2025-2026学年北京市石景山区第九中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市石景山区第九中学高二上学期期中考试数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本大题共10小题，共50分。
1．空间直角坐标系中，已知，，则线段的中点为
A．B．C．D．
2．已知向量，，且，那么（ ）
A．B．C．D．5
3．已知直线a、b和平面，且，那么（ ）
A．，则B．不在内，则
C．，则D．，则
4．若正方体的面对角线长为，则其体对角线长是（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则这三点（ ）
A．构成等腰三角形B．构成直角三角形
C．构成等腰直角三角形D．不能构成三角形
6．已知长方体，下列向量的数量积一定不为0的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是
A．若则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
8．长方体中，为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，P是边长为1的正方体对角线上一动点，设的长度为x，若的面积为，则的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题，共25分。
11．已知向量，，则 .
12．如图是棱长为的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，直线与所成角的余弦值为 .
13．如果向量.那么 .
14．在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，D1B与平面ABCD所成的角为60°，则棱AA1的长为 ；点C1到平面BDD1的距离为 ．
15．将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形，其中，，若它们的斜边重合，让三角板以为轴转动，则下列说法正确的是 .
①当平面平面时，､两点间的距离为；
②在三角板转动过程中，总有；
③在三角板转动过程中，三棱锥体积的最大值为.
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．已知向量，，，计算下列各式的值．
(1)；
(2)；
(3)．
17．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，分别为棱，的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
19．如图，在五面体中，面为正方形，面面，，．
（1）求证：CD∥平面ABFE；
（2）若，，求平面与平面所成的锐二面角的大小．
20．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21．设为正整数，集合（），对于集合中的任意元素和，记.
（1）当时，若，，求和的值；
（2）当时，设是的子集，且满足：对于中的任意元素、，当、相同时，是奇数，当、不同时，是偶数，求集合中元素个数的最大值.
参考答案
11．
12．/
13．
14． ；．
15．①③
16．
（1）解：由题意，，则.
（2）解：由题意，，则.
（3）解：由题意，.
17．
（1）证明：在四棱锥中，
取的中点，连接、，
因为是的中点，所以，且.
又因为底面是正方形，是的中点，
所以，且.所以.
所以四边形是平行四边形，所以.
由于平面，平面，所以平面.
（2）因为底面是正方形，所以.又因为平面.
所以以点为坐标原点，、、分别为、、轴，如图建立空间直角坐标系.
，，，，，.
，，
设平面的法向量为.有：即令，则，
所以..设直线与平面所成角为.
有：.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．
(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
(2)证明：∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，
且平面，∴平面，又平面，
∴平面平面；
(3)解：在等腰直角三角形中，，
∴，，∴等边三角形的面积，
又∵平面，∴三棱锥的体积，
∴.
19．
解：（1）在五面体中，
因为四边形是正方形，所以
又因为平面，平面，所以平面.
（2）因为四边形是正方形，所以
又因为，又，面，所以平面
又因为平面，所以.
又因为，所以以点为坐标原点，，，分别为，，轴，如图建立空间直角坐标系.
因为
，，，，.
由（1）平面，平面，平面平面
所以，所以.可得.
由题意知平面的法向量为
设平面的法向量为.
由得
令，得，， 所以
设平面与平面所成锐二面角为.
.
所以平面与平面所成锐二面角为
20．
（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值.
试题解析：（1）因为平面平面，，
所以平面，所以，
又因为，所以平面；
（2）取的中点，连结，，
因为，所以.
又因为平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为，所以.
如图建立空间直角坐标系，由题意得，
.
设平面的法向量为，则
即
令，则.
所以.
又，所以.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设是棱上一点，则存在使得.
因此点.
因为平面，所以平面当且仅当，
即，解得.
所以在棱上存在点使得平面，此时.
考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.
21．
（1）依题意；
.
（2）当时，依题意当、相同时，为奇数，则中有“个和个”或者“个和个”.
当、不同时：
①当中有“个和个”时，元素为，经验证可知是偶数，符合题意，集合最多有个元素.
②当中有“个和个”时，元素为，经验证可知是偶数，符合题意，集合最多有个元素.
综上所述，不管是①还是②，集合中元素个数的最大值为.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
A
D
D
B
A
C
A