高考物理一轮复习讲义练习第五章 学科素养聚焦　科学思维方法指导：星球“瓦解”问题　黑洞问题

这是一份高考物理一轮复习讲义练习第五章 学科素养聚焦　科学思维方法指导：星球“瓦解”问题　黑洞问题，共3页。试卷主要包含了星球“瓦解”问题，黑洞等内容，欢迎下载使用。
1．星球“瓦解”问题
(1)条件：当星球自转越来越快，对赤道上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，其临界条件是 eq \f(GMm,R2)＝mω2R。
(2)结论：当ω> eq \r(\f(GM,R3))时，星球瓦解，当ω< eq \r(\f(GM,R3))时，星球稳定运行。
2．黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的 eq \r(2)倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
【例1】 一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不致因自转而瓦解的最小密度之比为( D )
A． eq \f(T0,T) B． eq \f(T,T0)
C． eq \f(T02,T2) D． eq \f(T2,T02)
【解析】 对近地卫星，有G eq \f(Mm,R2)＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T0))) eq \s\up12(2)R，M＝ρ1· eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ1＝ eq \f(3π,GT eq \\al(2,0))，考虑地球赤道处一小块质量为m0的物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不致因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G eq \f(Mm0,R2)＝m0 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)R，M＝ρ2· eq \f(4,3)πR3，联立解得ρ2＝ eq \f(3π,GT2)，所以 eq \f(ρ1,ρ2)＝ eq \f(T2,T eq \\al(2,0))，故D正确，A、B、C错误。
【例2】 已知某天体与地球的质量之比为k，地球的半径为R，地球的环绕速度(第一宇宙速度)为v1，光速为c，则要使该天体成为黑洞，其半径应小于( D )
A． eq \f(2v eq \\al(2,1)R,kc2) B． eq \f(2kc2R,v eq \\al(2,1))
C． eq \f(kv eq \\al(2,1)R,2c2) D． eq \f(2kv eq \\al(2,1)R,c2)
【解析】 地球的第一宇宙速度为v1＝ eq \r(\f(GM,R))，则黑洞的第一宇宙速度为v2＝ eq \r(\f(GkM,r))，并且有 eq \r(2)v2>c，联立解得r< eq \f(2kv eq \\al(2,1)R,c2)，所以D正确，A、B、C错误。
【跟踪训练1】 我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为6.67×10-11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为( C )
A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3
解析：毫秒脉冲星稳定自转，万有引力提供向心力，则有G eq \f(Mm,r2)≥m eq \f(4π2,T2)r，又知M＝ρ· eq \f(4,3)πr3，整理得密度ρ≥ eq \f(3π,GT2)≈ eq \f(3×3.14,6.67×10-11×(5.19×10-3)2) kg/m3≈5.2×1015 kg/m3，故选C。
【跟踪训练2】 科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1 000 AU(太阳到地球的距离为1 AU)的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为( B )
A．4×104M B．4×106M
C．4×108M D．4×1010M
解析：由题图可知，S2绕黑洞运动的周期T＝16年，地球的公转周期T0＝1年，S2绕黑洞做椭圆运动的半长轴r与地球绕太阳做圆周运动的半径R的关系是r＝1 000R，地球绕太阳运动的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知G eq \f(Mm,R2)＝m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T0))) eq \s\up12(2)R，解得太阳的质量为M＝ eq \f(4π2R3,GT eq \\al(2,0))，同理S2绕黑洞运动的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知G eq \f(Mxm′,r2)＝m′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T))) eq \s\up12(2)r，解得黑洞的质量为Mx＝ eq \f(4π2r3,GT2)，综上可得Mx≈4×106M，故B正确。
【跟踪训练3】 北京时间2019年4月10日晚21点，人类史上首张黑洞照片面世。黑洞的概念是：如果将大量物质集中于空间一点，其周围会产生奇异的现象，即在质点周围存在一个界面——事件视界面，一旦进入界面，即使光也无法逃脱，黑洞的第二宇宙速度大于光速。把上述天体周围事件视界面看作球面，球面的半径称为史瓦西半径。已知地球的半径约为6 400 km，地球的第一宇宙速度为7.9 km/s，天体的第二宇宙速度是第一宇宙速度的 eq \r(2)倍，光速为3.0×108 m/s，假设地球保持质量不变收缩成黑洞，则地球黑洞的史瓦西半径最接近( B )
A．1 mm B．1 cm
C．1 m D．1 km
解析：设地球半径为R，则第一宇宙速度v1＝ eq \r(\f(GM,R))；当地球收缩成黑洞时，设半径为R0，根据题意，这时的第二宇宙速度v′2＝ eq \r(2)v′1＝ eq \r(\f(2GM,R0))≥c，联立可得R0≤ eq \f(2v eq \\al(2,1),c2)R，代入数据解得R0的最大值R0max≈9×10-3 m≈1 cm，B正确。
【跟踪训练4】 (2023·湖南卷)根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1～8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10～20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知逃逸速度为第一宇宙速度的 eq \r(2)倍，中子星密度大于白矮星。根据万有引力理论，下列说法正确的是( B )
A．同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B．恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C．恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D．中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度
解析：恒星可看成质量均匀分布的球体，同一恒星表面任意位置物体受到的万有引力提供重力和绕恒星自转轴转动的向心力，不同位置所需的向心力可能不同，故不同位置的重力可能不同，即重力加速度可能不同，A错误；恒星两极处万有引力等于重力，恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，由万有引力表达式F万＝ eq \f(GMm,R2)可知，恒星表面物体受到的万有引力变大，根据牛顿第二定律可知恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大，B正确；由第一宇宙速度物理意义可得 eq \f(GMm,R2)＝m eq \f(v2,R)，整理得v＝ eq \r(\f(GM,R))，恒星坍缩前后质量不变，体积缩小，故第一宇宙速度变大，C错误；由质量分布均匀球体的质量表达式M＝ eq \f(4π,3)R3ρ，得R＝ eq \r(3,\f(3M,4πρ))，已知逃逸速度为第一宇宙速度的 eq \r(2)倍，则v′＝ eq \r(2)v＝ eq \r(\f(2GM,R))，联立解得v′2＝2G eq \r(3,\f(4πρM2,3))，由题意可知中子星的质量和密度均大于白矮星，可知中子星的逃逸速度大于白矮星的逃逸速度，D错误。