2025-2026学年度高一数学第一次月考测试卷

这是一份2025-2026学年度高一数学第一次月考测试卷，共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知四点均在半径为，已知，，且，则下列选项正确的是，已知，，为正实数，且，则等内容，欢迎下载使用。
未命名
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．记表示命题成立且命题不成立，现给出三个命题A，B，C，则（ ）
A．“是的充分不必要条件”是“是A的必要条件”的必要不充分条件
B．“是的必要不充分条件”是“是的充分不必要条件”的既不充分也不必要条件
C．“是的充要条件”是“是的充分不必要条件”的充分不必要条件
D．“是的既不充分也不必要条件”是“是的充要条件”的必要不充分条件
4．已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知四点均在半径为（为常数）的球的球面上运动，且，，，若四面体的体积的最大值为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．对任意，都存在，使得成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，且，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值为2B．的最大值为
C．的最小值为D．的最小值为8
10．已知，，为正实数，且，则（ ）
A．的最大值为B．的最小值为
C．的最小值为4D．的最小值为
11．设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（ ）
A．若集合是集，集合是非空数集，则是集
B．若是集，则
C．若集合是集，集合，则为集
D．且，使得是集
第II卷（非选择题）
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三、填空题
12．若，则 .
13．不等式解集为 ．
14．已知a，b均为正数，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知函数，，关于的不等式的解集为{或}.
(1)求实数，的值；
(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围；
(3)当时，求关于的不等式的解集.
16．已知函数．
(1)当时，求函数在上的最大值与最小值；
(2)若在上的最大值为4，求实数的值．
17．当a≤0时，解关于x的不等式．
18．已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求a，b的值；
(2)当时，解关于x的不等式．
19．已知集合，其中，由中元素可构成两个点集和：，，其中中有个元素，中有个元素.新定义1个性质：若对任意的，必有，则称集合具有性质
(1)已知集合}与集合和集合，判断它们是否具有性质，若有，则直接写出其对应的集合，；若无，请说明理由;
(2)集合具有性质，若，求：集合最多有几个元素？
(3)试判断：集合具有性质是的什么条件并证明.
《2025-2026学年度高一数学第一次月考测试卷》参考答案
1．A
【分析】利用集合的交集运算求解即可.
【详解】因为，所以．
故选：A
2．B
【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论.
【详解】命题“，”为全称量词命题，
该命题的否定为“，”.
故选：B.
3．D
【分析】将每个选项的命题都用集合表示，再根据集合的运算性质判断命题的充分条件和必要条件，从而可以逐一判断.
【详解】令三个命题A，B，C对应三个数集，全集为，
对于A，命题“A是B的充分不必要条件”等价于命题：⫋，
命题“B是A的必要条件”，等价于命题：，
因此，但，所以是的充分不必要条件，故A错误；
对于B，命题“是的必要不充分条件”等价于命题：⫋，
命题“A是的充分不必要条件”等价于命题：⫋，因此，但，
所以是的必要不充分条件，故B错误；
对于C，命题“是的充要条件”等价于命题，即，
也即；命题“是的充分不必要条件”等价于命题⫋，
因此，但，所以是的既不充分不必要条件，故C错误；
对于D，命题“是的既不充分也不必要条件”等价于命题：与互不包含，
命题“是的充要条件”等价于命题，即，
因此，但，所以是的必要不充分条件，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点：该题的解题关键点是将所有命题都用集合表示，把充分条件必要条件问题转化为集合的关系和运算问题，从而快速得解.
4．B
【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可.
【详解】

如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增；
并且，，；
因为，令，则；
不等式恒成立等价于在恒成立；
当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件，
故有，即，解得；
且有，，即，
则，解得；
，则，
解得，故；
综上，由，；
故选：B.
5．C
【分析】由题意要使四面体的体积最大，则在底面的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心，则外接球的球心在上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得的值，进而求出外接球的表面积．
【详解】
因为，作于，
则为的中点，且，
若四面体的体积的最大值时，则面，则外接球的球心在上，设为，
设外接球的半径为，连接，则，
当且仅当，即时取等号，
因为三棱锥的最大体积为，
所以，可得，
所以外接球的表面积为，
故选：C．
【点睛】本题考查的是几何体的体积和表面积公式及利用基本不等式求最值，属于较难题.
6．D
【分析】根据不等式性质和充分条件以及必要条件的判断分析即可.
【详解】对A，若，则，则充分性成立；若，则，则必要性成立，故A错误；
对B，若，举例，此时，则充分性不成立，故B错误；
对C，若，举例，此时，则充分性不成立，故C错误；
对D，若，则，则，则充分性成立；若，当时，此时，故必要性不成立，故D正确；
故选：D.
7．B
【分析】利用特殊值法可判断ACD选项；利用不等式的基本性质可判断B选项.
