2025-2026学年四川省成都市青羊区树德实验学校西区九年级（上）期中数学试卷

这是一份2025-2026学年四川省成都市青羊区树德实验学校西区九年级（上）期中数学试卷，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图所示的几何体是由5个大小相同的小立方块搭成的，它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
2.下列计算正确的是( )
A. (3x)2=3x2B. 3x+3y=6xy
C. (x+y)2=x2+y2D. (x+2)(x−2)=x2−4
3.深中通道是世界级“桥、岛、隧、水下互通”跨海集群工程，总计用了320000万吨钢材，320000用科学记数法表示为( )
A. 3.2×105B. 0.32×106C. 3.2×106D. 3.2×107
4.点P(−1,2)关于x轴对称点的坐标为( )
A. (1,−2)B. (−1,2)C. (1,2)D. (−1,−2)
5.下列一元二次方程没有实数根的是( )
A. x2+2x+1=0B. x2+x+1=0C. x2−1=0D. x2−2x−1=0
6.点(−1,y1)，(−2,y2)都在反比例函数y=4x的图象上，则y1与y2′的大小关系( )
A. y1>y2B. y1≥y2C. y1BC)，则线段AC的长是______.(保留根号)
15.已知m，n是方程x2+2x−3=0的两个实数根，则代数式m2+3mn+n2= .
16.如图，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，△AOB的两条外角平分线交于点P，点P在反比例函数y=4x的图象上，延长PA交x轴于点C，延长PB交y轴于点D，连结CD，则点P坐标为 ，S△COD= .
17.已知如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=12，点P是AD上一动点，沿BP折叠，使点A落在点M处，射线BM交射线CD于点E.当DE=23DC时，AP= .
18.以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角.此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图1，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”.如图2，在等腰三角形ABC中，AC=BC=256,AB=5，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形.则CD= .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
(1)计算：327+(12)−2−|− 3|−(π+2)0；
(2)解方程：(x+2)2−4=0；
(3)解不等式组：3x−4≤2xx+52>3.
20.(本小题8分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4).
(1)将△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，请写出A1，B1，C1的坐标；
(2)以原点为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使它与△ABC的位似比为2；
(3)点P是x轴上一点，当△PAB的周长最小时，请直接写出P的坐标.
21.(本小题8分)
为了测量学校旗杆的高度，数学兴趣小组带着标杆和皮尺来到操场进行测量，测量方案如下：如图，小红在地面C处放置一面平面镜，随即面对旗杆，后退至2米处的点D，此时恰好能在镜子中看到旗杆顶点A的像，经测量，此时小红眼睛到地面的距离ED=1.5米；同时，组员小明在F处竖立了一根高2米的标杆，经测量，此时FH=4米，DF=4.4米.已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，且B，C，D，F，H共线.
(1)直接写出ABBC=______；
(2)请根据以上所测数据，计算学校旗杆AB的高度.
22.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF=BE，连接DF.
(1)求证：四边形AEFD是矩形；
(2)连接OE，若AD=10，EC=4，求OE的长度．
23.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=ax+1分别与y轴、x轴相交于点A，B(2,0)，过点A的直线与双曲线y=kx(k>0)交于C，D两点(点C在点D的右侧).
(1)求a的值及线段AB的长；
(2)过点C作CE⊥y轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，连接BD，若CE=1，DF=2，求k的值及△ABD的面积；
(3)将直线AB沿y轴翻折得到新直线，新直线与x轴相交于点G，再将y=kx(k>0,x>0)的图象沿着直线y=2翻折，翻折后的图象交直线AG于点M，N(点M在点N的左侧).当△AOM∽△OGM时，求k的值.
24.(本小题8分)
某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出20件，但最低单价应高于购进的价格，并且已知第二月后T恤还有剩余；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
(1)填表
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利12000元，那么第二个月的单价应是多少元？
25.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是正方形，点E在边CD上，点F在边BC的延长线上，DE=CF，射线AE交对角线BD于点G，交线段DF于点H.
(1)求证：DH=GH；
(2)求证：EGAG=EHGH；
(3)若GEEH=n，求DHDF=______(用含n的式子表示)；并直接写出n的取值范围______.
