福建省名校联盟全国优质校2024-2025学年高三下学期2月大联考数学试题及答案

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 答案：C
解析：．故选C．
2．答案：A
解析：易知，，∴，故选A．
3．答案：B
解析：，∴，∵，∴等比数列的公比为2，
∴，故选B．
答案：C
解析：，则组的频率为，
∴第百分位数为，故选C.
5. 答案：B
解析：记坐标原点为，过点作，垂足为．由已知及抛物线定义可得，，∴△为等边三角形，，又∵，∴，则．∴，解得，故选B．
6．答案：D
解析：对于选项A，取代入得，取代入得，矛盾，故不存在函数满足；同理，不存在函数满足B，C；
对于选项D，为增函数，∴对任意都有唯一的 满足，则即可，故选D.
7．答案：A
解析：，
故，，∴，
又，则，∴，故选A．
8．答案：B
解析：方法1：设，，．
则是方程的解，是方程的解．
∵函数，均为增函数，
且，故，∴．
∴，故选B．
方法2：∵，直线斜率为，设，，则
，∴对任意有：，
∴，即，故选B．
方法3：∵，
∴将点，向左平移1个单位，再向上平移单位，得到点，
点在函数图象上，且直线的斜率为，易得斜率为的直线与函数 图象只有一个交点，∴点与点重合，∴，故选B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 答案：AC
解析：∵，∴，又∵，∴，
∴，周期，故选项A正确；，故选项 B错误；
∵，∴，故选项C正确；
不为偶函数，故选项D错误. 故选AC.
10．答案：BCD
解析：∵，∴，
故选项A错误；
∵，，∴，，故，互为对立，故选项B正确； ，故选项C正确；，故选项D正确. 故选BCD.
11．答案：AC
解析：为函数的零点，
若，当时，，则；当时，，则. 所以时，，即，，故选项A正确；
由A可知，，∴在区间和递增，在区间递减，为的极小值点，故选项B错误；
对于选项C：由B可知，为的极大值点，要使方程有个不同的实数根，
则，解得，故选项C正确；
对于选项D：
，，
∴恒成立，
显然当时，成立；
显然当时，不恒成立；
∴当时，即恒成立，
∴恒成立，
∴或，故选项D错误，故选AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案：5
解析：方法1：易知，∵，，∴的面积为.
方法2：当点为坐标原点时，，∴，的面积为，故填5.
13．答案：
解析：由双曲线定义：，即，
又，，∴，，故填.
14．答案：
解析：设扇形面积为,圆锥的底面半径为，母线长为，
则由等面积法，该圆锥的内切球半径，
易知，，即，记为定值，
方法1：∵
，即,
当且仅当，，即时等号成立，
当圆锥的内切球体积最大时，即圆锥的内切球半径最大时，
易知当最大时，，故填.
方法2：∵，
令，则，
令，即，解得,
∴，即，
∴易知当时，即时，取得最大值，
∴当最大时，即最大时，，故填.
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解：（1）方法1：由正弦定理得，，
∴， …………………………………2分
又，∴，
∴， ……………………………………………………………………4分
由正弦定理得，，∴，，成等差数列. …………………………………………5分
正弦定理，正弦和角公式化解2分，化解得2分，结论1分
方法2：由余弦定理，，，
∴， ………………………………………………………………2分
∴． ……………………………………………………………………………………4分
∵，∴，即，，成等差数列． …………………………………………………5分
余弦定理角化边2分，化解得2分，结论1分
（2）∵，∴； …………………………………………6分
由余弦定理得: ，
∴.
∴.
化简得， ………………………………………………………………11分
即，
∵，故，∴. ………………………………………………………13分
代入面积公式1分，余弦定理化解得到5分，具体过程酌情给分，
求值以及结论2分.
直接用海伦公式，秦九韶面积公式酌情给分.
将A视为B，C为焦点的椭圆上一点，根据几何意义求解，酌情给分.
16．解：（1）当时，，则， ……………………………2分
∴，切点为，切线斜率为，
∴切线方程为，整理得，.……………………………………………5分
求导2分，整理得到切线方程3分（其中切点1分，切线斜率1分）
（2），∵为增函数，∴恒成立， …………6分
翻译条件为恒成立1分
方法1：令，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，∴， …………………10分
令，令，解得，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又， ，，， …………………14分
∴. ………………………………………………………………………………………15分
单调性，极小值分析4分，单调性分析4分，结论1分.
方法2：∴，，解得，……………………8分
∵，∴，或， …………………………………………………………………………10分
当时，，易知，不符题意；…………………………………12分
当时，，设，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
当时，取得极小值，也是最小值，∴，符合题意； ……………………14分
∴. ………………………………………………………………………………………15分
必要性探路得2分，分析判断得，或2分，验证2分，
验证2分，结论1分.
若由，，直接得，再去验证，酌情给分.
