m∈R)表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 m 的取值范围为
A．(－2，1)B．(1，4)C．(－2，4)D．(－∞，－2)
甲、乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为 0.4，乙译出密码的概率为 0.5，则密码被破译的概率为
A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8
若直线 l 与抛物线：x2＝4y 交于 A，B 两点，且线段 AB 中点的横坐标为 2，则直线 l 的斜率为
A．－1B．1
2
C．1D．2
已知双曲线 C：x2－y2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是 C 右支上一点，
a2b2
PF2＝F1F2．若点 F2 到直线 PF1 的距离为 3b，则 C 的离心率为
2
A．4
3
B．5
3
C．2D．7
3
若圆 C1：(x－1)2＋y2＝r2(r＞0)上存在点 P，其关于 y 轴的对称点 Q 在圆 C2：(x＋2)2＋(y－
2)2＝1 上，则 r 的取值范围为
A．[ 5－1， 5＋1]B．( 5－1， 5]
C．[1， 5]D．(1， 5＋1]
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
给定一组数据：1，2，4，4，5，6，6，则这组数据的
中位数为 4B．平均数为 5C．方差为22
7
D．60 百分位数为 4
已知α，β为锐角，cs(α＋β)＝3，cs(α－β)＝4，则
csαcsβ＝ 1
10
C．sin2αsin2β＝ 7
25
55
tanαtanβ＝1
7
D．tanα＋tanβ＝8
7
已知点 A(－2，0)，B(2，0)，动点 P 满足：PA－PB＝2 3，记点 P 的轨迹为曲线 C，则下列说法正确的是
曲线 C
的方程为
x2y2＝1(x≥ 3)
—
3
曲线 C 与直线 y＝
x 没有公共点
3
3
点 P 到点(3，0)距离的最小值为 3－ 3
过点 B 且倾斜角为 45º的直线与 C 交于 M，N 两点，则△AMN 的周长为 8 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
两条直线 3x－2y－6＝0 与 3x－2y＋7＝0 间的距离为▲．
已知椭圆 C
：x2
4
＋y2＝
2
的左、右顶点分别为 A，B．若过点 A 且斜率为1的直线与 C 交于
2
另一点 D，则△ABD 的面积为▲．
已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2，则以 B 为球心，2 为半径的球面与正方体的截面 ACC1A1 的交线长为▲．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a2＋c2－b2＝233acsinB．
（1）求 B；
（2）若 b＝ 7，csA＝2 7，求 c．
7
16．(本小题满分 15 分)
已知圆 C 的圆心在直线 3x＋2y＝0 上，且圆 C 与 x 轴的交点分别为 A(－2，0)，B(6，0)．
求圆 C 的方程；
过点 B 的直线 l 交圆 C 于另一点 D，连接 AD．若 AD＝AB，求直线 l 的方程．
17．(本小题满分 15 分)
如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，AD＝2AB＝4，G 为 PD 中点，点 E， F 在线段 BC 上，BE＝CF＝1．
证明：FG∥平面 PAE；
若 PA⊥平面 ABCD，且 PA＝2，AE⊥BC，求点 A 到平面 EFG 的距离．
G
A
P
D
BEFC
(第 17 题)
18．(本小题满分 17 分)
已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2＝2px(p＞0)的焦点为 F，准线为 l，P(m，n)是 C 上的动点．当
PF⊥x 轴时，△OFP 的面积为 1．
求 C 的方程；
设过 F 且与直线 PF 垂直的直线交 l 于点 A(A 不在 x 轴上)，直线 PA 交 y 轴于点 B，记 B(0，t)．
①求n的值；
t
②证明：BF 平分∠OFP．
19．(本小题满分 17 分)
已知 O 为坐标原点，椭圆 C：x2＋y2＝1(a＞b＞0)过点 P(－2，1)，离心率为 2．过点(－2，0)
a2b22
且与坐标轴不垂直的直线 l 交 C 于点 A，B．
求 C 的方程；
