2025-2026学年北京市海淀区八一学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市海淀区八一学校高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．在空间四边形中，等于（ ）
A．B．C．D．
3．直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ）
A．若∥，则B．若∥β，则
C．若⊥，则D．若∥β，则
4．已知点，则点到轴的距离为．
A．B．C．D．
5．已知直线：与：如图所示，则有
A．B．C．D．
6．已知向量，若共面，则等于（ ）
A．B．1C．1或D．1或0
7．设是两个不同的平面，是两条直线，且.则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
8．平行六面体中，，则该平行六面体的体对角线的长为（ ）
A．B．5C．D．
9．已知是长方体外接球的一条直径，点在长方体表面上运动，长方体的棱长分别是1，1，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，水平地面上有一正六边形地块，设计师规划在正六边形的顶点处矗立六根与地面垂直的柱子，用以固定一块平板式太阳能电池板.若其中三根柱子，，的高度依次为，则另外三根柱子的高度之和为（ ）
A．47mB．48mC．49mD．50m
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11．直线恒经过定点，则的坐标为 ．
12．已知为坐标原点，,,则的值为 ；中，边上中线的长为 ．
13．在正四棱锥中，，二面角的大小为，则该四棱锥的体积为 ．
14．如图所示的是一个正方体的平面展开图，，则在原来的正方体中，直线与直线的位置关系是 ；直线与平面所成角的正弦值为 ．
15．如图，在正方体中，为棱上的动点，平面为垂足.给出下列四个结论：
①；
②线段的长随线段的长增大而增大；
③存在点，使得；
④存在点，使得平面.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题：本题共4小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知直线过点．
(1)若直线也过点，求直线的方程；
(2)若直线在轴上的截距与轴上的截距相等，求直线的方程；
(3)设坐标原点到直线距离为，求的取值范围（直接写出结果即可）
17．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形．

(1)若平面与平面相交于直线，证明：；
(2)若平面，，，为棱的中点，求二面角的余弦值；
(3)在（2）的条件下，求点到平面的距离．
18．如图，在三棱柱中，平面，已知，，，点是棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值；
(3)在棱上是否存在一点（不与,重合），使得直线与平面所成角为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19．已知集合S为平面中点的集合，n为正整数，若对任意的.且，总存在平面中的一条直线恰通过S中的k个不同的点 ，称集合S为n连续共线点集.
(1)若 判断S是否为3连续共线点集?是否为4连续共线点集?
(2)已知集合S为n连续共线点集，记集合S的元素个数为.
（i）若，求n的最大值;
（ii）对给定的正整数n，求的最小值.
参考答案
11．
12．
13．
14． 异面 /
15．①②④
16．
（1）直线的斜率．
所以直线的方程为，即．
（2）由已知，直线的斜率存在且不为0，
设直线为，（）
令，得；令，得．
因此，化简得，解得或
当，直线方程为，当，直线方程为，
故直线方程为或．
（3）由题意当直线过原点时距离最小，当时，距离最大，
所以，
故的取值范围．
17．
（1）证明：四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面
所以平面
又平面，平面平面，
所以
（2）平面，在平面内，
所以，又，
所以，，两两垂直，如图建系．

因为，
故，，．
，
设平面的法向量为，
则，即
取，得到，
又因为是平面的法向量，
所以．
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
（3）因为，
所以点到平面的距离为．
18．
（1）底面中，已知，，，
由余弦定理得，
所以，
又平面，平面，所以，
又，所以平面.
（2）由（1）可知，，两两垂直，
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
所以直线与直线夹角的余弦值．
（3）存在，理由如下：
假设存在，设（），
由（2）可知，，
则，则，
因为，，
设平面的法向量分别为，
，取，，
即，
所以，
因为与平面所成角为，
所以，即，
化简得，故（舍去）或，
即存在符合题意，此时．
19．
（1）直线经过个点，直线经过个点，
直线经过1个点，所以为3连续共线点集.
没有直线经过中的4个点，所以不是4连续共线点集.
（2）（i）因为，即直线最多经过中的6个点，所以．
时，6个点在一条直线上，没有一条直线恰经过5个点，不满足．
时，5个点在一条直线上，则仅剩1个点，没有一条直线恰经过4个点，不满足．
又当时，
分别恰好经过中4，3，2，1个点，为4连续共线点集，所以．
（ii）设恰经过中的个点，
由于经过个点，恰经过个点，最多与交1个点，即最少需要多个点；
恰经过个点，最多分别与各交1个点，即最少需要多个点；
依次类推，恰经过个点，最多分别与各交1个点，
即最少需要多个点，
所以当是偶数时，最少需要个点，
当是奇数时，最少需要个点．
所以（为不超过的最小整数）．
下面用归纳法构造个元素的点集，为连续共线点集，
①时，因为当时，最少需要1个点，而，结论成立，
当，最少需要2个点，而，结论成立；
②假设时，中有个点，直线恰经过中的个点，
作一条直线不经过原来的个点，且与均各有一个交点，
并在上取异于的两个点，
则各经过个点，然后任选一点，
过该点作不经过其余个点的直线，
则各经过个点，
则点集为连续共线点集，
此时．
所以．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
C
A
A
A
A
B
A