【详解】对于A，C，取，，，，则，A，C均错误；
对于B，由不等式的基本性质可得B正确；
对于D，取，，则，D错误．
故选：B
8．B
【分析】设，，得到，，，根据绝对值不等式的性质，求得，即，进而求得实数的取值范围.
【详解】设，，
则，，，
则
，
同理可得：，
所以，
所以，
因为对任意，都存在，使得成立，
即，所以，即实数的取值范围为.
故选：B.
9．BC
【分析】对于A，根据，结合基本不等式即可求解；对于B，根据将化简为即可求解；对于C，进行、变换，再结合及基本不等式即可求解；对于D，根据化简为，对结合基本不等式放缩，原式可放缩为，再结合基本不等式放缩一次即可求解．
【详解】对于A，，
根据基本不等式可得，当且仅当成立，联立可得，
所以，即的最小值为，并非最大值为，故A错误；
对于B，由，可得，因为，，
所以，代入并化简可得，
所以当时，取得最大值，此时，故B正确；
对于C，，，令，，
则，且，，那么，
根据基本不等式，，当且仅当，即，
联立，可得时成立，所以，
即的最小值为，故C正确；
对于D，，由，
可得，则，
根据基本不等式，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，
令，则，，
根据基本不等式，当且仅当，即，
也即时取等号，所以，
综上所述，当且仅当且时，等号成立，
所以的最小值为，并非，故D错误．
故选：BC．
10．ABD
【分析】由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项A；由，结合基本不等式和解一元二次不等式即可判断选项B；根据题意变形得，由，结合基本不等式即可判断选项C；由，化简再结合基本不等式即可判断选项D．
【详解】A：由，且，为正实数，
则，即，解得，
则，当且仅当，即，时取等号，故A正确；
B：由，且，为正实数，则，
即，
所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确；
C：由，且，为正实数，则得，
则，
当且仅当，即时取等号，故C错误；
D：由C可得，
则，
又因为，
当且仅当，，即时取等号，故D正确.
故选：ABD.
11．AB
【分析】选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得，或，或，进而求解判断即可；C选项，由是集可得存在（两两不等），使得，根据中的元素个数不小于2，可得且，使得，进而得到，即可判断；D选项，先假设是集，再推出矛盾即可判断.
【详解】选项，若取，则，显然不符合集的定义，A错误；
B选项，由集的定义及已知得，，或，或，
解得或（舍去），B错误；
C选项，由是集，所以存在（两两不等），使得，
因为中的元素个数不小于2，所以且，使得，
且两两不等，由，得，所以为集，C正确；
D选项，设，
取，
满足（两两不等），存在,
是集，，D正确.
故选：AB.
12．2
【分析】由集合相等求得参数值，然后计算差.
【详解】由题意，，则，解得（不满足互异性，舍去），
所以，
故答案为：2.
13．
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解.
【详解】不等式化为，解得，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
14．
【分析】根据和“1”的代换，利用不等式化简，代入化简后，利用基本不等式求出式子的最小值，并求出等号成立时a、b、c的值．
【详解】因为，，，
所以，
又，则
＝，
其中等号成立的条件：当且仅当，
解得，，，
所以的最小值是.
故答案为：.
15．(1)，；
(2)；
(3)答案见解析
【分析】（1）先将代入，整理后得到，由题意得到的解集为或，从而得到方程 的两根为或及，将代入得到的值，再将代入，求解此方程得解；
（2）先在上乘以，得到，再将去掉括号，利用基本不等式求解即可；
（3）先将代入不等式，将其因式分解为，再根据，解出方程的根，按照根的大小分类讨论得到不等式的解集.
【详解】（1），可化为，
移项整理得，不等式的解集为或，
或是方程的两个跟，且.
将代入方程，可得，解得.
把代入方程，得到，因式分解为，
即，故，.
（2）由（1）知，，则，，，，
当且仅当时，即时，等号成立，
，恒成立，
，，，
，，
故的取值范围是.
（3）不等式，即，因式分解为，
，的两根为，，
①当，即时，不等式，不等式的解集为；
②当，即时，不等式的解集为；
③当，即时，不等式的解集为.
综上可知，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
16．(1)最小值为0，最大值为9
(2)或﹣1
【分析】（1）得到的单调性，从而确定最小值为0，最大值为9；
（2）是开口向上的抛物线，分与两种情况，根据最大值列出方程，求出的值.
【详解】（1）当时，，对称轴为，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
又，故的最大值为9；
（2）因为是开口向上的抛物线，，
对称轴为，
①当，即时，
，解得：，满足要求，
②当，即时，
，解得：,满足要求，
综上：或.
17．答案见解析
【分析】不等式化简为（ax＋1）（x－2）≥0，分类讨论a＝0，，及，求出不等式的解集，即可求出答案.
【详解】解：由可得（ax＋1）（x－2）≥0
①当a＝0时，原不等式即x－2≥0﹐解得x≥2﹔
②当a