山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期10月模块诊断数学试题

这是一份山西省太原市山西大学附属中学校2025-2026学年高三上学期10月模块诊断数学试题，共6页。试卷主要包含了数据，在中，已知，则，当函数取得最小值时，， 已知双曲线，则等内容，欢迎下载使用。
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（ ）
A．2.5B．3C．3.5D．4
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ）
A．B．C．D．
4．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．在中，已知，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．2
8．当函数取得最小值时，（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9． 已知双曲线，则（ ）
A．
B．双曲线的实轴长为
C．双曲线的渐近线方程为
D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时，
10．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ）
A．B．
C．D．不是等比数列
11．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则
D．若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 .
13．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
14．如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于 .

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数．
(1)求函数的周期和其图象的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
16．已知椭圆，，且的离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，.
(1)求证：平面平面；
(2)若平面于点，求二面角的余弦值.
18．已知函数（，，）.
(1)当，时，求函数的最小值；
(2)当时，若存在两个极值点，求证：；
(3)设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围.
(参考：)
19．某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；
②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：
若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；
若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖"的概率；
(2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率；
(3)顾客丙消费了1000元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出的分布列并证明期望.