解：（1）易知三棱锥的表面积为，
∵，∴当的面积最大时，三棱锥的表面积最大，
此时，由可知，即，同理…2分
分析推理得到，2分，具体过程酌情给分
方法1：设为在底面的射影，为中点，连接，，
∵平面，平面，
∴，又∵，平面，平面，
∴平面，又∵平面，∴， ………………………………………4分
又∵，∴，即在的角平分线上，
同理，在的角平分线上，∴为等边的重心． ………………………………5分
∴，，，
∴三棱锥的体积为. ……………7分
确定的位置3分（其中证明2分），具体过程酌情给分；体积计算2分
方法2：设为中点，∵，均为等边三角形，
∴，，∵，∴平面，…………………………5分
在中，，则，
∴底边上的高为，∴的面积为，
∴， ……………………………7分
证明平面3分，体积计算2分.
（2）方法1：
如图所示，以为原点，分别以，，所在方向为轴、轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，
∴，， …………………………………………………9分
建系正确给1分，点和向量1分
设（），设，则，
∴，， …………………………………10分
设平面的一个法向量为，
则有即
令，则，，∴， …………………………………………12分
易知平面的一个法向量为， ………………………………………………………13分
∴， 解得，
∴. ……………………………………………………………………………………………15分
写出点和坐标1分，平面法向量2分，平面法向量1分，求解以及结论2分
若有其他建系方法，仿照上述方案给分
方法2：
如图，过作垂直于，∴，平面，
过作垂直于，则，，，
∴平面，∵平面，∴，
∴为二面角的平面角， ……………………………………………………………11分
∴，， ………………………………………………………………12分
不妨设（），则，
∵，∴，∴，解得，
∴. ……………………………………………………………………………………………15分
几何法说明二面角的平面角为4分，求解以及结论4分，具体过程酌情给分.
解：（1）当直线与轴垂直时，联立直线与的方程，
即解得，不妨设，． …………………………………2分
易知圆心在轴上，，设，来源：高三答案公众号
∴△的外接圆半径．
∴，解得，∴， ………………………………………………4分
∴圆的方程为. ……………………………………………………………………5分
联立直线与的方程2分，由解得坐标和圆半径2分，结论1分
（2）当直线与轴重合时无法构成三角形；
设，，
联立与的方程
， ……………………………………………………………7分
联立与椭圆方程，写出韦达定理2分.
方法1：
则的中垂线，
又，得，
同理，的中垂线． …………………………………………………………9分
联立直线， ，
由①－②可得，， …………………………………………………………………………11分
将代入①＋②可得，，
∴， ……………………………………………………………………………………13分
∴，
令，
∴， ……………………16分
当，即时，△的外接圆半径最大，为．
此时，△的外接圆面积最大，为． …………………………………………………17分
求出，的中垂线方程，2分，联立，解得坐标4分（其中横坐标、纵坐标各2分），
化解求出的表达式3分，结论1分
方法2：， ………9分
，，
，
， …………………………………13分
∴，
由正弦定理得：，
令，则， …………16分
∴，当时等号成立，
∴外接圆的面积的最大值为. …………………………………………………………………17分
写出的表达式2分，写出的表达式4分，化解求出的表达式3分，结论1分
方法3：
设圆
联立………………………9分
，
所以，
解得，即， ……………………………………………13分
设，则有，即，消去得
所以， …………………………16分
当，即时，，此时，△的外接圆面积最大，为． …17分
联立直线与圆的一般式2分，写出坐标4分，化解求出的表达式3分，结论1分
解：（1）由题意，：，，，，
即3，3，4，4． ……………………………………………………………………………2分
∴．…………………………………………………………………………3分
写出2分，求1分
（2）由题意，由于中元素两两互异，故中的任一元素，如，在中至多在和中出现两次（规定，），且若出现两次则这两个数处于邻位（和也视为邻位）．…………………………………………………………………………………………5分
∴的所有项中至多有两个5和两个4．…………………………………………………………6分
∴，………………………………………………………………………7分
当满足时等号能取到，
∴的最大值为21．（给出任意一种排列即可） ……………………………………………9分
说明中元素在中至多出现两次2分，求出的最大值2分，
给出取得最大值的一种排列2分.
（3）同（2）可知，中的任一元素若在中仅出现一次，则在中至多出现两次；若在中出现两次，由于这两个数相邻，故在中至多出现三次．…………………………………………10分
（i）若，则，……………………………11分
当满足时等号能取到．…………………………………12分
（或，或）
（ii）若，则．………………13分
当满足时等号能取到．…………………………………14分
（iii）若，则．…………15分
当满足时等号能取到．…………………………………16分
（或）
综上，的最大值为．…………………………………17分
说明中的任一元素在中至多出现三次1分，，，每种情况2分，
结论1分1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
A
B
C
B
D
A
B
AC
BCD
AC