新高考数学一轮复习高频考点精讲精练 直线与椭圆、双曲线、抛物线（2份，原卷版+教师版）

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知识点一：直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
知识点二：直线与双曲线的位置关系
代数法：设直线，双曲线联立解得：
（1）时，，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，，或k不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）时，
存在时，若，，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若，
时，，直线与双曲线相交于两点；
时，，直线与双曲线相离，没有交点；
时，直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
知识点三：直线与抛物线的位置关系
设直线:,抛物线:（）,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于的方程
(1)若,当时,直线与抛物线相交,有两个交点;
当时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若,直线与抛物线有一个交点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.因此直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
知识点四：直线与圆锥曲线的相交的弦长公式：
若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长

弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
第二部分：高考真题回归
1．（2023·北京·统考高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．
(1)求的方程；
(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）依题意，得，则，
又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，
所以，即，则，
所以椭圆的方程为.
（2）因为椭圆的方程为，所以，
因为为第一象限上的动点，设，则，

易得，则直线的方程为，，则直线的方程为，联立，解得，即，
而，则直线的方程为，令，则，解得，即，又，则，，
所以
，
又，即，显然，与不重合，所以.
2．（2023·全国（甲卷文理）·统考高考真题）已知直线与抛物线交于两点，且．
(1)求；
(2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）设，由可得，，所以，
所以，
即，因为，解得：．
（2）因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，
由可得，，所以，，，
因为，所以，即，
亦即，将代入得，
，，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以当时，的面积．
3．（2023·全国（新高考Ⅰ卷）·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则.，易知，则令,
令，解得，当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，则，故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证.
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，直线的方程为，则联立得，，则则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，
则，，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系
典型例题
【例题1-1】若直线被圆所截的弦长不小于2，则与下列曲线一定有公共点的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】由题意，圆的圆心为，半径为.设直线方程为，直线到圆心的距离为，由弦长公式得，所以.由点到直线的距离公式得，，即.对于选项A，直线到该圆圆心的距离为，取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除；
对于选项B，当时，对于直线有，，，联立椭圆方程得，所以必有公共点；当时，联立直线与椭圆方程得，，所以必有公共点；故B正确；
对于选项C，联立直线与抛物线方程得，若时，则，有解；
若时，，取，则，方程无解，此时无公共点，故C错误；
对于选项D，当时，对于直线有，，，联立双曲线方程得，
取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除.故选：B.
【例题1-2】过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】B
【详解】当直线的斜率不存在时，直线，代入抛物线方程可，故直线与抛物线有两个交点．不满足要求，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，消得，，当时，解得，直线与抛物线有且只有一个交点，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有2条．故选：B.
【变式1-1】直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】当时，曲线，即，双曲线右半部分；一条渐近线方程为：，直线与渐近线平行；当时，曲线，即，椭圆的左半部分；画出曲线和直线的图像，如图所示：

根据图像知有个公共点.故选：B
【变式1-2】已知点和双曲线，过点且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条B．3条C．4条D．无数条
【答案】A
【详解】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，点是双曲线的顶点.
①若直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，直线与双曲线只有一个公共点，合乎题意；
②若直线的斜率存在，则当直线平行于渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点.
若直线的斜率为，则直线的方程为，此时直线为双曲线的一条渐近线，不合乎题意.
综上所述，过点与双曲线只有一个公共点的直线共有条.故选：A.
高频考点二：根据直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系求参数
【例题2-1】已知实数，满足：，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．5
【答案】B
【详解】令，则直线与有交点情况下，直线在x轴上截距最大，
假设直线与椭圆相切，则，即，所以，可得，即，要使在x轴上截距最大，即.故选：B.
【例题2-2】（多选）双曲线的离心率为，若过点能作该双曲线的两条切线，则可能取值为（ ）．
A．B．C．D．2
【答案】AC
【详解】斜率不存在时不合题意，所以直线切线斜率一定存在，设切线方程是，
由得，显然时，所得直线只有一条，不满足题意，所以，由得，整理为，
由题意此方程有两不等实根，所以，，则为双曲线的半焦距，，即，代入方程，得，此时，
综上，e的范围是
故选：AC

