2025-2026学年江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校九年级（上）10月月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省苏州市苏州工业园区星汇学校九年级（上）10月月考数学试卷-自定义类型，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列四个函数中，一定是二次函数的是（）
A. y=+xB. y=ax2+bx+cC. y=x2-(x+7)2D. y=(x+1)(2x-1)
2.已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么等于（ ）
A. B. 3C. D. 3或
3.如图所示，在同一坐标系中，作出①；②；③的图像，则图像从里到外的三条抛物线对应的函数为（ ）
A. ①②③B. ①③②C. ②③①D. ③②①
4.在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致是（）
A. B. C. D.
5.如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线上移动，若点C、D、E的坐标分别为、、，点A的横坐标的最大值为2，则点B的横坐标的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
6.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2，则此抛物线顶点O到连桥AB距离为（ ）
A. 180m B. 200m
C. 220m D. 240m
7.如图，一次函数的图像与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若，那么，这个二次函数的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为2；其中正确的结论有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若函数y=(m-1)x|m|+1是二次函数，则m的值为 .
10.抛物线顶点在轴上，则的值为 ．
11.已知二次函数的图像与x轴交于点，则关于x的一元二次方程的解为 ．
12.已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)过 A(－2，0)，O(0，0)，B(－3，y1)，C(3，y2)四点，则 y1与 y2的大小关系是 .
13.某商场购进一批单价为10元的学具，若按每件15元出售，则每天可销售50件，经调查发现，这种学具的销售单价每提高1元，其销售量相应减少5件，设销售单价为元，每天的销售利润为元，则与的函数关系式为 ．
14.如图，点A在y轴正半轴上，点B、C在二次函数的图像上，四边形是菱形，，则菱形的面积为 ．
15.如图1为喷灌系统，工作时，其侧面示意图如图2所示．升降杆垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为米．将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，此时喷射的水柱落地点与O的距离为 米．
16.如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知某个函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
(1) 根据上面表格的数据，在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；
(2) 请根据已学知识判断此图象是什么函数的图象，并求出这个函数的解析式；
18.(本小题8分)
如图，二次函数的图像过，且顶点为，解答完成下列问题：
(1) 当时，y随x增大而 （填“增大”或“减小”）；
(2) 当时，y的取值范围是________；
(3) 方程的两个根是________．
19.(本小题8分)
已知二次函数，．
(1) 求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2) 若，且两交点间的距离为2，求m的值．
20.(本小题8分)
如图所示，已知二次函数的图象经过点和点．
(1) 求该二次函数的表达式：
(2) 写出该函数的对称轴以及顶点坐标；
(3) 点与点均在该函数的图象上，（其中）且这两点关于抛物线的对称轴对称，求的值以及点到轴的距离．
21.(本小题8分)
已知二次函数的图象的顶点在一次函数的图象上．
(1) 求顶点的坐标．
(2) 除点外，这两个函数的图象是否还存在其他公共点？若存在，请求出它的坐标；若不存在，请说明理由．
22.(本小题8分)
道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点，点）以及点，点落在同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分与第2根栏杆未涂色部分长度相等，则求的长度．
23.(本小题8分)
企鹅塔祖尼是第9届女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．
(1) 当每件售价为10元时，每天的销售量是 件；
(2) 若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，求每件玩偶的售价为多少元？
(3) 设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
24.(本小题8分)
一次足球训练中，小强从球门正前方的点处起脚射门，足球射向球门的运行路线是一条抛物线．当足球飞行的水平距离为时，足球达到最高点，此时足球离地面．已知球门高为，现以小强起脚处点为原点建立如图所示平面直角坐标系．
(1) 求抛物线的函数表达式并说明此次射门在不受干扰的情况下能否进球；
(2) 若防守队员小明正在抛物线对称轴的右侧加强防守，小明跳起后头部达到的最大高度为，小明想要头球防守住此次射门，则小明需要站在球门前，至多离球门多远的地方才可能头球防守住这次射门？
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于、两点，交y轴于点C，连接．
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 点P为线段上方的抛物线上一动点，过P作，当最大时，求出此时P点的坐标以及的最大值．
26.(本小题8分)
【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
【数学理解】
(1) ①已知点，则 ．②函数的图象如图①所示，B是图象上一点，，则点B的坐标是 ．
(2) 函数的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使．
(3) 函数的图象如图③所示，D是图象上一点，求的最小值及对应的点D的坐标．
27.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，对称轴为直线．
(1) 求的值；
(2) 已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．
（ⅰ）当时，求与的面积之和；
（ⅱ）在抛物线对称轴右侧，是否存在点，使得以为顶点的四边形的面积为？若存在，请求出点的横坐标的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】-1
10.【答案】-1
11.【答案】，
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
/​​​​​​​
17.【答案】【小题1】
解：描点连线绘制函数图象如下：
【小题2】
解：根据（1）中图像可知此函数为二次函数，
由题意可知二次函数的顶点，
设二次函数的解析式为：，
将代入得：，
解得：，
（或）．

