【四川卷】四川省德阳市高中2022级（2025届）高考二模质量监测考试（二）（德阳二诊）（2.21-2.23）数学试题及答案

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德阳市高中 2022 级质量监测考试（二） 数学答案及评分标准
一、选择题：本题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分 .
1.D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D
二、选择题：本题共3 小题，每小题 6 分，共 18 分 .
9.BD 10.ABD 11.BD
三、填空题：本题共3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12.0.8 13. 14.-2v2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15（ 13 分）
【解】（ 1）零假设 H0：喜爱足球运动与性别无关 .
由题 ≈ 18.182 > 10.828 ， 分
根据小概率值 α = 0.001 的独立性检验，我们推断 H0 不成立，
即有 99.9% 的把握认为喜爱足球运动与性别有关 . 6 分
（2）由题意可得从喜爱足球运动的观众中随机抽取一人，其为男性的概率为 ， 分
故 3 - k ， 分
13 分
16.（ 15 分）.
解：由题意可得 sin2 则
\l "bkmark2" 故 2bcsA=c 2 分
\l "bkmark3" ∴2 sin B csA = sinC = sin ( A + B ) 3 分
\l "bkmark4" 则 2sinBcsA = sin A cs B + csAsin B
\l "bkmark4" ∴sinBcsA - sin A cs B = 0
\l "bkmark5" ∴sin ( B - A) = 0 5 分
数学答案 第 1 页（共6 页）
X
0
1
2
3
P
1/27
2/9
4/9
8/27
故 B=A
故 ΔABC 为等腰三角形 6 分
（2）」 A = B, 则AC = BC设AC = BC = 2m 又 」 D为BC的中点
: SΔ ABC =2SΔ ACD, AC = 2m , CD = m
在 ΔACD中 , 以AD为x轴 , AD中垂线为y轴 , 建立直角坐标系 设 C ( x,y)由CA = 2CD
11 分
即 2+y2=4，: |y| ≤ 2 且 y ≠ 0 13 分
故 SΔ ACD 的最大值为 ×3×2 = 3
故 SΔ ABC 的最大值为 6 15 分
17.（ 15 分）.
( 1)解：连接 BD 交AC于点 O，连接 PO，因为ABCD 是菱形，所以 BD丄AC ， 1 分
又因为 O 为 BD 的中点，PD=PB 所以 PO丄BD 2 分
又AC，POC 面APC，且AC ∩ PO = O，所以 BD丄平面APC 4 分
又 BDC 平面ABCD，所以平面 PAC丄平面ABCD 6 分
（2）过 P 作 PH丄AC 交 AC于点 H，面 APC丄面 ABCD，PH丄AC，面 APC∩ 面 ABCD=AC，
PHC 面APC，所以 PH丄面ABCD，则匕PCH 即为直线 CP 与平面ABCD 所成角 8 分
因为AB丄PD，AB丄PH，PH，PDC 面 PHD，PH∩PD=P，所以AB丄面 PHD， 又 DHC 面 PHD，所以AB丄DH，
所以 H 为 DH，AO 的交点，△ABD 为等边三角形，所以 H 为△ABD 的重心，所以 OH= 1，
CH=4，在△PCH 中 tan匕PCH = ，解得 PH=3 ， 10 分
以 O为原点，OB，OC 所在直线为x，y 轴建立如图坐标系， 则A（0，-3，0），B（V3，0，0），C（0，3，0），P（0，-1，3）
数学答案 第2 页（共6 页）
设平面 ABQ 和平面 ACQ 的法向量分别为
和 ，则 { ，即 = (3 ,- 3,5)， 13 分
又 BD⊥平面 AQC，则 = ( 1,0,0) 14 分
设平面 ABQ 和平面 ACQ 的夹角为 则 csθ = | cs 15 分
18.（ 17 分）
x2 y2
则 C 的方程为：4 + 3 = 1 分
解：（ 1）由题得：a = 2， = 1，所以 b =
联立 41得： y2 + 24ty + 36 = 0 分
（2）由题意得，直线AB 的斜率不为 0，设直线AB 的方程为：x = ty + 4，A (x1,y 1),B (x2,y2)
则 y 1 + y2 = ,y 1 y2 = ，ty 1 y2 = - 分
则 分
（3）由题得：EM ⊥ EN，即 --→ ⋅ -- = 0，设 M (x3,y3),N (x4,y4)，则
、
x3 + x4 = ,x3 x4 = 分
= x3 x4 - (x3 + x4) + y3 y4 - y3 + y4) + = ①
又 y3 y4 = (kx3 + m)(kx4 + m) = k2 x3 x4 + mk (x3 + x4) + ② y3 + y4 = kx3 + m + kx4 + m = k (x3 + x4) + ③
由①②③得： x3 x4 + + m2 - 3m + = 12 分
数学答案 第3 页（共6 页）
--→ ⋅ -- = (x3 - 1)(x3 - 1) + (y3 - - y3 - = x3 2 - 2x3 - y3 2 + = 0
又 + = 1，则 7x3 2 - 8x3 + 1 = 0，x3 = 1（舍），x3 = ，
此时直线 MN过定点 16 分
∴ 点 P 在椭圆内部
则 | EQ | 的最大值为| EP | = 17 分
19（ 17 分）.