【变式2-1】若方程有解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，，两边同平方得，化简得（），则其所表示的图形为椭圆在x轴及上方部分，则题目转化为直线与上述图形有交点，设椭圆的右端点为，易得其坐标为，
当直线与半椭圆相切时，显然由图得，联立，得，
则化简得，解得或（舍），当直线经过点时，得，解得，则，故选：B.
【变式2-2】直线与椭圆有且只有一个交点，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由得，，由题意知，解得，故选：C．
高频考点三：相切问题
【例题3-1】在直角坐标系中，椭圆方程为，为椭圆上的动点，直线的方程为：，则点到直线的距离的最小值为 .
【答案】
【详解】令与椭圆相切，消去x整理得：，
所以，可得，显然与椭圆无交点，
当，切线为，与距离为；
当，切线为，与距离为；
所以点P到直线的距离d的最小值为.故答案为：
【例题3-2】若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】
【详解】解：由题可知，直线的斜率存在，设直线方程为，单位圆的方程为：
所以则，整理得：
所以则，整理得：所以，解得 则则直线的方程为：.
故答案为：.
【变式3-1】若直线与曲线交于不同的两点，那么的取值范围是（ ）
A．（）B．（）C．（）D．（）
【答案】D
【详解】由直线与曲线 相切得
由图知,的取值范围是（），选D.
【变式3-2】曲线上点到直线距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】令与相切，联立整理可得，所以，可得，当，此时与的距离，当，此时与的距离，所以曲线到直线距离的最小值为.
故答案为：
高频考点四：由中点弦确定直线方程
典型例题
【例题4-1】椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为．
则，，两式相减得，
又，，，代入解得．故选：D．
【例题4-2】已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】
【详解】设，则两式相减得，
由线段的中点坐标为，即，.故答案为：
【变式4-1】若椭圆的弦AB被点平分.则直线AB的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则满足，两式作差得，即，又被点平分，故，且直线的斜率存在，
所以，整理得，即，则所在直线方程为，化简得.故选：A.
【变式4-2】已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，则，故，由于线段的中点坐标为，
故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，故，即，
所以直线的斜率为.故选：C
高频考点五：由中点弦确定曲线方程（离心率）
【例题5-1】已知直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则从而，故．由题意可得，则，从而，故椭圆C的离心率．
故选：A.
【例题5-2】已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于点，（不重合），的垂直平分线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】因为直线，所以，由题可知的垂直平分线的方程为，
将与联立可得，即的中点坐标为．设，，则，且，，两式作差可得，
即，所以，则双曲线的离心率为．故选：D
【变式5-1】已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】关于直线对称，，又中点纵坐标为，中点横坐标为；设，，则，两式作差得：，即，；又，，，解得：，椭圆的离心率.故选：A.
【变式5-2】如图，已知过原点的直线与双曲线相交于两点，双曲线的右支上一点满足，若直线的斜率为-3，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【详解】如图，取的中点，连接，则，所以，设直线的倾斜角为，则，所以，所以直线的斜率为.设，则.由，得到.，
所以，所以，则.故答案为：
高频考点六：弦长问题
【例题6-1】椭圆的方程为，短轴长为2，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与圆相切，且与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
【详解】（1）由题意得：，，结合，解得：，
故椭圆方程为；
（2）直线l：与圆相切，故，即，
联立与得：，
设，，，
则，
将代入上式得：解得：，
因为，所以，故，则，所以直线l的方程为或.
【例题6-2】在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦点为、，实轴长为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，求直线的方程及弦的长.
【答案】（1）；（2）；.
【详解】解：（1）根据题意，焦点在轴上，且，，所以，
双曲线的标准方程为；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，且恰好为线段的中点，当直线斜率不存在时，直线方程为，则由双曲线对称性可知线段的中点在轴上，所以不满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为，设，，
则，化简可得，
因为有两个交点，所以，化简可得恒成立，
因为恰好为线段的中点，则，化简可得，
所以直线方程为，即.此时，
∴．
【变式6-1】若椭圆：过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过点，且被椭圆截得的线段长为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）抛物线的焦点，双曲线，即的焦点，
依题意，，所以椭圆的方程为.
（2）因为点在x轴上，又椭圆的短轴长，则直线不垂直于y轴，设直线的方程为：，
由消去x并整理得：，
设直线被椭圆截得的线段端点为，则有，
于是，
即有，解得，所以直线的方程为.
【变式6-2】已知抛物线，点为其焦点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)过轴上一动点作互相垂直的两条直线，与抛物线分别相交于点和，点分别为的中点，求的最小值．
【答案】(1)；(2)6
【详解】（1）直线方程为，将其代入抛物线可得，
由已知得，解得，故抛物线的方程为．
（2）因为，若直线分别与两坐标轴垂直，则直线中有一条与抛物线只有一个交点，
不合题意，所以直线的斜率均存在且不为0．设直线的斜率为，则直线的方程为．联立，得，则，
设，则，设，则，则，
所以，同理可得，
故，
当且仅当且，即时等号成立，故的最小值为6．
高频考点七：三角形面积（周长）问题
【例题7-1】已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，且点，当的面积最大时，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
【详解】（1）解：由题意，可得，且，所以，则，
所以椭圆的方程为.
（2）解：由直线的方程为，则点到直线的距离为，
联立方程组，整理可得，
由判别式，解得，
设，则，
可得
，
所以，
当且仅当时，等号成立，所以所求直线的方程为或．