当 OA⊥OB 时，求 l 的方程；
设直线 PA 与直线 m：x＝－3 交于点 T，记直线 TA，TB 的斜率分别为 k1，k2，试探究 k1
－k2 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
南京市 2025－2026 学年度第一学期期中学情调研测试
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
1
2
3
4
5
6
7
8
D
B
C
A
C
C
B
A
9
10
11
AC
BCD
ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12． 1313．8
3
14． 2π
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题 13 分)
解：（1）由 a2＋c2－b2＝2 3，得 csB＝a2＋c2－b23
，2 分
acsinB
3
2ac
＝ sinB 3
所以 tanB＝ 3．4 分
因为 0＜B＜π，所以 B＝π．6 分
3
（2）方法 1
因为 csA＝2 7，A∈(0，π)，所以 sinA＝ 1－cs2A＝ 21，8 分
77
．
所以 sinC＝sin(π－A－B)＝sinAcsB＋csAsinB= 21×1＋2 7× 3＝3 2110 分
727214
由 c ＝ b
，即 c
7
＝ ，得 c＝3．13 分
sinCsinB3 213
142
方法 2
因为 csA＝2 7，A∈(0，π)，所以 sinA＝ 1－cs2A＝ 21．8 分
由 a ＝ b
7
，即 a
7
7
＝ ，得 a＝2．10 分
sinA
sinB
213
72
由 b2＝a2＋c2－2accsB，即( 7)2＝4＋c2－2c，
得 c2－2c－3＝0，解得 c＝3 或－1(舍)．13 分
16．(本小题 15 分)
解：（1）由圆心 C 在线段 AB 的中垂线上，即 x＝2．2 分
又因为圆心 C 在 3x＋2y＝0 上，所以两条直线的交点(2，－3)即为圆心 C．4 分
因此，圆 C 的半径 r＝ (2＋2)2＋32＝5．6 分
所以圆 C 的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25．7 分
（2）方法 1
因为 AB＝AD，所以 AC⊥BD．10 分
AC
因为 k ＝ －3－0 ＝－3，则 k ＝4．13 分
BD
2－(－2)43
所以直线 BD 的方程为 y＝4(x－6)，即 4x－3y－24＝0．15 分
3
方法 2
因为 AB＝AD，所以 B，D 均在圆 A：(x＋2)2＋y2＝64 上，10 分
即 x2＋y2＋4x－60＝0．①
圆 C 的方程(x－2)2＋(y＋3)2＝25 可化为 x2＋y2－4x＋6y－12＝0．②
①－②得 8x－6y－48＝0，13 分
即直线 BD 的方程为 4x－3y－24＝0．15 分
17．(本小题 15 分)
证明：（1）取 PA 的中点 M，连结 GM，EM．
AD
因为 G 是 PD 中点，所以 MG∥AD，且 MG＝1
2
P
M
G
A
．··············
因为四边形 ABCD 为平行四边形，所以 EF∥AD．
又因为 AD＝4，BE＝CF＝1，所以 EF＝2＝1AD，
2
所以 EF∥_ MG，因此四边形 EFGM 为平行四边形，
D
BEFC
所以 FG∥EM．4 分
又因为 FG平面 PAE，EM平面 PAE，所以 FG∥平面 PAE．6 分
（2）方法 1
作 AH⊥EM 于 H，由（1）知平面 EFG 即为平面 EFGM．因为 PA⊥平面 ABCD，BC平面 ABCD，所以 PA⊥BC．
又因为 AE⊥BC，PA∩AE＝A，所以 BC⊥平面 PAE．8 分
因为 AH平面 PAE，所以 BC⊥AH．
又因为 AH⊥EM，BC∩EM＝E，所以 AH⊥平面 EFGM， 所以 AH 即为点 A 到平面 EFG 的距离． ··························因为 PA⊥平面 ABCD，AE平面 ABCD 中，所以 PA⊥AE．
P
M
G
H A
D
在 Rt△AEM 中，AE＝ AB2－BE2＝ 3，AM
所以 EM＝ AE2＋AM2＝2，
1
＝ PA＝1，
2BEFC
所以 AH＝AM·AE＝ 3．15 分
EM2
方法 2
M
A
G
连结 AF，AG．P
因为 PA⊥平面 ABCD，G 为 PD 中点，PA＝2，
所以 G 到平面 AEF 的距离为 1．····································
因为 AE⊥BC，所以 AE＝ AB2－BE2＝ 3，D
