2025-2026学年江苏省南京金陵汇文学校八年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京金陵汇文学校八年级（上）第一次月考数学试卷-自定义类型，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列长度的线段中，能与和的线段围成三角形的是（ ）
A. B. C. D.
2.下列说法中正确的是（）
A. 的平方根是B. 的平方根是C. D.
3.如图，已知，点、分别在、上，与相交于点，下列条件中不能得到的是（ ）
A. B. C. D.
4.等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A. B. C. 或D. 不能确定
5.根据下列条件分别画，其中能画而且只能画出唯一的是（ ）
A. B. ，
C. D.
6.如图，在中，，平分，为线段上一动点，为边上一动点，当的值最小时，的度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7. ．
8.如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ．
9.如图，在△ABC中，AC＝5 cm，AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是8 cm，则线段BC的长为_____ __ cm.
10.已知，则 ．
11.比较大小：_ ___3（填“>”、“”或“=”）．
12.将两个大小不同的三角板按如图所示的方式摆放，，，，点、、依次在同一条直线上，连接．若，，则的面积为 ．
13.如图，平分是边上一点，以点为圆心画弧，交于点，再分别以点为圆心，相同长度为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点．若，则 ．
14.已知中，和的平分线交于，则到的距离是 ．
15.已知，在中，，是边上的高，若，则 ．
16.如图，边长为4的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE将线段CE绕点C顺时针旋转60°得到CF，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.求下列各式中的值．
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在中，，于点，于点，且．求证：．
19.(本小题8分)
已知2a–1的平方根是±，3a+b–1的算术平方根是6，求a+4b的算术平方根．
20.(本小题8分)
如图，在中，，，E为的延长线上一点，过点E作，分别交，于点P，F．
(1) 求证：是等腰三角形．
(2) 若，求的度数．
21.(本小题8分)
如图，已知在中，的角平分线与的垂直平分线交于点，垂足分别为．
(1) 求证：；
(2) 若，，则的周长为 ．
22.(本小题8分)
已知中，，．试用直尺和圆规在延长线上找一点，使得是等腰三角形．请找出所有的点，并且分别标出顶角和底角的度数．（如有需要可以自己画备用图）
23.(本小题8分)
如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，、分别是线段、的中点．
(1) 求证：；
(2) 若，则 ．
24.(本小题8分)
善于思考的小汇发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．于是小汇进行了以下探索：
设（其中均为整数），
则有
由均为整数，可得．故．
这样小汇就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．同样热爱数学的小文仿照小汇的方法继续探索了下列问题：
(1) 当均为正整数时，若，请你用含的式子分别表示： ， ；
(2) 利用小汇和小文探索的方法，求满足的正整数的值；
(3) 若，且均为正整数，求的值．
25.(本小题8分)
(1) 如图①，已知、、分别是等边三角形的边、、上的点，且．求证：是等边三角形；
(2) 如图②，已知，是内部一点，请在、上各找一个点和，使得是等边三角形．（尺规作图，保留作图痕迹，如有必要可文字说明）
26.(本小题8分)
【阅读理解】
中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题．
(1) 如图1，是的中线，且，延长至点，使，连接．根据所作辅助线可以证得，其中判定全等的依据为： ；
(2) 【方法运用】如图2已知是的中线，是上一点，连接交于．若．求证：；
(3) 【问题拓展】
如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，若面积为16，求点到的距离．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】2
8.【答案】8
9.【答案】3
10.【答案】
11.【答案】<
12.【答案】6
13.【答案】2
14.【答案】2
15.【答案】或
16.【答案】1
17.【答案】【小题1】
解：由得
∴；
【小题2】
解：由得
即或
∴或．

18.【答案】证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．

19.【答案】由题意得，2a﹣1=17，3a+b﹣1=62，
解得a=9，b=10，
所以，a+4b=9+4×10=9+40=49，∵72=49，
∴a+4b的算术平方根是7．

20.【答案】【小题1】
证明：如图：
∵，
∴
∵
∴，
∴
∴
∴是等腰三角形；
【小题2】
解：如上图：∵，
∴
∴
∵
∴，
由（1）可知，
∴．

21.【答案】【小题1】
证明：连接、，
∵D在的垂直平分线上，
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
21

22.【答案】解：第1个点：以B为圆心，以长为半径画弧，交延长线于，如图，
则，此时是等腰三角形，
顶角，底角；
第2个点：以A为圆心，以长为半径画弧，交延长线于，如图，
则，此时是等腰三角形，
底角；顶角；
第3个点：作线段的垂直平分线，交延长线于点，如图，
则，此时是等腰三角形，
底角，顶角；
故符合条件的点P有3个．

23.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
∵分别是边上的高，
∴，
∵是的中点，
∴，，
∴，
又∵为中点，
∴；
【小题2】
​​​​​​​

24.【答案】【小题1】
​​​​​​​
​​​​​​​
【小题2】
解：∵，
∴，，
∴，；
【小题3】
解：∵，
∴，，
∵均为正整数，
∴，或，，
当，时，；
当，时，；
∴的值为或．

25.【答案】【小题1】
证明：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形；
【小题2】
解：如图所示，即为所求．

26.【答案】【小题1】
​​​​​​​
【小题2】
如图，延长至H，使得，连接，如图所示：
∵是的中线，
∴，
∵，
，
∴
∴，
∴．
【小题3】
延长至，使得，连接，
∵是的中点
∴
∵，
∴
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴为等边三角形，
∴．
∴，
∴，
设点到的距离为
∵面积为16，
∴
则
∴，
即点到的距离为．