18.【答案】【小题1】
解：∵二次函数顶点为，
∴设，
∵图像过，
∴，
即，
∴，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，y随x增大而减小；
故答案为：减小；
【小题2】
解：∵抛物线对称轴为直线，与x轴一个交点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵抛物线开口向上，函数取得最小值，
∴当时，y的取值范围是；
故答案为：；
【小题3】
解：对于，当时，，
即抛物线与y轴的交点坐标为；
由抛物线对称性知，关于对称轴的对称点坐标为；
对于方程的解，就是二次函数与直线的交点横坐标，
而二次函数与直线的交点为与，
∴方程的解为，；
故答案为：，．

19.【答案】【小题1】
解：证明：由可得一元二次方程，
∴该二次方程的
∵
∴
∴方程总有两个不相等的实数根，二次函数图象与x轴总有两个公共点；
【小题2】
解：由题意知，
∴，
解得或（舍去）
∴的值为1．

20.【答案】【小题1】
解：由图可知，点在函数图象上，
∴，解得：，
∴；
【小题2】
∵，
∴对称轴为直线，顶点坐标为；
【小题3】
将点代入，得：，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴，
∵关于对称轴对称，
∴点到轴的距离为6．

21.【答案】【小题1】
解：，
抛物线的顶点的坐标为，
把代入得，
解得，
顶点的坐标为；
【小题2】
存在．二次函数的解析式为，
解方程组得或，
抛物线与一次函数图象除公共点，还有一个公共点．

22.【答案】解：设为坐标原点，所在的直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图：
∵中间被4根栏杆五等分，，
∴，，
设抛物线解析式为：，
将代入得：，
设，
则，
将点和点坐标分别代入拋物线解析式得：，
解得．
米．

23.【答案】【小题1】
100
【小题2】
根据题意得，，
解得，（舍去）；
答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元．
【小题3】
根据题意得，，
∵，且为整数，当时，随的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为525，
答：每件玩偶的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．

24.【答案】【小题1】
解：由题意得，抛物线的顶点为，
∴设抛物线为．
∵抛物线过，
∴，
解得：，
∴抛物线表达式为，
当时，，
∵，
∴此次射门在不受干扰的情况下能进球．
【小题2】
∵抛物线解析式为，
∴当时，，
解得：或，
∵小明需要站在抛物线对称轴右侧防守，
∴，
，
答：小明需要站在球门前，至多离球门的地方才可能头球防守住这次射门．

25.【答案】【小题1】
解：∵抛物线交x轴于、两点，
∴，
解得：，
∴该抛物线的解析式为；
【小题2】
过点P作轴，交于点E，如图，

∵抛物线交y轴于点C，
∴，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标为．

26.【答案】【小题1】
3
​​​​​​​
【小题2】
假设函数的图象上存在点使，
根据题意，得，
，
，，
，
，
，
△，
方程没有实数根，
该函数的图象上不存在点，使．
【小题3】
设，
根据题意得，，
，
又，
，，
当时，有最小值3，此时点的坐标是．

27.【答案】【小题1】
解：依题意，，
解得：，
∴；
【小题2】
（ⅰ）设直线的解析式为，
∵，
∴
解得：，
∴直线，
如图所示，依题意，，，，

∴，
，
∴当时，与的面积之和为，
（ⅱ）当点在对称右侧时，则，
∴，
当时，，
∴，
∴，
解得：，

当时，，
∴，
∴，
解得：（舍去）或（舍去）

综上所述，．
…
0
1
…
…
0
0
…