2025-2026学年云南省昆明市第十四中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年云南省昆明市第十四中学高二上学期10月月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线l1：x+y-1=0与直线l2：2x+2y-5=0的距离是( )
A. 22B. 3 24C. 2D. 2 2
2.已知双曲线C的焦距是虚轴的2倍，则C的离心率为( )．
A. 3B. 2C. 5D. 2 33
3.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的焦距为4 3，焦点到渐近线的距离为 6，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. y=±xB. y=± 22xC. y=± 2xD. y=± 3x
4.已知椭圆的左右焦点分别是F1、F2，焦距为2c，若直线y= 3(x+c)与椭圆交于M点，且满足∠MF1F2=2∠MF2F1，则椭圆的离心率是( )
A. 22B. 3-1C. 3-12D. 32
5.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=-2的距离为4，则MF=( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
6.抛物线y2=2px(p>0)的焦点与双曲线x23-y2=1的右焦点重合，则抛物线的准线方程为( )
A. x=-5B. x=-4C. x=-3D. x=-2
7.已知点M,N在圆x2+y2-2y-3=0上，点P在直线 3x-y-3=0上，点Q为MN中点，若|MN|=2 3，则|PQ|的最小值为( )
A. 1B. 3C. 2D. 3
8.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线y= 3x与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形AF1BF2为矩形，则C的离心率为( )
A. 3+12B. 3C. 3+1D. 5+1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知Px0,y0是椭圆C:x216+y27=1上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，则下列结论正确的是( )
A. PF1+|PF|2=8B. 短轴长为2 7
C. 离心率为34D. 三角形PF1F2周长为16
10.设动直线l：mx-y-2m+3=0m∈R交圆C：(x-4)2+(y-5)2=12于A，B两点(点C为圆心)，则下列说法正确的有( )
A. 直线l过定点(2,3)B. 当|AB|取得最小值时，m=1
C. 当∠ACB最小时，其余弦值为14D. AB⋅AC的最大值为24
11.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别是F1，F2，左，右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点(M为第一象限的交点)，O为坐标原点，则( )
A. A1M//A2NB. MA2⊥A1A2
C. ∠MOA2=60°，C的离心率为 3D. 四边形MF2NF1的面积为2bc
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设点A3,y0在抛物线C：y2=4x上，F为C的焦点，则|AF|= ．
13.一动圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2-6x-91=0内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
14.如图，△ABC内接于椭圆，其中A与椭圆右顶点重合，边BC过椭圆中心O，若AC边上中线BM恰好过椭圆右焦点F，则该椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆C的圆心在直线y=x-3上，且圆C与直线x-y-5=0相切于点P(2,-3)．
(1)求圆C的方程；
(2)若过点(1,0)的直线l被圆C截得的弦长为 2，求直线l的方程．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知c=a1+2csB．
(1)求证：B=2A；
(2)若a=3,b=2 6，求▵ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知椭圆E:x2a2+y23=1a> 3的离心率为12．
(1)求E的方程；
(2)过E的右焦点F的直线l交E于A,B两点，若▵OAB(O为坐标原点)的面积为4 35，求l的方程．
18.(本小题17分)
如图1，在▵ABC中，∠B=90∘，D、E两点分别在AB、AC上，使ADDB=AEEC=DE=BD=2.现将▵ABC沿DE折起得到四棱锥A-BCED，在图2中AC= 29．
(1)求证：AD⊥平面BCED；
(2)求平面ACE与平面ACD所成角的余弦值．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，长轴为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线l1：x-2y+1=0与椭圆交于A，B两点，求弦长AB；
(3)点H1,32在C上，过点T(4,0)的直线l2交椭圆C于P，Q两点(异于点H)，设直线HP，HQ的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.B
6.D
7.A
8.C
9.ABC
10.AD
11.ABD
12.4
13.x236+y227=1
14.13
15.(1)∵圆C的圆心在直线y=x-3上，且圆C与直线x-y-5=0相切于点P(2,-3)
设圆心坐标为C(a,a-3)，则a-3+3a-2=-1，解得a=1，
圆心C(1,-2)，半径r=|CP|= (1-2)2+(-2+3)2= 2，
故圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2．
(2)设直线l的斜率为k(k存在)，
则方程为y-0=k(x-1)，又圆C的圆心为(1,-2)，半径r= 2，弦长为 2，
故弦心距d= 2-12= 62，
故d=2 k2+1= 62，解得k=± 153，
所以直线方程为y=± 153(x-1)，
故l的方程为y= 153(x-1)或y=- 153(x-1)．

