2025-2026学年广东省广州市天河区骏景中学九年级上学期月考数学试卷（9月份）

这是一份2025-2026学年广东省广州市天河区骏景中学九年级上学期月考数学试卷（9月份），共15页。试卷主要包含了本试卷满分120分，考生必须保持答题卡的整洁，一元二次方程的根的情况是，对于函数，下列说法正确的是，关于的方程有实数根，则满足，函数和的图象可能是等内容，欢迎下载使用。
注意：
1．本试卷满分120分．考试时间120分钟．
2．所有答题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔做在答题卷指定区域内的相应位置上，做在问卷上的答案无效！不准使用圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
3．考生必须保持答题卡的整洁．
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．把方程化成一般式，则，，的值分别是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
3．一元二次方程配方后可化为（ ）
A．B．
C．D．
4．根据国家统计局公布的数据，2022年全国粮食总产量为68653万吨，2024年全国粮食总产量为70650万吨．若这两年全国粮食总产量的年平均增长率为x，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
6．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，的值随值的增大而减小
B．当时，的值随值的增大而减小
C．的值随值的增大而减小
D．的值随值的增大而增大
7．将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
8．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（ ）
A． B．=10
C． D．=10
9．关于的方程有实数根，则满足（ ）
A．B．且C．且D．
10．函数和的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．抛物线的顶点坐标是 ．
12． ．
13．若m、n是方程的两根，则 ．
14．已知一元二次方程有一个根为1，则 ．
15．函数与直线交于点，当的取值范围是 时，随的增大而增大．
16．若关于x的一元二次方程的其中一根为，则关于x的方程的一根为 ．
三．解答题（共9小题，共72分）
17．用适当的方法解方程：．
18．如果是一元二次方程的一个解，求另外一个解和值．
19．函数的图象如图所示，试证明：关于的一元二次方程必有两个不相等的实数数根．
20．已知二次函数的图象如图所示，求的面积．
21．已知矩形周长为，设这个矩形的一边长为，面积为
(1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)当时，求的值．
22．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率；
(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得504元的利润，每件应降价多少元？
23．已知关于的一元二次方程两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．
24．关于的一元二次方程如果有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的一元二次方程为“倍根方程”，
(1)方程①，②中，是“倍根方程”的序号______；
(2)若一元二次方程是“倍根方程”，求出的值；
(3)若是“倍根方程”，求代数式的值．
25．已知抛物线过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标是 ；的面积是 ；
(3)点C在抛物线上，且满足，求点C的坐标．
1．C
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】根据一元二次方程的一般形式为，其中叫做一次项，叫作一次项系数，解答即可．
本题考查了一元二次方程的一般形式及其相关概念，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：由，
得，
∴，，的值分别是，，，
故选：D．
3．A
【分析】先移项，再根据完全平方公式等式两边都加9，配方即可．
【详解】解：，
，
，
即．
故选A．
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步骤：1、把原方程化为一般形式；2、方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；3、方程两边同时加上一次项系数一半的平方；4、把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；5、进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；正确的配方是解题的关键．
4．A
【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元二次方程，根据年平均增长率模型，2022年的产量经过两年增长到2024年的产量，应列方程为初始产量乘以等于最终产量．
【详解】解：设年平均增长率为，2022年的产量为68653万吨，则2023年的产量为万吨，2024年的产量在此基础上再增长，即万吨．
根据题意，2024年的实际产量为70650万吨，因此方程为．
故选A．
5．D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=-7＜0，进而可得出方程没有实数根．
【详解】解：∵△=b2-4ac=12-4×1×2=-7＜0，
∴方程没有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当△＜0时，方程没有实数根”是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，
∴当时，的值随值的增大而增大，当时，的值随值的增大而减小；
故选：B．
7．A
【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据左加右减，上加下减的法则解答即可，熟练掌握根据平移的规律“左加右减，上加下减”得出函数解析式是解题的关键．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
可得，
故选：A．
8．B
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象一元二次方程的应用，关键是理清题意，找对等量关系，需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
设有 x人参加聚会，每个人都与另外的人握手一次，则每个人握手次，且其中任何两人的握手只有一次，即可列出方程．
【详解】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手次；
依题意，可列方程为：；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有实数根得出判别式是解题关键．注意分类讨论，避免漏解．关于的方程有实数根，那么分两种情况：①当时，方程一定有实数根；②当时，方程成为一元二次方程，利用判别式即可求出的取值范围．
【详解】解：分类讨论：
①当，即时，方程变为，此时方程为一元一次方程，一定有实数根；
