广东省佛山市顺德区容山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题及答案

这是一份广东省佛山市顺德区容山中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题及答案，共19页。试卷主要包含了请考生保持答题卷的整洁等内容，欢迎下载使用。
命题人：汪良清 审题人：杨金宝
注意事项：
1．答卷前，考生务必填涂答题卷上的班级、姓名、考号、试室号、座位号等有关项目．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．
4．请考生保持答题卷的整洁．考试结束后，将答题卷交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共线的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用空间中不重合的三点共线的条件，逐一考查所给的选项是否正确即可.
【详解】对于空间中的任意向量，都有 ，说法A错误；
若，则，而，据此可知，即两点重合，选项B错误；
，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有A、B、C三点共线，选项C错误；
，则A、B、C三点共线，选项D正确；
故选：D.
2. 下列命题中，不正确的命题是（ ）
A. 空间中任意两个向量一定共面
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 对空间中任一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面
D. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底
【答案】B
【解析】
【分析】根据共面向量、向量平行、四点共面、基底等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，空间中任意两个向量可以通过平移的方法平移到同一个平面，
所以空间中任意两个向量一定共面，A选项正确.
B选项，若，可能是非零向量，是零向量，
此时不存在，使，所以B选项错误.
C选项，对于，有，所以四点共面，
所以C选项正确.
D选项，若是空间的一个基底，，
假设，，
则共面，与已知矛盾，所以不共面，
所以是基底，所以D选项正确.
故选：B
3. 从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率即可.
【详解】记2名男生为，2名女生为，
任意选出两人的样本空间，共6个样本点，
恰好一男一女生的事件，共4个样本点，
所以选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是.
故选：A
4. ，分别为直线与上任意一点，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两平行线间的距离公式可求出的最小值.
【详解】由，可得两条直线相互平行，
所以最小值为平行线之间的距离，可化为，
所以，.
故选：A
5. 两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由空间向量求解
【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点，
且两平面的一个法向量，
∴两平面间的距离．
故选：A
6. 设向量，，当数与满足下列哪种关系时，向量与轴垂直（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量垂直满足的坐标运算即可求解.
【详解】∵，，
∴，
取x轴的方向向量为，
若向量与x轴垂直，
则，解得：，
故选：A．
7. 下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则
②若向量，满足，且，则在方向上的投影向量为
③若，则，的夹角是钝角
④已知正四面体的棱长为1，则
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量的坐标运算判断直线与平面的位置关系，即可判断①；利用投影向量的计算公式判断②；根据向量夹角与数量积的关系判断③；利用正四面体的几何性质结合空间向量的运算转化求解即可判断④，从而得结论.
【详解】对于①，若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，
则，所以或，故①不正确；
对于②，若向量，满足，且，
则在方向上的投影向量为，故②正确；
对于③，若，，的夹角是钝角或平角，故③不正确；
对于④，已知正四面体的棱长为1，
则
，
故④正确；
综上，正确命题的个数为2个.
故选：C.
8. 体积为的圆锥底面圆周上有三点A，B，C，其中M为圆锥顶点，O为底面圆圆心，且圆锥的轴截面为正三角形．若空间中一点N满足（其中），则的最小值为（ ）
A. B. C. 3D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】由向量共面的推论判断N的位置，进而得到最小时N的位置，设圆锥MO底面圆的半径为r，结合已知及圆锥体积公式求半径，即可得结果.
【详解】因为N满足（其中），即N在圆O所在的平面内．
所以的最小值是顶点M到圆O所在的平面的距离，即为圆锥MO的高．
设圆锥MO底面圆的半径为r，因为圆锥的轴截面为正三角形，
所以圆锥MO的高为，则圆锥的体积为，解得．
所以的最小值为.
故选：A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若，则事件A与B是对立事件
B. 设A，B是两个随机事件，且，，若，则A，B是相互独立事件
C. A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小
D. 若，，则“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立
【答案】BD
【解析】
【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件的概念分析判断.
【详解】对于选项A：例如样本空间为，事件，，
可得，满足，
但，即事件不对立，故A错误；
对于选项B：因为，，，
满足，所以A，B是相互独立事件，故B正确；
对于选项C：例如样本空间为，事件，，
则A，B同时发生为事件，则；
A，B中恰有一个发生为事件，则；
显然，故C错误；
对于选项D：因为，，
若事件A，B相互独立，则，可知事件A，B不互斥；
若事件A，B互斥，则，即，可知事件A，B不相互独立，
所以“事件A，B相互独立”与“事件A，B互斥”一定不能同时成立，故D正确；
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件
C. 直线的倾斜角的取值范围是
D. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为
【答案】BC
【解析】
【分析】由两直线的平行与垂直，即可判断AB，由直线倾斜角的定义即可判断C，分直线过原点以及不过原点，即可判断D
【详解】对于A，由可得直线与直线互相垂直，故充分性满足，
由直线与直线互相垂直，
可得，解得或，，则必要性不满足，
所以“”不是“直线与直线互相垂直”的充要条件，故A错误；
对于B，由可得直线与直线互相平行，故充分性满足，
由直线与直线互相平行
可得，解得，则必要性满足，
所以“”是“直线与直线互相平行”的充要条件，故B正确；
对于C，设直线的倾斜角，则，
又，所以，故C正确；
对于D，直线在两坐标轴上的截距相等，若直线过原点，则直线方程为；
若直线不过原点，则直线斜率为，在坐标轴上截距为，
所以直线方程为，即；
所以直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的方程为或，故D错误；
故选：BC
11. 在棱长为2的正方体中，M，N两点在线段上运动，且，则（ ）
A. 在M，N两点的运动过程中，平面；
B. 在平面上存在一点P，使得平面；
C. 三棱锥的体积为定值；
D. 以点D为球心作半径为的球面，则球面被正方体表面所截得的所有弧长和为．
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据线面垂直、线面平行、三棱锥体积、正方体的截面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】平面也即平面，
A选项，由于三角形是等边三角形，所以与所成角为，
也即与不垂直，从而与平面不垂直，
也即与平面不垂直，所以A选项错误.