26.(本小题12分)
已知：在平面直角坐标系中，点A(8,a)，B(b,−2)在反比例函数y=4x上.
(1)求：a，b；
(2)点P在反比例函数y=4x的图象上，点Q在平面上，若四边形APBQ是菱形，求点P的坐标；
(3)点C(2,2)在反比例函数y=4x的图象上，直线l与反比例函数y=4x相交于点M，N，且点M在第一象限，点N在第三象限.若CM⊥CN时，则直线MN是否经过某个定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形．
故选：A.
根据左视图是从左面看到的图形判定则可．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
2.【答案】D
【解析】解：A.∵(3x)2=9x2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B.∵3x，3y不是同类项，不能合并，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C.∵(x+y)2=x2+2xy+y2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D.∵(x+2)(x−2)=x2−4，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D.
A.根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可；
B.先判断3x，3y是不是同类项，能否合并，然后判断即可；
C.根据完全平方公式进行计算，然后判断即可；
D.根据平方差公式进行计算，然后判断即可．
本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、完全平方公式和平方差公式．
3.【答案】A
【解析】解：320000=3.2×105.
故选：A.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|0)得出即可答案．
本题是反比例函数的综合题，考查了反比例函数的图象与性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，图象的几何变换性质，解直角三角形，相似三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，方程思想，熟练掌握以上内容是解题关键．
24.【答案】80−x；200+20x；400−20x
【解析】解：(1)由题意可得：
故答案为：80−x，200+20x，400−20x；
(2)根据题意，得
80×200+(80−x)(200+20x)+40(400−20x)−50×800=12000
整理得10x2−300x+200=0，
即x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
x=20时，400−20x=0，
故当x=10，
答：第二个月的单价应是70元．
(1)根据题意直接用含x的代数式表示即可；
(2)利用“获利12000元”，即销售额-进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．
此题主要考查了一元二次方的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价-进价．
25.【答案】过点G作GP//BC交CD于点P.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠BDC=∠DBC=45∘，∠ADE=∠DCF=90∘，
∴GP//AD//BC.
∴∠DGP=∠DBC=∠BDC=45∘，∠EAD=∠EGP.
在△ADE和△DCF中，
AD=CD∠ADE=∠DCFDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS).
∴∠EAD=∠FDC，
∴∠EGP=∠FDC，
∵∠HDG=∠BDC+∠FDC，∠HGD=∠DGP+∠EGP，
∴∠HDG=∠HGD，
∴DH=GH.
由 可知∠EDH=∠DAH，DH=GH.
又∵∠DHE=∠AHD，
∴△EDH∽△DAH.
∴EHGH=EHDH=DEAD，
根据正方形的性质，DG是∠ADE的角平分线．
∴DEAE=EGAG，
∴EGAG=EHGH.
n+1n2+2n；n≥ 5−12
【解析】(1)证明：过点G作GP//BC交CD于点P.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，∠BDC=∠DBC=45∘，∠ADE=∠DCF=90∘，
∴GP//AD//BC.
∴∠DGP=∠DBC=∠BDC=45∘，∠EAD=∠EGP.
在△ADE和△DCF中，
AD=CD∠ADE=∠DCFDE=CF，
∴△ADE≌△DCF(SAS).
∴∠EAD=∠FDC，
∴∠EGP=∠FDC，
∵∠HDG=∠BDC+∠FDC，∠HGD=∠DGP+∠EGP，
∴∠HDG=∠HGD，
∴DH=GH.
(2)证明：由(1)可知∠EDH=∠DAH，DH=GH.
又∵∠DHE=∠AHD，
∴△EDH∽△DAH.
∴EHGH=EHDH=DEAD，
根据正方形的性质，DG是∠ADE的角平分线．
∴DEAE=EGAG，
∴EGAG=EHGH.
(3)解：由(2)可知EGAG=EHGH，则AGGH=GEEH=n.
根据△ADE≌△DCF可得AE=DF，
又∵DH=GH，
∴DHDF=GHAE=GE+EHAG+GE=(n+1)EHn(n+1)EH+nEH=n+1n2+2n.
由(2)知EHGH=DEAD，
∴EHGH−EH=DECD−DE，即EHGE=DECE=1n，
∴CEDE=n.
