2025-2026学年上海市市北中学高二上学期质量检测一数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市市北中学高二上学期质量检测一数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。
1.如图，空间四边形ABCD四边相等，顺次连接各边中点E，F，G，H，则四边形EFGH一定是( )
A. 菱形B. 正方形C. 矩形D. 空间四边形
2.已知S是正方形ABCD所在平面外一点，连接SA，SB，SC，SD，AC，BD，则在所有的10条直线中，异面直线共有( )
A. 8对B. 10对C. 12对D. 14对
3.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，∠DAD1=45∘，∠CDC1=30∘，那么异面直线AD1与DC1所成角的余弦值是
A. 24B. 28C. 34D. 38
4.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体ABCD-A1B1C1D1，下列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是( )
A. AB1，AC，AD1的长度B. AC，B1D，A1C的长度
C. B1C，A1D，B1D的长度D. AC1，BD，CC1的长度
二、填空题：本题共12题，第5-10题每题4分,第11-16题，每题5分，共54分。
5.空间中已知直线a，直线b，直线c，若直线a//直线b，直线a与直线c异面，则直线b与直线c的位置关系是 ．
6.空间四边形ABCD中，E,F分别在边AD,CD上，且满足DEEA=DFFC，则直线EF与平面ABC的位置关系是 ．
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角A1-BC-A的大小是 ．
8.如图所示，ABCD-A'B'C'D'是长方体，其中AB=2，AD=AA'=1，点E是棱C'D'上一点，若异面直线A'B与DE互相垂直，则D'E= ．
9.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 ．
10.三条直线两两相交可以确定 个平面．
11.已知m,n是空间的两条不同直线，α,β是两个不同的平面，下列四个命题中真命题的编号是 ．
①.m⊥α,n//β,α//β，则m⊥n ②．m⊥α,m⊥n,α//β，则n//β
③.m⊥n,m//α,α//β，则n⊥β ④．m⊥α,m//n,α//β，则n⊥β
12.如图，在▵ABC中，点P在▵ABC所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影且点O在▵ABC的内部．若P到▵ABC三边的距离相等，那么O是▵ABC的 ．
13.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，CC1=2 2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为 ．
14.如图是正方体平面展开图，在这个正方体中∶(1)BM//ED；(2)CN和BE是异面直线；(3)CN和BM成60°角；(4)DM⊥BN；以上四个命中正确的序号是 ；
15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是B1C1、D1D和AB的中点，则下列关系：
①BM⊥AB；
②BM//平面A1PC1；
③BM⊥C1P；
④B1N⊥平面A1PC1，
正确的编号为 ．
16.一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30∘，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60∘角，沿这条直道向上100米后，升高了 米．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题13分)
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求：

(1)二面角C-D1B1-C1的大小
(2)点M在棱CD上，若A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为 1919，判断点M位置并说明理由
18.(本小题15分)
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)证明：B1D⊥A1C1；
(2)证明：B1D⊥平面A1BC1；
(3)若正方体的棱长为1，求点B1到平面A1BC1的距离．
19.(本小题16分)
如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB/\!/CD,∠ADC=90∘,PD=CD=2AD=2AB=2．

(1)求异面直线AB与PC所成角的大小；
(2)求二面角B-PC-D的余弦值．
20.(本小题17分)
我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍(chú)薨(méng)者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍薨的字面意思为茅草屋顶.”现有一个“刍薨”如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE、CDEF为两个全等的等腰梯形，EF//AB，AB=4，EF=2，EA=ED=FB=FC= 17．

(1)设过点F且与直线EF垂直的平面为平面α，且平面α与直线AB、CD分别交于P、Q两点，求▵FPQ的周长；
(2)点N在线段AD上且满足ANAD=13.试问：在线段CF上是否存在点M，使NF/\!/平面BDM?若存在，求出CMCF的值；若不存在，请说明理由．
21.(本小题17分)
(1)如图1，已知平面α，β，且α∩β=l，m//α，m//β.求证：l//m．
(2)如图2，已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β⊥γ，记α∩β=l.求证：l⊥γ．

参考答案
1.C
2.C
3.A
4.A
5.相交或异面
6.平行
7.π4/45°
8.12/0.5
9. 55/15 5
10.1或3
11.①④
12.内心
13.1
14.(3)(4)
15.①②④
16.25 3
17.解：(1)设正方体棱长为1，以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz，