B选项，根据正方体的性质可知，
由于平面，平面，所以平面，
同理可得平面，由于平面，
，所以平面平面，
由于平面，所以平面，
所以在平面上存在一点，，
使得平面，也即使得平面，B选项正确.
C选项，，所以到的距离为，
所以，
所以C选项正确.
D选项，由于，而球的半径为，
以为圆心，为半径作四分之一的圆弧，如图所示，
则弧是球面被正方体表面所截得的弧，
且弧长为，
同理画出弧如图所示，这两段弧长都为，
所以截得的弧长总和为，所以D选项正确.
故选：BCD
【点睛】本题通过对立体几何中正方体和球的组合关系进行考查，要求学生分析平面与平面的位置关系、三棱锥体积是否为定值，以及球面截弧的计算．解题过程中，通过几何对称性和体积公式的应用来确定各选项的正确性，充分体现了立体几何的综合性和数形结合的思想．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填在答题卡中的横线上．
12. 已知直线过两条直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为(结果用一般式表示)________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得直线过点，且斜率为，由点斜式求解即可.
【详解】解：由，可得，
即所求直线过点，
又因为所求直线与直线垂直，
所以直线斜率为，
所以直线的方程为：，
即.
故答案为：
13. 已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解.
【详解】由题意得，又，
所以，，
所以点到直线的距离为，
解得或.
故选：或.
14. 已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可.
【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上，
所以
，
因为，所以，
所以，所以的最小值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 ABC的顶点，AB边上的中线CM所在直线方程为，AC的边上的高BH所在直线方程为．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求直线BC的方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，利用点C在AB边上的中线CM上和直线AC与高线BH垂直求解；
（2）设，利用点B在BH上和AB的中点M在直线CM上求解；
【小问1详解】
解：设，
∵AB边上的中线CM所在直线方程为，
AC边上的高BH所在直线方程为．
∴，解得．
∴．
【小问2详解】
设，则，
解得．
∴．
∴．
∴直线BC的方程为，即为．
16. 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求
（1）分别求甲在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；
（2）分别求乙在两轮活动中共猜对1个，2个成语的概率；
（3）求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率．
【答案】（1）甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为；
（2）乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率为；
（3）“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为．
【解析】
【分析】（1）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解；
（2）由互斥事件的和事件的概率公式与独立事件概率的乘法公式可求解；
（3）两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率求法即可得解.
【小问1详解】
设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，
根据独立事件的性质，可得，
所以甲在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率；
【小问2详解】
设分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.
根据独立事件的性质，可得，
所以乙在两轮活动中共猜对1个成语的概率为，2个成语的概率；
【小问3详解】
设表示“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，
由（1）（2）可得，且与互斥，与，与分别相互独立，
所以，
因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是.
17. 在平行六面体中，，，，E为与的交点．
（1）用向量，，表示；
（2）求线段的长；
（3）求异面直线与所成角．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）结合题意根据向量加法的三角形法则和平行四边形法则即可求解；
（2）由（1）的结论，结合向量的数量积公式及模长定义进行运算即可.
（3）利用向量的减法运算及数量积公式运算即可求解.
【小问1详解】
由题意得，
即.
【小问2详解】
由（1）得
，
所以线段的长为.
【小问3详解】
，
所以异面直线与所成的角为.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面的夹角的大小．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量坐标，再利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由，结合，利用线面垂直的判定定理证明.
（3）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解.
【小问1详解】
在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，由，得，
又，且平面，
所以平面.
【小问3详解】
由（1）知，，且，
设平面的法向量为，则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，而，则，
所以平面与平面的夹角为.
19. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面内过作，交于，连.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值；
（3）在线段上存在一点，使直线与平面所成的角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）.
（3）.
【解析】
【分析】（1）由已知四边形为矩形，证明，由条件根据面面垂直性质定理证明平面；
（2）建立空间直角坐标系，求平面，平面的法向量，利用向量法求出二面角的余弦值，再求其正弦值；
（3）设，求，利用向量方法求直线与平面所成的角的正弦值，列方程求.
【小问1详解】
因为，因为，，
所以四边形为矩形，
在中，，，，
则，
，，
且平面平面，平面
平面平面，
平面；
小问2详解】
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，可得，
则，，，，C−1,3,0，
设平面的法向量为，，，
由，取.
设平面的法向量为，，
由，取，
.
二面角是钝角，
二面角的正弦值为.
【小问3详解】
设，则，
又平面的法向量为，
直线与平面所成的角的正弦值为，
解得，.