【数学】湖北省部分学校2026届高三上学期九月测试试题（学生版+解析版）

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1. 复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则可能的取值的个数为（ ）
A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个
3. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
4. 17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（ ）
A. 17.1B. 8.4C. 6.6D. 3.6
5. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，若函数在上单调，则a的最大值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆与椭圆，若在椭圆上存在一点，过点能作圆的两条切线，切点为，且，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知正方体的棱长为，在以、为球心，为半径的两个球在正方体内的公共部分所构成的几何体中，被平行于平面的平面所截得的截面面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ）
A. 96B. 98C. 100D. 102
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以A为坐标原点，以为轴正方向，以为y轴正方向，以为轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 的重心坐标为
C. 若，则
D. 异面直线AP与BC所成角的余弦值为
10. 设函数，数列满足，，则（ ）
A. B. 为定值
C. 数列为等比数列D.
11. 如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）

A.
B. 以为直径的圆与直线相切
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有___________种．
13. 已知，则的解集为______.
14. 函数在区间上的最大值与最小值之和为，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．
（1）①求王同学第2天去A餐厅用餐的概率；
②如果王同学第2天去A餐厅用餐，求他第1天在A餐厅用餐的概率．
（2）A餐厅对就餐环境、菜品种类与品质等方面进行了改造与提升．改造提升后，A餐厅对就餐满意程度进行了调查，统计了100名学生的数据，如下表（单位：人）．
根据以上数据，是否有的把握认为学生对于A餐厅的满意程度与餐厅的改造提升有关联？
附：，其中．
16. 已知为等差数列，且，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：，求前n项和
17. 如图，在平行六面体中，，.
（1）求证：四边形为正方形；
（2）求体对角线的长度；
（3）求异面直线与所成角的余弦值.
18. 已知.
（1）当时，讨论在上的单调性；
（2）若在上为单调递增函数，求的取值范围.
19. 费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸透镜的平面圆直径为6，且与轴交于点．平行于轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有光线经折射后全部汇聚在点处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）

（1）设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线，试判断属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
（2）设曲线为解析式同的完整圆锥曲线，直线与交于A，两点，交轴于点，交轴于点（点不与的顶点重合）．若，，试求出点所有可能的坐标.
就餐满意程度
A餐厅改造提升情况
合计
改造提升前
改造提升后
满意
28
57
85
不满意
12
3
15
合计
40
60
100
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828