解：n = 1 时，S2 = 3S 1 + 2，所以 a2 = 10 Sn + 1 = 3Sn - 2n + 4
n ≥ 2 时，Sn = 3Sn - 1 - 2(n - 1) + 4. 1 分
∴ an + 1 = 3an - 2，∴ an + 1 - 1 = 3(an - 1)(n ≥ 2) 又 a 1 = 4,a2 = 10，a2 - 1 = 3(a 1 - 1)成立
= 3对 n ∈ N ∗ 成立 分
所以数列 {a }
n - 1 为以 a 1 - 1 = 3为首项，q = 3为公比的等比数列 所以 an - 1 = 3n
an = 3n + 1 4 分
（2）因为f (x) = a 1 x + a2 x2 + ⋅ ⋅ ⋅ +an - 1 xn - 1 + an xn
f'(x) = a 1 + 2a2 x + ⋅ ⋅ ⋅ +(n - 1) an - 1 xn - 2 + nan xn - 1
f'( 1) = a 1 + 2a2 + ⋅ ⋅ ⋅ +(n - 1) an - 1 + nan 5 分
=31 + 1 + 2(32 + 1) + ⋅ ⋅ ⋅ +(n - 1) (3n - 1 + 1) + n (3n + 1) 数学答案 第4 页（共6 页）
即 (k + m - k + 7m + = 0
又直线 MN不过 E，则 k + m - ≠ 0，即 k + 7m +
14 分
则直线 MN 的方程为：y = k 过定点 P , -
15 分
b、直线 MN 的斜率不存在时，设 M(x3,y3),N (x3, - y3)，则
=(31 + 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 33 + ⋅ ⋅ ⋅ + n ⋅ 3n) + ( 1 + 2 + 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + n)
令 Tn = 31 + 2 ⋅ 32 + ⋅ ⋅ ⋅ +(n - 1) 3n - 1 + n ⋅ 3n 3Tn = 32 + 2 ⋅ 33 + ⋅ ⋅ ⋅ +(n - 1) ⋅ 3n + n ⋅ 3n + 1 则 - 2Tn = 31 + 32 + ⋅ ⋅ ⋅ +3n - n ⋅ 3n + 1
所以 分
3(2n - 1) (3n - (n + 2))
= 4 分
所以当 n = 1 时，f' ，当 n ≥ 2 时，
∴2n-1>0
3n+1-(n + 3) - 3n + (n + 2) =2·3n-1>0
∴3n-(n+2)单调递增
(3)令f (x) = x - 1 - lnx
则f'(x) = 1 - =
令f'(x) > 0,则x > 1
令f'(x) < 0,则0 < x < 1
故f (x)在 (0,1)单调递减,(1, + ∞ )单调递增 则f (x)min=f'(1)=0
所以f (x) ≥ f (1) = 0 x-1≥lnx(当且仅当x=1 时取等号) 12 分
则 13 分
所以 ln (1 + < ,ln(1 + < , ⋅ ⋅ ⋅ ,ln(1 + <
数学答案 第5 页（共6 页）
15 分
则 {bn}单调递增
又因为 16 分
所以正整数 m 的最小值为 2 17 分
数学答案 第6 页（共6 页）