【数学】山东省潍坊市2026届高三上学期开学调研监测试题（学生版+解析版）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式，解得或，即或，
又集合，
所以.
故选：C.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的虚部是（ ）
A. 3B. C. 4D.
【答案】C
【解析】因为复数对应的点的坐标是，
所以复数，则的虚部是4.
故选：C.
3. 已知集合，，若，，则下列对应关系为上的一个函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】对于A，，，易知时无意义，故A错误；
对于B，，，时，，
时，，时，，故B正确；
对于C，，，时，，故C错误；
对于D，，，时，，故D错误.
故选：B.
4. 若双曲线：过点，则C的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得：，解得：，
所以，
所以，
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】，
，
故选：A．
6. 如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，为中点，则，
因为，，所以为等边三角形，
则，，而，则，
由，，
所以
.
故选：B.
7. Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种数和生物个体总数．如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由变为，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，
两式相除可得，
所以.
故选：C.
8. 设函数（其中，均大于0），若，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】定义域为：.
或，若，此时，
为使，则，则此时；
若，则此时，为使，则，
则此时，综上可得.
则，
当且仅当，即时取等号.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 如图是某市2025年1月至7月全社会用电量（单位：亿千瓦时）的折线图，则（ ）

A. 1月至7月全社会用电量逐月增加
B. 1月至7月全社会用电量的极差是20.7
C. 1月至7月全社会用电量的第75百分位数是64.3
D. 1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大
【答案】BD
【解析】A：由图知，3月到4月用电量减少，故错误；
B：由图，用电量的极差为，故正确；
C：数据从小到大有，
又，
所以第75百分位数是第六个数据，故错误；
D：由1月至3月用电量极差为，
4月至6月用电量极差为，
显然，故对应1月至3月全社会用电量的方差比4月至6月的方差大，故正确.
故选：BD.
10. 已知抛物线：的焦点为，过F的一条直线交于A，B两点（A位于第一象限），过A，B作直线的垂线，垂足分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 若，则
C. 若直线的倾斜角为，则
D. 记，，的面积分别为，，，则
【答案】ABD
【解析】如图所示，由题意可知直线为抛物线的准线，直线与抛物线必相交，
设，，可得，
对于选项A：因为抛物线：的焦点为，
则，解得，故A正确；
对于选项B：由选项A可知抛物线：，
因为，即，
则，即，所以，故B正确；
对于选项C：若直线的倾斜角为，则直线的斜率，可得直线，
联立方程，消去y可得，解得，
结合图形可知，即，所以，故C错误；
对于选项D：设直线，
联立方程，消去x可得，
则，
可得，
，
由题意可知：，，
可得，
且，所以，故D正确；
故选：ABD.
11. 在棱长为6的正方体中，E，F，G分别为棱，，的中点，过E，F，G作正方体的截面，则（ ）
A.
B. 截面多边形存在外接圆
C. 截面多边形的面积为
D. 截面所在平面与平面所成角的正弦值为
【答案】ACD
【解析】如图所示，根据正方体的性质可知，平面，底面对角线，
因为为中线，则，又因为，所以，
又因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，故A正确.
如图，延长交于，交于，连接交于，连接交于.
根据正方体的性质可知，，即，且公用顶点，
显然这两个三角形外心不重合，故这个五边形没有外接圆，B错误；
如上图，因为，为中点，则，
，，
，，
，，，
所以，
，
所以，故C正确.
如上图，因为，，由二面角定义可知，为截面与底面所成角（或补角），
因为，，
由余弦定理得，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 等差数列的前项和为，已知，，则_____．
【答案】5
【解析】由题设，即，则，
，即，则.
故答案为：5.
13. 袋子中有3个红球，2个黄球，m个蓝球，现从中任取两个球，记取出的红球个数为X，若取出的两个球都是红球的概率为，则______．
【答案】1
【解析】记取出的两个球都是红球为事件A，
则，
，即
解得或（舍），
故的可能取值为，
则，
，
故答案为：1.
14. 已知函数，则曲线在处的切线方程_____；若，则a的值为_____．
【答案】①. ②. 2
【解析】因为，则，
可得，，即切点坐标为，切线斜率，
所以所求切线方程为，即；
若，可得，
构建，则，
注意到，则，可得；
下证当时，，
构建，
则，
构建，则，
可知在内单调递减，且，
当时，则，即；当时，则，即；
可知在内单调递增，在内单调递减，则，
即，且，整理可得，
即，可知符合题意；
综上所述：.
故答案为：；2.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知数列满足，．
（1）证明：数列是等比数列，并求的通项公式；
（2）求的前项和．
【答案】（1）证明：因为，所以.
由可知，，则，
所以数列是等比数列，其公比为4，首项为，
则，
所以的通项公式为.
（2）解：由于，
所以，
则，
即的前项和.
16. 如图，在四棱锥中，底面，交于，，，，，为中点．

（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，
因，，则，则，
又，，则，
则，即为线段的中点，
因为中点，则为的中位线，则，
因平面，平面，则平面；
（2）解：设点到平面的距离为，
因，，则，
由（1）可知，则，即，
因，则，则，
因底面，平面，则，
因，则，
因，
则，即，
又底面，，则底面，
又底面，则，则，
则与平面所成角的正弦值为.
17. 在中，．
（1）求A；
（2）若的角平分线与边相交于点，且，，求的面积
【答案】解：（1）由，可得，
即，解得或，
因为，可得，所以，所以.
（2）由（1）知：，
因为为的角平分线，且，，可得，
在中，由余弦定理得，
即，整理得，
解得或（舍去），
设，由，
可得，
即，
解得，即，
所以的面积为.
18. 已知椭圆：的离心率为，右顶点为．
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于M，N两点（B不在上），过N作直线的垂线，垂足为Q．
①求的最小值；
②求的最大值．
【答案】解：（1）因的离心率为，则，
从而，
又右顶点为，则，，
则椭圆方程为：；
（2）①因过点的直线不过点B，则直线斜率不为0，
设：.将直线与椭圆联立，则，
消去得：.
因，设，
则.
则
令，则.
设,则，
因函数在上单调递减，
故,即,
故得,即的最小值为；
②由题，，则Q在以为直径的圆T上，B在圆T外，
如图，过B作圆T切线，切点为J，连接JQ，JM，
由弦切角定理可得，
又，则，从而.
又连接，则，.
由（1），即，
则，
又由①得：，
则
因，则，此时.
则的最大值为.
19. 已知函数．
（1）讨论的极值；
（2）若曲线有两条过原点的切线，求的取值范围；
（3）设，若，证明：对任意正实数，存在唯一的，使得成立．
【答案】（1）解：函数的定义域为，
对求导得，
当时，恒成立，在上单调递增，无极值；
当时，令，即，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
因此在处取得极大值，极大值为，无极小值.
综上，当时，无极值；当时，有极大值，无极小值.
（2）解：设切点为，，
则切线方程为，
因为切线过原点，则，
即，化简得，
曲线有两条过原点的切线，等价于方程有两个不同的正实数根，
令，则，
当时，恒成立，在上单调递增，不满足有两个不同的正实数根，
当时，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，,当时，,
要使有两个不同的正实数根，
则，
即，，，，
解得，
综上，的取值范围.
（3）证明：先证存在性，，，，
，，，
则要证，即证，，，
令，则，即，
令，，
令，则，
所以在上单调递增，，
所以，在上单调递增，
因此存在使得，即存在使得，
又，故，故，
因此，故，即，
即存在，使得；
再证唯一性，假设存在，使得，
即，
显然，，因此唯一性得证.
综上，对任意正实数，存在唯一的，使得成立．