山东省德州市实验中学2025~2026学年第一学期高一年级10月份月考数学试卷（附解析）

这是一份山东省德州市实验中学2025~2026学年第一学期高一年级10月份月考数学试卷（附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题：，，则¬是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．已知集合，若，则a的取值是（ ）
A．B．
C．或D．或或0
4．下列各式中，正确的是（ ）
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
A．②⑤⑦⑧B．②⑤⑦C．③⑤⑦⑧D．①⑤⑥⑦
5．已知条件或，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．或B．或C．或D．
6．下列选项中两个集合相等的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
7．已知集合，，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．4B．3C．8D．7
8．关于的一元二次方程的两个实数根的平方和为4，则实数 的值为（ ）
A．4B．-10C．2D．-10或2
二、多选题（本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列四个命题中正确的是（ ）
A．已知集合，若，则或
B．函数的最小值为2
C．设，若，则
D．不等式成立的一个充分不必要条件是或
10．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．B．不等式的解集为
C．D．不等式的解集为
11．设正实数m，n满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2B．的最大值为1
C．的最大值为2D．的最小值为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．比较大小： （填：>、、0时：要使，使得成立，即在（0，+∞）上存在小于0的值.
因为f（x）的图象开口向上，所以只需△=a²4>0，解得a>2或a0，所以a>2.
综上，a的取值范围是（2，+∞）.
故答案为：（2，+∞）.
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题13分）已知集合，实数集R为全集.
(1)求；
(2)若，求的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
【知识点】根据交集结果求集合或参数、补集的概念及运算、解含有参数的一元二次不等式
【分析】（1）解不等式，得到集合，利用并集和补集的概念进行求解；
（2）根据交集结果得到包含关系，并根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）已知，则，解得，所以，
已知，则，解得，
则，，.
综上，，
（2）因为，所以.
当C=∅时，，解得.
当C≠∅时，则，解得，
综上，的取值范围是.
16．（本题15分）(1)当时，求的最大值；
(2)已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值；
(3)已知正数满足，求的最小值，并求出此时的值．
【答案】(1)当时，取得最大值
(2)当时，取得最小值
(3)当时，取得最小值4.
【详解】（1）已知，则，那么.
根据基本不等式（当且仅当时等号成立），
对于，其中，因为，所以，
当且仅当时等号成立.
那么，所以.
由，即，解得或（舍去，因为）.
因此，当时，取得最大值.
（2）已知，则.故原式=
根据基本不等式（当且仅当时等号成立），
对于，其中，因为，所以，
当且仅当时等号成立.
那么
由且，联立方程组，解得
因此，当时，取得最小值.
（3）因为
已知，则.
根据基本不等式（当且仅当时等号成立），
对于，其中，因为，所以，
当且仅当时等号成立.那么
由且，联立方程组，解得.
因此，当时，取得最小值4.
17．（本题15分）已知，命题，；命题，．
(1)若p是真命题，求a的最大值；
(2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【知识点】已知命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数
【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值.
（2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围.
【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以，
即a的最大值为.
（2）若q是真命题，，解得或，
若q是假命题，，解得，
由已知p、q一真一假，
若p真q假，则，
若q真p假，则，
综上： 或
18．（本题17分）(1)关于的不等式在实数范围内恒成立，求的取值范围；
(2)解关于的不等式：.
【答案】(1)的取值范围是
(2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
【知识点】含参一元二次不等式的恒成立问题、求解含参一元二次不等式
【分析】（1）一元二次不等式大于零恒成立，只需要二次项系数大于零，即可；
（2）先将不等式进行因式分解，找到对应一元二次方程的根，再讨论根的大小关系，写出不等式的解集.
【详解】（1）当，即时，不等式化为，对于任意实数恒成立，所以满足条件.
当，即时，不等式是一元二次不等式，要使其在实数范围内恒成立，则二次函数的图象开口向上，且与轴无交点.
所以，即，且
化简得.
解不等式，可得.
结合，取交集得
综上两种情况，取和得并集，可得.
因此，的取值范围是
（2）当时，不等式化为，解得.
当时，不等式左边因式分解，可得.
方程的两根为.
当时，不等式的解集为.
当时，比较与1的大小：
由（因为），可得，所以不等式的解集为.
因此，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．（本题17分）已知n元有限集，若，则称集合A为“n元和谐集”.
(1)若集合是“二元和谐集”，求m的值；
(2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
(3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在，1个，理由见解析
【知识点】放缩法、集合新定义、一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【分析】（1）根据n元和谐集的定义，令，求解即可.
（2）通过构造一元二次方程利用判别式法证明即可.
（3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，即可.
【详解】（1）（1）若集合是“二元和谐集”，则，
解得.
（2）集合是“二元和谐集”，设，
则，可以看成一元二次方程的两正根，
则，解得（舍）或，
即，所以中至少有一个大于2.
（3）设正整数集为“三元和谐集”，则，
不妨设，则，解得，
因为，，故只有，满足要求，
所以，得，
综上，满足要求，其他均不合要求，
存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.