所以 S△AEF＝1×2× 3＝ 3，
2BEFC
所以 VG－AEF＝1×S△AEF×1＝ 3．10 分
33
因为 PA⊥平面 ABCD，所以 PA⊥EF．
又因为 EF⊥AE，PA∩AE＝A，所以 EF⊥平面 PAE．因为 EM平面 PAE，所以 EF⊥EM．
又因为 FG∥EM，所以 FG⊥EF．
因为 PA⊥平面 ABCD，AE平面 ABCD 中，所以 PA⊥AE．在 Rt△MAE 中，所以 EM＝ AE2＋AM2＝2，所以 FG＝2，
所以 S△EFG＝1×2×2＝2．13 分
2
设 A 到平面 EFG 的距离为 h，
由 VA EFG＝VG AEF，即1×2×h＝ 3，得 h＝ 3，
2
－－
33
所以点 A 到平面 EFG 的距离为 3．15 分
2
18．(本小题 17 分)
解：（1）当 PF⊥x 轴时，xP＝p，代入 y2＝2px，得 yP＝±p．2 分
2
所以 S△OFP＝1×p×p＝1，解得 p＝2，
22
所以 C 的方程为 y2＝4x．4 分
（2）①由（1）知，l 方程为 x＝－1．
因为 P(m，n)在抛物线 C 上，即 n2＝4m，
所以 kPF＝ n ＝ 4n ．5 分
m－1n2－4
22
＝
A
因为 AF⊥PF，所以 kAF＝4－nyA ，解得 y ＝n －4，
4n－22n
n－n2－4
所以 kAP＝
2n
n2＋1 4
＝2．7 分
n
由 PA 的方程为 y－n＝2(x－n2)，得 y＝2x＋n．
n4n2
令 x＝0，可得 t＝n，所以n＝2．9 分
t
②方法 1
记直线 PA 与 x 轴的交点为 D，由①可知 B 为 DP 的中点．11 分
由抛物线的定义可得 PF＝m＋1＝n2＋1．13 分
4
在直线 PA：y＝2x＋n中，令 y＝0，可得 xD＝－n2．15 分
n24
于是 DF＝1－(－n2)＝n2＋1＝PF，
44
所以 BF 平分∠OFP．17 分
方法 2
易得 tan∠OFP＝－kPF＝ 4n
，11 分
tan∠OFB＝－kBF＝－
4－n2
n
2 ＝n．13 分
－12
因为 tan2∠OFB＝
2tan∠OFB ＝
2·n 2
＝ 4n
，15 分
1－tan2∠OFB
所以 tan2∠OFB＝tan∠OFP．
1－(n)2
2
4－n2
因为 2∠OFB，∠OFP∈(0，π)，所以 2∠OFB＝∠OFP，
因此 BF 平分∠OFP．17 分
方法 3
直线 PF 的方程为 y＝ 4n (x－1)，即 4nx＋(4－n2)y－4n＝0．11 分
n2－4
|0＋(4－n2)n－4n|
|n|
点 B 到直线 PF 的距离 d＝
2＝．15 分
16n2＋(4－n2)2
2
因为 BO＝|n|，所以 B 到∠OFP 两边的距离相等，所以 BF 平分∠OFP．17 分
2
19．(本小题 17 分)
解：（1）由椭圆 C 过点 P(－2，1)，得4 ＋ 1 ＝1．2 分
2
由c＝
222
a2b2
22
， a ＝b ＋c ，解得 a ＝6，b ＝3，
a2
因此 C
x2y2
1．4 分
的方程为 ＋ ＝
63
（2）设 l：x＝my－2，A(x1，y1)，B(x2，y2)． x＝my－2，
联立 x2y2
消去 x，得(m2＋2)y2－4my－2＝0，
＋ ＝1，
63
则 y ＋y ＝ 4m
，y y ＝ －2
．(*)6 分
12
m2＋2
1 2
m2＋2
→ →
因为 OA⊥OB，所以OA· OB ＝x1x2＋y1y2＝0，7 分
即(my1－2)(my2－2)＋y1y2＝0，则(m2＋1)y1y2－2m(y1＋y2)＋4＝0，
所以(m2＋1)×( －2
m2＋2
)－2m× 4m
m2＋2
＋4＝0，
得 m2＝1，解得 m＝±1．
因此 l 的方程为 x＋y＋2＝0 或 x－y＋2＝0．10 分
（3）因为 P(－2，1)，A(x ，y )，所以 k ＝y1－1，得 PA：y－1＝y1－1
＋2)．
111
x1＋2
(x x1＋2
令 x＝－3，得 y
x1－y1＋3，即 T(－3
x1－y1＋3 ，12 分
＝
x1－y1＋3
x1＋2
，)
x1＋2
－y2
x ＋2
(x1＋2)y2－x1＋y1－3
所以 k2＝
1＝
－3－x2
(x1＋2)(x2＋3)
，13 分
所以 k －k ＝y1－1
(x1＋2)y2－x1＋y1－3
12－
x1＋2
(x1＋2)(x2＋3)
＝y1－1my1y2－(m－1)y1－1
y1－y2
—
my1
my1(my2＋1)
＝．15 分
my1y2＋y1
又因为 my y ＝－1(y ＋y )，所以 k －k ＝y1－y2
＝2 为定值．17 分
1 212
2
12－1(y ＋y )＋y
121
2