16.(1)因为c=a1+2csB，
根据正弦定理得：sinC=sinA1+2csB
又A+B+C=π，所以sinC=sin(A+B)，
所以sin(A+B)=sinA+2sinAcsB，
即csAsinB-sinAcsB=sinA，
所以sin(B-A)=sinA，B-A=A或B-A+A=π(舍)，
所以B=2A．
(2)根据正弦定理asinA=bsinB得3sinA=2 6sin2A，即csA= 63，
有余弦定理a2=b2+c2-2bccsA，得c2-8c+15=0，
解得c=3或c=5，
当c=3时，a=c=3，C=A，B=2A，则4A=π，B=π2，
而a2+c2≠b2，矛盾，舍去，故c=5，sinA= 33
所以ΔABC的面积为S=12bcsinA=12×2 6×5× 33=5 2

17.(1)由题意知，椭圆E:x2a2+y23=1a> 3的离心率为12，
可得e=ca= a2-3a=12，解得a2=4，
所以椭圆E的方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知，椭圆E:x24+y23=1，可得c= a2-b2=1，所以右焦点F(1,0)，
由题意知，直线l的斜率不为零，设l的方程为x=my+1，
联立方程组x=my+1x24+y23=1，整理得到3m2+4y2+6my-9=0，
可得Δ=(6m)2-4(3m2+4)×(-9)>0，
设Ax1,y1,Bx2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4，
所以|AB|= 1+m2 y1+y22-4y1y2= 1+m2 36m23m2+42+363m2+4=121+m23m2+4，
又由点O到l的距离d=|-1| 1+(-m)2=1 1+m2，
所以▵OAB的面积SΔOAB=12|AB|d=12×121+m23m2+4×1 1+m2=6 1+m23m2+4=4 35，
解得m2=13或m2=-1112(舍)，所以m=± 33，
所以l的方程为x= 33y+1或x=- 33y+1，
即直线l的方程为 3x-y- 3=0或 3x+y- 3=0．


18.(1)在图1的▵ABC中，ADDB=AEEC=DE=BD=2，
所以，DE//BC，且AD=4，BC=32DE=3，
因为∠ABC=90∘，所以，∠ADE=90∘，则AD⊥DE，DE⊥BD，
在▵BCD中，∠CBD=90∘，BD=2，BC=3，则CD= BC2+BD2= 13，
在图2的▵ACD中，AD=4，CD= 13，AC= 29，
满足AD2+CD2=AC2，所以AD⊥CD，
因为AD⊥CD，AD⊥DE，CD∩DE=D，CD、DE⊂平面BCED，
所以AD⊥平面BCED．
(2)因为AD⊥平面BCED，DE⊥BD，
以点D为原点，DB、DE、DA的方向分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,4)、C(2,3,0)、D(0,0,0),E(0,2,0)，AC=(2,3,-4)，AE=(0,2,-4)，
设平面ACE一个的法向量m=x1,y1,z1，则m⋅AC=2x1+3y1-4z1=0m⋅AE=2y1-4z1=0,
取z1=1，可得m=(-1,2,1)，
设平面ACD的一个法向量为n=x2,y2,z2，DA=(0,0,4)，DC=(2,3,0)，
则n⋅DA=4z2=0n⋅DC=2x2+3y2=0，取x2=3，则n=(3,-2,0)，
设平面ACE与平面ACD所成角为θ，
则csθ=csm,n=m⋅nm⋅n=7 6× 13=7 7878，
因此，平面ACE与平面ACD所成角的余弦值为7 7878．

19.(1)由题知e=ca=12，2a=4，又有a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b= 3，
所以椭圆C的标准方程为x24+y23=1．
(2)联立l1:x-2y+1=0与椭圆x24+y23=1可得4x2+2x-11=0，
设Ax1,y1，Bx2,y2，则x1+x2=-12，x1⋅x2=-114，
所以弦长|AB|= 1+k2⋅ x1+x22-4x1⋅x2= 1+122⋅ -122-4⋅-114=154．
(3)证明：由已知直线l2过点T(4,0)，且交椭圆C于P,Q两点，所以直线l2的斜率存在．
当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时P,Q两点坐标为(-2,0),(2,0)，又H1,32，
则k1+k2=32-01-(-2)+32-01-2=-1．
当直线l2的斜率不为0时，由已知设直线l2：x=my+4(m≠0)，
设点Px3,y3,Qx4,y4且与点H1,32不重合，
联立直线l2与椭圆C的方程x=my+4x24+y23=1，消去x，得my+424+y23=1，
整理得3m2+4y2+24my+36=0，则Δ=24m2-1443m2+4>0，即m2-4>0，
解得m>2或m< -2，且y3+y4=-24m3m2+4,y3y4=363m2+4，则k1+k2=y3-32x3-1+y4-32x4-1=y3-32my3+3+y4-32my4+3=y3-32my4+3+y4-32my3+3my3+3my4+3
=2my3y4+3-32my3+y4-9m2y3y4+3my3+y4+9，
代入y3+y4=-24m3m2+4,y3y4=363m2+4，
得k1+k2=2m×363m2+4-3-32m×24m3m2+4-9m2×363m2+4-3m×24m3m2+4+9=9m2-43m2+4-9m2-43m2+4=-1．
综上，k1+k2为定值，且k1+k2=-1．