【例题7-2】已知抛物线的焦点为，圆，过C上一点作的切线，该切线经过点．
(1)求的方程；
(2)若与相切的直线，与相交于，两点，求面积的最大值．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由，得，则．设该切线的斜率为k，则．
由题可知，，因为该切线经过点，所以，
解得，故C的方程为．
（2）设l与C相切于点，则l的方程为，即．
由（1）可知，E的方程为．则圆心到l的距离．
因为l与E相交，所以，整理得．．
点到l的距离，
的面积，
当且仅当时，等号成立，故面积的最大值为．
【变式7-1】已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线于P，Q两点（不与A，B重合），直线，分别与y轴交于M，N两点．
(1)记直线，的斜率分别为，，求；
(2)记，的面积分别为，，当时，求直线l的方程．
【答案】(1)见解析；(2)或或
【详解】（1）由题意知，，，设直线的方程为，,,，
联立，得，
，，， ，
直线的斜率，直线的斜率，
，为定值．
（2）设,则，,
由于,得，
设直线，可得，设直线，可得，
所以，
所以由得，
当时，则，解得，此时直线方程为
当时，则，解得，此时直线方程为，故直线方程为或或
【变式7-2】已知抛物线：，直线交抛物线于两点，，，且.
(1)求坐标原点到直线的距离的取值范围；
(2)设直线与轴交于点，过点作与直线垂直的直线交椭圆：于，两点，求四边形的面积的最小值.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为.
联立，消去，整理得，所以，
所以，解得，所以直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为，
又，所以，所以，即，
所以坐标原点到直线的距离的取值范围为.
（2）由（1）可知.
由题意及（1）可知直线的方程为.设，
联立，消去，整理得，
则根据根与系数的关系，得，
所以，
所以四边形，
设则四边形，
因为在上单调递增，所以四边形,
所以四边形的面积的最小值为.
高频考点八：直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题
【例题8-1】已知椭圆：的离心率为，点，，分别是椭圆的左、右、上顶点，是的左焦点，坐标原点到直线的距离为.
(1)求的方程；
(2)过的直线交椭圆于，两点，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
根据题意解得故的方程为.
（2）由（1）知：.当直线的斜率为0时，点为椭圆的左、右顶点，
不妨取，此时，则.
当直线的斜率不为0或与轴垂直时，设其方程为，
代入椭圆并消去得，
设，则.而，
所以.
因为，所以，所以.
综上，的取值范围为.
【变式8-1】在平面直角坐标系中，抛物线上一点的横坐标为4，且点到的距离为5，
(1)求抛物线的方程；
(2)若斜率为1的直线交抛物线于、两点（位于对称轴异侧），且，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）由题可知，点到抛物线准线的距离为5，
抛物线的准线方程为，点的横坐标为4，
，解得，抛物线的方程为；
（2）根据题意可设直线的方程为，

联立，得，设，，，，则，，
，，
解得，此时都有，，直线的方程为，即．
直线与椭圆、双曲线、抛物线 巩固练习
一、单选题
1．直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】，在椭圆内，恒过点，直线与椭圆相交.故选：A.
2．过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【答案】D
【详解】当斜率不存在时，过的直线与双曲线没有公共点；
当斜率存在时，设直线为，联立，得①.
当，即时，①式只有一个解；
当时，则，解得；
综上可知过且与双曲线有且只有一个公共点的直线有4条.故选：D.
3．已知F为抛物线的焦点，A为C上的一点，中点的横坐标为2，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】由题意得：，准线方程为，设，则中点的横坐标为，故，解得：，由抛物线的焦半径可知：.故选：B
4．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若的中点的横坐标为2，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】设点的横坐标分别为，则.由过抛物线的焦点的弦长公式知：.故选：C
5．已知点A，B在抛物线上，为坐标原点，为等边三角形，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，、，，，．又，，
，即．又，均为正数，．
，即．由抛物线对称性，知点、关于轴对称．，则．
，将其代入抛物线方程中得，解得，等边三角形的边长为，所以面积为，故选：A
6．已知直线与抛物线交于A，B两点，若D为线段AB的中点，O为坐标原点，则直线OD的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设,则，相减得，
由于,所以，所以,将其代入中可得，所以 ,故,故选：C
7．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中，对称轴与轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线的方程为，平行于轴的光线从点射出，经过上的点反射后，再从上的另一点射出，则（ ）

A．6B．8C．D．29
【答案】C
【详解】由，可得的纵坐标为，设，则，解得，由题意反射光线经过抛物线的焦点，所以直线的方程为，整理可得，
由消去整理得，解得，，则，所以，所以.故选：C
8．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的动点，，，点到双曲线的两条渐近线的距离分别为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，得．因为，所以．又因为，所以，
故双曲线的方程为，所以两条渐近线的方程为．设，则，
故．不妨设，则，
所以，所以．故选：B．
9．已知双曲线（，）的离心率，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，直线的斜率分别为，，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由题意，在双曲线（，）中，离心率，∵，解得：，∴，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于的动点，
设，∴，解得：，
∵直线的斜率分别为，，且 ，
∴，∴故选：B.

10．已知抛物线上的两个不同的点、的横坐标恰好是方程的根，则直线的方程为 .
【答案】
【详解】由题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，
因为点，的横坐标恰好是方程的根，所以，，
联立，消得，则，，所以，，所以，，经检验，符合题意，所以直线的方程为，即.故答案为：.
11．已知，分别是椭圆的左、右焦点，为其过点且斜率为1的弦，则的值为 ．
【答案】
【详解】由知，，，则，，
则所在直线方程为，即，联立，得，
设，则，，，
.故答案为：.