江苏省南京市、镇江市、徐州市联盟校2025-2026学年高三上学期10月学情调研数学试卷（PDF版附答案）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，，则“”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为，方差为，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中的系数为（ ）
A. 12B. 60C. 160D. 240
5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A. 3B. 8C. 9D. 27
6. 将函数图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，若是偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为的小球在该容器内自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ）
A B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A 已知随机变量，则
B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4
C. 若事件A与B互斥，且，，则
D. 样本数据，，，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为
10. 在直三棱柱中，，，，分别为棱和的中点，为棱上的动点，则（ ）
A.
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过，，三点截该三棱柱的截面面积为
D. 直线与平面所成角的正切值的最大值为
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. ，使得
B. 函数的图象是一个中心对称图形
C. 曲线有且只有一条斜率为的切线
D. 存在实数，，使得函数的定义域，值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，且，则__________.
13. 已知，则_________
14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有，，，，，，，八名运动员参加比赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中在图示中①的位置，在图示中⑤的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知与除以外的运动员比赛胜率为，与除以外的运动员比赛胜率为，除此以外其余场次比赛（包括间的比赛）每位运动员胜率都为，则运动员夺得冠军的概率为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，当时，的极小值为，当时，有极大值．
（1）求函数；
（2）存在，使得成立，求实数的取值范围．
16. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，．
（1）求；
（2）若的面积为，是上的点，且，求的长．
17. 盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）若从盒中不放回地随机取3次，每次取1个球，记为取到的红球的个数，求的分布列和数学期望；
（2）若从盒中每次随机取1个球，取出后将原球放回，再加入3个同色球，求在第2次取到红球的情况下，第3次取到白球的概率.
18. 如图所示的多面体是由一个直三棱柱与一个四棱锥拼接而成的，四边形为直角梯形，，，，，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.
19 已知函数，．
（1）当时，求函数在处切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．