初中数学点、线、面、体课后测评

这是一份初中数学点、线、面、体课后测评，文件包含专题03线段中的双中点模型几何模型讲义数学人教版2024七年级上册原卷版docx、专题03线段中的双中点模型几何模型讲义数学人教版2024七年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
如果掌握了这个模型的结论，那就可以快速选取正确的线段和差，迅速解题，如果是填空选择，则可以直接口算出答案。总之，基本模型的掌握既可以快速得出小题的答案，又可以为大题的解决确立方向。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc201321763" 1
\l "_Tc201321764" 模型来源1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321768" 模型运用 PAGEREF _Tc201321768 \h 4
\l "_Tc15274" 模型1.线段的双中点模型4
\l "_Tc14298" 模型2.线段的多中点模型6
\l "_Tc201321773" 11
双中点模型源于对中点性质的逆向应用。线段的双中点模型是解决共线线段中点距离问题的几何工具，其核心结论为‌两个中点之间的距离等于共端点的两线段和或差的一半‌。
‌通用公式‌：在线段AC上任取一点B（点B可以在线段上、延长线或反向延长线），分别取AB、BC的中点为M和N，则。‌
‌应用技巧‌：在选择题或填空题中，直接利用中点模型可简化计算。该模型还可推广至‌多中点场景‌，如通过多个中点将复杂线段转化为简单比例关系。‌
（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（ ）
A． B． C． 或D． 或
【答案】A
【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示：
∵，，∴（），
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，∴（）．
②当点C在线段的延长线上时，如图所示：
∵，，∴（），
∵M是的中点，N是的中点，
∴，，∴（）．
综上所述，线段的长度是8．故选：A．
（24-25七年级上·河南·期末）已知：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，； 第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，，连续这样操作4 次，则 ．
【答案】1
【详解】解：根据题意可得，∵，∴，
∵线段 和 的中点 ，∴，
同理：，∴，……
依次类推， ，∴，故答案为：4．
1）线段的双中点模型 条件：点M、N分别为线段AB、BC的中点，结论：.
证明：①当点B在线段AC上，如图1，
图1
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM+BN，∴；
②当点B在线段AC的延长线上，如图2，
图2
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BM-BN，∴；
③当点B在线段CA的延长线上
图3
∵M、N分别为AB、BC的中点，∴（中点定义）；（中点定义）；
∵MN=BN-BM，∴；
2）线段的多中点模型 条件：如图，点M在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点、﹔第2次操作：分别取线段和的中点，﹔第3次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作n次，结论：．
证明：∵、是和的中点，∴，，
∴，∵、是和的中点，
∴，，∴，
∵，是和的中点，∴，，
∴，……发现规律：，
模型1.线段的双中点模型
例1（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，点C是线段上一点，点M是线段的中点，点N是线段的中点。(1)如果，求的长(2)如果，求的长
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵点M是线段的中点，∴
∵；∴；∵；∴
∵点N是线段的中点；∴
（2）∵点M是线段的中点，点N是线段的中点，∴
∵，∴
例2（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，线段，动点P从A出发，以的速度向点B运动，M为的中点，N为的中点．以下说法正确的是（ ）
①运动后，；②在点P运动过程中，值随着点P位置的变化而变化；
③当时，运动时间为．
A．①②B．②③C．①②③D．①③
【答案】D
【详解】解：运动后，，
∵为的中点，为的中点，∴，
∴，故①正确；设运动秒，则，
∵为的中点，为的中点，，
∴，，
∴的值不变，故②错误；，
，解得：，故③正确；故选：D．
例3（24-25七年级上·陕西渭南·期末）如图，数轴上的点A，B分别表示数，5，C，D分别是线段的中点，则点D表示的数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵数轴上的点A、B分别表示数、5，∴，
∵C、D分别是线段的中点，∴，，
∴点D表示的数是，故选：D．
例4（24-25七年级上·重庆秀山·期末）如图，点在线段上，，是的中点，是的中点，，则的长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴设，，，
∵是的中点，是的中点，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：．
例5（24-25七年级上·山东青岛·期末）如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ．
【答案】
【详解】解：∵∴设，，，
∵M是的中点，N是的中点，∴，，
∵的中点M与的中点N的距离是∴，
∴，∴．故答案为：．
例6（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线上有、、三点，其中，，、分别是、的中点，则线段的长为 ．
【答案】8或2
【详解】解：当点C在线段的延长线上时，如图：，且M、N分别是的中点，
，，
当点C在线段之间时，如图：，且M、N分别是的中点，
，
综上所述，的长是8或2，故答案为：8或2．
模型2.线段的多中点模型
例1（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）已知线段上有一点，其中，，若是的中点，是的三等分点（靠近点），求的长．
【答案】