则D0,0,0,A11,0,1,D10,0,1,C0,1,0,B11,1,1,
显然平面B1D1C1的一个法向量为DD1=0,0,1，
设平面CB1D1的一个法向量为n=x,y,z,D1C=0,1,-1,D1B1=1,1,0，
由n⊥D1C,n⊥D1B1，得n⋅D1C=0n⋅D1B1=0，即y-z=0x+y=0，令z=1，得n=-1,1,1，
设n,DD1的夹角为α，csα=n⋅DD1nDD1= 33，由图知二面角C-D1B1-C1为锐二面角，
所以二面角C-D1B1-C1大小为arccs 33．
(2)设M0,t,0,t∈0,1，则A1M=-1,t,-1，平面B1C1CB的一个法向量为DC=0,1,0，
设A1M与平面B1C1CB所成角为β，sinβ=|cs〈A1M,AB〉|=A1M⋅ABA1MAB= 1919，即|t| t2+2=1 19,t=13，
所以当DM=13DC时，A1M与平面B1C1CB所成角的正弦值为 1919．

18.解：(1)连接B1D1，因ABCD-A1B1C1D1为正方体，则DD1⊥平面A1B1C1D1，B1D1⊥A1C1，
因A1C1⊂平面A1B1C1D1，则DD1⊥A1C1，
又B1D1∩DD1=D1，B1D1,DD1⊂平面B1D1D，则A1C1⊥平面B1D1D，
又B1D⊂平面B1D1D，则A1C1⊥B1D；
(2)连接B1C，因CD⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，则CD⊥BC1，
因B1C⊥BC1，B1C,CD⊂平面B1CD，则BC1⊥平面B1CD，
又B1D⊂平面DCB1，则B1D⊥BC1，
因A1C1⊥B1D，A1C1,BC1⊂平面A1BC1，则B1D⊥平面A1BC1；
(3)设点B1到平面A1BC1的距离为d，
因▵A1BC1为等边三角形，且其边长为 2，则S▵A1C1B= 34× 2× 2= 32，
因VB1-A1C1B=VB-A1B1C1，则S▵A1C1B⋅d=BB1⋅S▵A1B1C1，
则d=BB1⋅S▵A1B1C1S▵A1C1B=1×12×1×1 32= 33，
则点B1到平面A1BC1的距离为 33．

19.解：(1)由AB/\!/CD，
则异面直线AB与PC所成角即为∠PCD，
由题意知，PD⊥平面ABCD，又CD⊂平面ABCD，
故PD⊥CD，所以tan∠PCD=PDCD=1，即∠PCD=π4，
即异面直线AB与PC所成角为π4．
(2)因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
所以PD⊥AD，又PD⊥DC，AD⊥DC，
所以以D为原点，DA,DC,DP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系：

则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2)，
则PC=(0,2,-2),BC=(-1,1,0),DP=(0,0,2),PA=(1,0,-2)，
设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅PC=2y-2z=0n⋅BC=-x+y=0，取x=1，得y=1,z=1，得n=(1,1,1)，
取平面PDC的法向量为DA=(1,0,0)，
设二面角B-PC-D的大小为θ，由图形知，θ为锐角，
所以csθ=n⋅DAnDA=1 3×1= 33，
所以二面角B-PC-D的余弦值为 33．

20.解：(1)

过点F分别作FQ⊥EF，FP⊥EF，分别交AB，CD于P，Q，连接PQ，
所以平面α即为平面FPQ，
因为四边形ABCD为正方形，EF//AB，
所以FP⊥AB，FQ⊥CD，
由已知得FP=FQ= 17-1=4，PQ=BC=4，
所以▵FPQ的周长为FP+FQ+PQ=12．
(2)

假设存在点M．
当点N在线段AD上时，连接CN交BD于R，
则▵DNR∽△BCR，因为ANAD=13，
所以CRRN=BCDN=11-13=32．
因为FN//平面BDM，FN⊂平面CFN，
平面CFN∩平面BDM=MR，
所以FN//MR，
所以CMMF=CRRN=11-13=32，所以CMCF=35
综上，在直线CF上存在点M，使NF//平面BDM，CMCF的值为35．

21.解：1)过m作平面γ与平面α交于直线a，因为m//α，所以m//a，
过m作平面θ与平面β交于直线b，因为m//β，所以m//b，
所以a//b，又因为a⊄平面β，b⊂平面β，所以a//β，
而a⊂平面α，且α∩β=l，所以a//l，
所以l//m；
(2)设平面α∩面γ=a，平面β∩面γ=b，
在直线l上取点P，在平面α内作PA⊥a，在平面β内作PB⊥b，
由于α⊥γ，平面α∩面γ=a，所以PA⊥γ，同理PB⊥γ，
由于过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，所以PA与PB重合，
则PA与PB为两平面的交线，即均与直线l重合，即l⊥γ．