如图，当点H与点F重合时，如果CE再减小，射线AE与线段DF无交点，此时CE取最小值．
根据平行线分线段成比例，CEDE=CFAD，即CEDE=DECD，即点E是线段CD的黄金分割点．
∴CEDE= 5−12=n，
∴n≥ 5−12.
故答案为：n+1n2+2n；n≥ 5−12.
(1)先证明△ADE≌△DCF得到∠EAD=∠FDC，然后通过辅助线构造∠EGP=∠FDC和∠DGP=∠DBC，进而得到∠HDG=∠HGD，即可证明结论．
(2)通过证明△EDH∽△DAH得到EHGH=EHDH=DEAD，再由角平分线定理可知DEAE=EGAG，即可证得结论．
(3)由(2)结论可得AGGH=GEEH=n，然后结合(1)(2)可知AE=DF和DH=GH，再由DHDF=GHAE=GE+EHAG+GE求出结果；通过△EDH∽△DAH得到EHGH=DEAD，然后由比例的性质求出n=CEDE，再根据射线AE和线段DF的位置关系判定当点E是线段CD的黄金分割点时CE最小，从而求出n的取值范围．
本题考查了正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，角平分线定理，平行线的性质，比例的性质，黄金分割等知识点，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解答本题的关键．
26.【答案】a=12，b=−2；
点P的坐标为(45+ 100132,45− 10018) 或(45− 100132,45+ 10018)；
(2,6)
【解析】(1)对于点A(8,a)，代入y=4x，得a=48=12，
对于点B(b,−2)，代入y=4x，得−2=4b，解得b=−2；
(2)先求A(8,12)、B(−2,−2)之间的距离AB：
AB= (8+2)2+(12+2)2= 100+254=5 172，
设直线AB的解析式为y=kx+c，代入A、B坐标：8k+c=12−2k+c=−2，
解得k=14，c=−32，即直线AB的解析式为y=14x−32，
∵四边形APBQ是菱形，
∴AB为菱形的对角线，
∴AB⊥PQ，
∵A(8,12)，B(−2,−2)，
∴AB的中点为(8−22,12−22)，即(3,−34)，该中点也是PQ的中点，
∵AB的斜率为14，
∴PQ的斜率为−4(垂直时斜率之积为−1)，
设PQ的解析式为y=−4x+t，
把点(3,−34)代入得−34=−4×3+t，
∴t=454，
∴y=−4x+454，
解y=−4x+454y=4x，得x=45+ 100132y=45− 10018或x=45− 100132y=45+ 10018，
∴点P的坐标为(45+ 100132,45− 10018) 或(45− 100132,45+ 10018)；
(3)设M(x1,y1)，N(x2,y2)，直线MN的解析式为y=mx+n，联立y=mx+ny=4x，得到mx2+nx−4=0，
由韦达定理，x1+x2=−nm，x1x2=−4m，
∵C(2,2)，CM⊥CN，
∴kCM⋅kCN=−1，
kCM=y1−2x1−2=mx1+n−2x1−2，kCN=mx2+n−2x2−2，
代入斜率之积为−1的条件，经过化简(过程略)，可得n=−2m+6，
∴直线MN的解析式为y=mx−2m+6=m(x−2)+6，
当x=2时，y=6，与m无关，
因此，直线MN经过定点(2,6).
(1)反比例函数的表达式为y=4x，点在反比例函数图象上，则点的横、纵坐标之积等于k(这里k=4)，所以将点A(8,a)、B(b,−2)分别代入函数表达式即可求解；
(2)四边形APBQ是菱形时，则AB为菱形的对角线，需要先求出直线AB的解析式，进而求得PQ的解析式，与反比例函数联立，即可求得P点的坐标；
(3)设直线MN的解析式为y=mx+n，与反比例函数y=4x联立，得到关于x的一元二次方程．利用韦达定理得到根与系数的关系，再结合CM⊥CN(斜率之积为−1)，推导出m与n 的关系，从而确定顶点．
本题综合考查了反比例函数的性质、菱形的性质、一次函数与反比例函数的交点以及直线过定点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元)
80
______
40
销售量(件)
200
______
______
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价(元)
80
80−x
40
销售量(件)
200
200+20x
400−20x