②当，即时，此时方程为一元二次方程，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得．
∴的取值范围为．
故选：A．
10．C
【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，熟记一次函数与二次函数的图象并逐一判断选项图象是解本题的关键．
【详解】解：当时，直线过一、二、三象限，抛物线开口向上；对称轴为轴，
当时，直线过一、二、四象限，抛物线开口向下，对称轴为轴，
可得选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意，
故选：C．
11．
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点式的顶点坐标公式，即可得出结果．
【详解】解：的顶点坐标为；
故答案为：．
12．16
【分析】本题考查完全平方公式，将等式右边用完全平方公式展开，即可得出结果．
【详解】解：；
故答案为：16
13．
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．
【详解】解：∵m、n是方程的两根，
∴，
故答案为：．
14．0
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
把代入方程，即可求解．
【详解】解：∵一元二次方程有一个根为1，
∴，
故答案为：0．
15．
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，掌握相关知识是解题的关键．
求出该函数对称轴，由可知该函数开口向下，则在对称轴右侧随的增大而增大，进而即可解答．
【详解】解：将代入中，得，
将代入中，得，
函数的解析式为，
当时，随的增大而增大，
故答案为：．
16．2023
【分析】本题考查了一元二次方程的解，灵活运用换元的思想是解决问题的关键．
先把方程变形为，则此方程可看作关于的一元二次方程，所以，然后解一次方程即可．
【详解】解：∵方程变形为，
∴此方程可看作关于的一元二次方程，
∵关于x的一元二次方程的其中一根为，
∴关于的一元二次方程有一个根为，
解得．
故答案为：2023．
17．
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．利用配方法解方程即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得．
18．另外一个解为，
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入中，求出b的值，进而求解一元二次方程即可．
【详解】将代入中，得，
解得，
故一元二次方程为，
即，
则另外一个解为．
19．证明见解析
【分析】本题考查了一次函数的图象，一元二次方程根的判别式，由一次函数的图象可得，，进而可得，据此即可求解；掌握一次函数的图象和一元二次方程的判别式是解题的关键．
【详解】解：由函数的图象可知，，
一元二次方程中，
关于的一元二次方程必有两个不相等实数根．
20．1
【分析】利用二次函数的顶点式可得到点A的坐标，再由x=0求出对应的y的值，可得到点B的坐标，然后利用三角形的面积公式求出△ABO的面积．
【详解】解：∵二次函数
∴顶点
∵点在图像上且在轴上，即时的坐标
∴
∴
∴的面积
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据解析式求出交点坐标是关键．
21．(1)，
(2)或
【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）根据矩形的周长公式和面积公式列出函数关系式即可；
（2）把代入（1）中解析式，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵矩形周长为，一边长为，则另一边长为，
∴，
∵，
∴；
（2）当时，解得；
故的值为或．
22．(1)该商品连续两次下降的百分率为
(2)每件商品应降价3元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立合适的等量关系是解题的关键；
（1）设每次降价的百分率为，根据该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，列一元二次方程，求解即可；
（2）设每件商品应降价元，根据每天要想获得504元的利润，列一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）设每次降价的百分率为，
根据题意，得，
解得，
(不合题意，舍去)，
答：该商品连续两次下降的百分率为；
（2）设每件商品应降价元，
根据题意，得
解得或，
∵为尽快减少库存，
答：每件商品应降价3元．
23．(1)实数的取值范围为
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由，得到关于的方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得，
实数的取值范围为；
（2）解：根据题意得：
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，若是一元二次方程的两根，，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
24．(1)①
(2)的值为18
(3)代数式的值为或
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，涉及新定义，解题的关键是读懂“倍根方程”的定义和分类讨论思想的应用．
（1）求出的根为，，可知是“倍根方程”；求出的根为，，知不是“倍根方程”；
（2）设的两个根为和，可得，即可解得的值为18；
（3）求出，，可得或，即或，分别代入求值即可．
【详解】（1）的根为，，
，
是“倍根方程”；
的根为，，
，
不是“倍根方程”；
故答案为：①；
（2）由一元二次方程是“倍根方程”，设的两个根为和，
，
解得；
经检验，符合题意，
的值为18；
（3）由得，，
是“倍根方程”，
或，即或，
当时，；
当时，；
代数式的值为或．
25．(1)
(2)，
(3)或或或
【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，求解方程即可得到的值，从而得解；
（2）根据关于轴对称的点的坐标规律—横坐标互为相反数，纵坐标相同解答；根据点、的坐标求出的长度，以及点到的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可求解；
（3）设点到的距离为，根据三角形的面积公式求出，再分两种情况讨论：①当点在下面时；②当点在的上面时；分别求出点的纵坐标，然后代入抛物线解析式求出横坐标，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线过点，
，
解得：，
该抛物线的解析式为；
（2）解：，
点关于轴的对称点的坐标为，
，
，
故答案为：，；
（3）解：设点到的距离为，
则，
，
，
解得：，
分两种情况讨论：
①当点在下面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
②当点在的上面时，
点的纵坐标为：，
此时，，
解得：，，
点的坐标为或；
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解一元一次方程，坐标与图形变化——轴对称，写出直角坐标系中点的坐标，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握三角形的面积公式并运用分类讨论思想是解题的关键．