精品解析：山东省聊城市某校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份精品解析：山东省聊城市某校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本大题共8题，每小题5分，共40分.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集的定义，计算即可得答案.
【详解】因为集合是所有非正整数组成的集合，所以．
故选：D．
2. 若，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，那么D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误.
【详解】取，有，A错误；
因为，所以，所以，所以，B正确；
取，显然，C错误；
因为，所以，即，D错误．
故选：B
3. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据不等式性质可推断，再通过举反例即可得出结论.
【详解】因为，由，根据传递性可知，
因此“”能推出“”，因此充分性成立；
不妨取，满足，但不成立，因此必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，可直接得到答案.
【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，
所以命题“，”的否定是：
，.
故选：C
5. 若，则下面各式中恒成立的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质和已知可同时得到﹣1＜α＜1，﹣1＜﹣β＜1，α﹣β＜0，从而得到答案．
【详解】∵﹣1＜α＜β＜1，∴﹣1＜α＜1，﹣1＜﹣β＜1，α﹣β＜0，∴﹣2＜α﹣β＜0．
故选A．
【点睛】本题考查不等式基本性质，正确利用已知条件和不等式的基本性质是解题得到关键．
6. 已知不等式的解集非空，则的取值范围是（ ）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式有解，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围.
【详解】由在R上有解，又开口向上，
所以，解得或，即或.
故选：B
7. 已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“”是“”的充分不必要条件，转化为AB，利用集合之间的包含关系，即可求出的取值范围.
【详解】解：，解得，即，
若“”是“”的充分不必要条件，则AB，
且等号不同时成立，解得，
所以的取值范围为，
故选：A.
8. 已知，且，则最小值为（ ）
A. B. C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】，根据基本不等式常数代换的解题方法求解即可.
【详解】，且，
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知集合，，若，则的取值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由可得，结合条件列方程求，结合元素互异性检验所得结果.
【详解】因为，
所以，又，，
所以或，
解得或或，
当时，，，满足要求，
当时，，，满足要求，
当时，，与元素互异性矛盾，
故选：BC.
10. 已知关于的不等式的解集为或，则（ ）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】
【分析】由题意可知不等式对应的二次函数的图像的开口方向，−2和4是方程的两根，再结合韦达定理可得b＝−2a，c＝−8a，代入选项B和D，解不等式即可；当x＝1时，有，从而判断选项C．
【详解】由题意可知，A选项正确；
是方程的两根，
则，C选项错误；
不等式即为，解得，B选项正确；
不等式即，即，解得或，D选项正确．
故选：ABD．
11. 已知，且，则下列结论中错误的是（ ）
A. 有最小值4B. xy有最小值1C. 有最大值4D. 有最小值4
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式，逐项判断即可.
【详解】对于A:，当且仅当时取等号，所以A正确；
对于B：因为，所以，当且仅当时取等号，即xy有最大值1，所以B错误；
对于C：因为，当且仅当时取等号，即有最小值4，所以C错误；
对于D：因为，当且仅当时取等号，即有最大值2，所以D错误.
故选：BCD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合，，若且，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据集合的描述确定满足其性质的元素，即可得集合.
【详解】由，，若且，则，所以.
故答案为：
13. 若关于x的不等式的解集是，则______．
【答案】0
【解析】
【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可.
【详解】由题意得，是方程的两个根，且，
所以，解得，所以.
故答案为：0
14. 若对任意恒成立，则实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】因为，所以根据基本不等式及不等式的性质可得实数a的取值范围.
【详解】因，所以，当且仅当即时取等号.
所以，当且仅当时取等号
所以，当且仅当时，取得最大值.
因为恒成立，所以，所以.
所以实数的取值范围是.
故答案是：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知关于的不等式的解集为.
（1）求实数，的值；
（2）求关于的不等式的解集.
【答案】（1），
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次方程与不等式的关系，结合韦达定理即可求解；
（2）根据（1）的结果，并不等式转化为，因式分解后，讨论的取值，解不等式.
【小问1详解】
由题意可知，的根是1和2，
所以，解得：，；
【小问2详解】
由（1）知，，，
所以不等式为，即，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
16. 求下列函数的最值
（1）求函数的最小值.
（2）若正数满足，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）5.
【解析】
【分析】（1）利用换元法结合基本不等式即可求解；
（2）利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小问1详解】
因为，即，
所以，当且仅当即时等号成立，
故函数的最小值为.
【小问2详解】
由得，
则，
当且仅当，结合，解得时等号成立，
故的最小值为5.
17. 已知.
（1）若是的必要条件，求实数的取值范围；
（2）若是的充分条件，求实数取值范围；
（3）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】根据条件，列出不等式组，可求的取值范围.
【小问1详解】
因为是的必要条件，所以.
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
因为是的充分条件，所以.
所以实数的取值范围为.
【小问3详解】
因为是的充分不必要条件，
所以命题所表示的集合是命题所表示的集合的真子集.
由（2）可知，当时，集合.
又因为与不能同时成立（前者解得，后者解得），
所以两个集合不可能相等. 故是的充分不必要条件的充要条件与是的充分条件等价，
所以实数的取值范围为.
18. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答．
已知集合，是否存在实数a，使得_____________？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】选①：或；选②：不存在，理由见解析；选③：.
【解析】
【分析】选①：根据集合补集的定义，结合子集的性质进行求解即可；
选②：根据集合补集的定义，结合并集的性质进行求解即可；
选③：根据集合交集性质进行求解即可.
【详解】选①：因为，所以或，
当时，即当时，，符合；
当时，即当时，要想，
只需，或，解得，或，而，
所以，
综上所述：实数a的取值范围为，或；
选②：因为，所以，
因为，
所以有，故不存在实数a，使成立；
选③：若，所以
当时，即当时，，符合，
当时，即当时， 因为，
所以，而，所以，
综上所述：实数a的取值范围为.
19. 南京某学校设计如图所示的环状田径场，该田径场的内圈由两条平行线段（图中的，）和两个半圆构成，设为，且.
（1）若图中矩形的面积为，则当取何值时，内圈周长最小？
（2）若内圈的周长为，则当取何值时，矩形的面积最大？
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先求得内圈周长的表达式，结合基本不等式求得内圈的周长取得最小值时的值.
（2）先求得矩形的面积的表达式，结合二次函数的性质求得矩形的面积取得最大值时的值.
【详解】（1），
则，
则内圈周长为米，
当且仅当，
即时，取到最小值360米.
（2）内圈周长为400米，
则，
则
，
故当时，取最大值平方米.