上海市上海师范大学附属中学闵行分校2025~2026学年高二上册（9月）月考数学试卷【附解析】

这是一份上海市上海师范大学附属中学闵行分校2025~2026学年高二上册（9月）月考数学试卷【附解析】，共11页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．用数学符号语言表示＂点在直线外，直线在平面上＂ .
2．①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；②经过空间任意三点至少有一个平面；③过两平行直线有且只有一个平面．其中正确说法的序号是 .
3．四面体中，，则异面直线与的距离为 .
4．若平面，直线，直线，则点与的位置关系为 .
5．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么这四条线段所在直线是异面直线的有 对．
6．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，为上一点，若平面，则 .

（第5题） （第6题） （第7题）
7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧面是正三角形，平面平面，则二面角的大小是 .
8．已知中，所在平面外一点到此三角形三个顶点的距离都是6，则点到平面的距离是 .
9．设为空间中三条不同的直线，若与所成角为与所成角为，则与所成角的取值范围是 .
10．点是所在平面外一点，，底面是以为直角顶点的直角三角形，且，，点到三边的距离相等，且点在平面上的射影落在内，则直线与平面所成角的大小为 .
11．在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成 个区域.
12．如图，正方体的棱长为分别为的中点，是底面上一点．若平面，则与平面成角的正弦值的取值范围是 .
二、单选题
13．＂两条直线没有公共点＂是＂两条直线平行＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．若，则 D．若，则
15．空间三条射线满足，则二面角的度数（ ）.
A．等于 B．等于 C．是小于的钝角 D．是大于小于的钝角
16．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，在下列说法中正确的是（ ）.
（1）存在，使得；
（2）存在，使得平面；
（3）当时，取最小值；
（4）当时，存在，使得；
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）
三、解答题
17．如图，设直线是平面的一条斜线，与平面交于点是在平面上的投影．平面内过点的另一条直线与的夹角为，若与所成的角为，求与所成角．
18．如图，在平面四边形中，，，现将绕直线旋转至，
求：（1）直线和直线所成角的范围．
（2）直线和直线所成角的范围．
19．如图，在三棱锥中，平面分别为的中点．
（1）求直线与平面所成角的大小；
（2）求平面与平面所成二面角的大小．
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形．侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．
21．在直角梯形中，（如图1）．把沿翻折，使得二面角的平面角为（如图2），分别是和中点．
（1）若是线段的中点，动点在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；
（2）若分别为线段与上一点，使得，令与和所成的角分别为和，求的取值范围．
参考答案
一、填空题
1.； 2.②③； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12..
11．在平面上画条直线，假设其中任意2条直线都相交，且任意3条直线都不共点，设条直线将平面分成了个区域，那么条直线可把平面分成_______个区域.
【答案】
【解析】1条直线把平面分成2个区域，2条直线把平面分成个区域，则有.
同理，3条直线把平面分成个区域，则有；
4条直线把平面分成个区域，则有；
5条直线把平面分成个区域，则有；
依次类推，第条直线与前条直线都相交，
则第条直线有个交点，被分为段，每段都会把对应的平面分为两部分，则增加了个平面，即1.故答案为：．
12．如图，正方体的棱长为分别为的中点，是底面上一点．若平面，则与平面成角的正弦值的取值范围是______.

【答案】
【解析】分别取的中点的中点，连接，.
因为分别为的中点，所以.
又平面平面，所以平面.
因为分别为的中点，所以.
同理可知，所以.
又平面平面，所以平面.
因为平面，所以平面平面.
因为是底面上一点，且平面，所以点.
在等腰中，，设与平面所成角为，
则．故答案为：．
二、选择题
13.B 14.B 15.C 16.D
16．如图，在棱长为2的正方体中，点满足，其中，在下列说法中正确的是（ ）.
（1）存在，使得；
（2）存在，使得平面；
（3）当时，取最小值；
（4）当时，存在，使得；
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（4）

【答案】D
【解析】因为平面，且平面，
所以不存在，使得，故（1）错误；
记平面，在平面中，过点作直线，交直线于点，
在正方体中，平面平面，故.
连接，则，而，∴.
平面，故平面，所以此时平面，故（2）正确；
当时，分别为的中点，点也为的中点，则，
且直线与不垂直，即与不垂直，即不是线段和上两点连线的最小值，故（3）错误；
当时，为的中点，.
如图，设的中点为，连接，交于点，则为的中点.
设中点为，则，因此以为直径的球与线段必有交点，即存在，使得，故（4）正确，故选D．
三、解答题
17.【答案】.
18.【答案】（1）；（2）.
19.【答案】（1）；（2）.
20．如图，在四棱锥中，底面是正方形．侧面是正三角形，侧面底面，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求侧面与底面所成二面角的余弦值；
（3）在棱上是否存在点使平面平面成立？如果存在，求出，如果不存在，说明理由．

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，.
【解析】（1）证明：在正方形中，，又侧面底面，
侧面底面平面，所以平面.
又平面，所以，因为是正三角形，是的中点，则.
又平面，所以平面；
（2）取的中点分别为，连接，，则，所以，在正中，.
因为平面，则平面.
在正方形中，，故平面，所以是侧面与底面所成二面角的平面角.
由平面，则平面，又平面，所以，
设正方形的边长，则，所以，
则，故侧面与底面所成二面角的余弦值为；
（3）当时，平面平面．
由正方形可得．又，平面平面，
可得平面，即有，所以．
连接，在中，，
则.
由，可得，又，所以平面.
而平面，所以平面平面．
21．在直角梯形中，（如图1）．把沿翻折，使得二面角的平面角为（如图2），分别是和中点．
（1）若是线段的中点，动点在三棱锥表面上运动，并且总保持，求动点的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；
（2）若分别为线段与上一点，使得，令与和所成的角分别为和，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）在图（1）中，∵，所以四边形是正方形.
在图（2）中，∴平面，
∴平面，分别取的中点为，连接，
则平面平面，所以平面.
同理平面，由于，平面，故平面平面，
∴平面，因此点在平面上运动，故点的轨迹为三角形.
由，所以即为二面角的平面角，故.
由于，
因此，
故点的轨迹长度为；
（2）在线段取点使得。
由于平面平面，∴，
∵，∴，易得，
从而有，则，
则.