【详解】解：如图：∵，，是的中点，是的三等分点（靠近点），
∴，∴，，
∴．即的长为．
例2（24-25七年级上·浙江·期末）如图，点C是线段的中点，点N是线段的三等分点．若线段的长为12，则线段的长度是 ．
【答案】8或10
【详解】解：，点是中点，，
分两种情况讨论：①点的位置如图所示：
点是线段的三等分点，，；
②点位置如图所示：点是线段的三等分点，，；
综上可知：的长度为8或10，故答案为：8或10．
例3（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，已知，点在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点，；第二次操作：分别取线段和的中点，；第三次操作：分别取线段和的中点，；…连续这样操作次，则 ．
【答案】
【详解】解：∵线段，线段和的中点，，
∴，
∵线段和的中点，；∴
发现规律：，∴．故答案为：．
例4（24-25七年级上·贵州·期末）如图，数轴上的点为原点，点表示的数为，动点从点出发，按以下规律跳动：第1次从点跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处，…，第次从点跳动到的中点处，按照这样的规律继续跳动到点，，，…，处，那么点所表示的数为 ．
【答案】
【详解】解：由题可知：，此第一次跳动到的中点处时，，
同理，第二次从点跳动到处，，
同理，第三次从点跳动到处， 同理，跳动次后，，
故线段的长度为：，当时，，
∵点在负半轴，∴点表示的数是，故答案为：．
例5（24-25七年级上·广东·期中）学习了线段的中点之后，小明利用数学软件做了n次取线段中点实验：如图，设线段，第1次，取的中点；第2次，取的中点；第3次，取的中点，第4次，取的中点；…
(1)请完成下列表格数据．
(2)小明对线段的表达式进行了如下化简：
因为，所以，
两式相加，得，所以． 请你参考小明的化简方法，化简的表达式．
(3)类比猜想：_____，=_____，随着取中点次数n的不断增大，的长最终接近的值是____．
【答案】(1)①；② (2)(3)
【详解】（1）解：，；
故答案为：，；
（2）因为，所以．
两式相加，得．所以；
（3），随着取中点次数的不断增大的长最终接近的值是．
故答案为：．
例6（24-25·辽宁·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道问题产生了探究的兴趣：
如图1，点C在线段AB上，M，N分别是AC，BC的中点．若AB＝12，AC＝8，求MN的长．
(1)根据题意，小明求得MN＝___________；(2)小明在求解（1）的过程中，发现MN的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设AB＝a，C是线段AB上任意一点（不与点A，B重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，M，N分别是AC，BC的中点，则MN＝______________；
②如图2，M，N分别是AC，BC的三等分点，即，，求MN的长；
③若M，N分别是AC，BC的n等分点，即，，则MN＝___________；
【答案】(1)6(2)①；②；③
【详解】（1）解：∵AB=12，AC=8，∴BC=AB-AC=4，
∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC=4，CN=BC=2，∴MN=CM+CN=6；故答案为：6；
（2）解：①∵M，N分别是AC，BC的中点，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=AC+BC=AB，
∵AB=a，∴MN=a；故答案为：a；
②∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，∵AB=a，∴MN=a；
③∵AM=AC，BN=BC，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB，
∵AB=a，∴MN=a，故答案为：a．
1．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，点在线段上，且，分别是，的中点．则下列结论：①；②是的中点；③；④；⑤若，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【详解】解：①、由，得：，故正确；
②、由E是的中点，，得，则是的中点，故正确；
③、由D，E分别是的中点，得：，故正确；
④、由上述结论，得：，故正确；
⑤、由，，得到，又，则，，，，
，，，
图中所有线段之和为，故正确，综上所述，正确的结论共有5个，故选：D
2．（24-25山东枣庄·七年级统考期末）若线段，在线段的延长线上取一点，使是的中点；在线段的延长线上取一点，使是的中点，在线段的延长线上取一点，使是的中点…，按这样操作下去，线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意可知：如图
写出线段的长，，是的中点得，
，是的中点得，
，是的中点得，……根据线段的长，找出规律，
∵，，，，，……，
∴线段（为正整数）∴线段 故选：A.
3．（24-25湖北武汉·七年级校考期末）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．
【答案】15或29
【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，，
①若，如图1所示：
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵M是线段的中点，∴，∴，
②若，如图：∴，∴，
∵，∴，∴，
∵M是线段的中点，∴，∴；故答案为：15或29．
4．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图所示，已知是线段上的一个点，是的中点，为中点，且满足，求 ．
【答案】
【详解】∵，∴，∴，
∵，∴，∵M为的中点，∴，∴，∴，
∵N为的中点，∴,∴，
∴，故答案为：．
5．（24-25七年级上·山西运城·期末）如图，、两点把线段分成了三部分，且，为的中点，若，则长为 ．
【答案】
【详解】解：∵，，
∴，，，
∵为的中点，∴，∴，故答案为：．
6．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，在线段上有一点，，则的长为 ．
【答案】或
【详解】解：∵点C是线段的中点，且，∴；
∵点D是线段的中点，∴，
当点E在点C左侧时，，∴；
当点E在点C右侧时，，∴，
综上，的长为或，故答案为：或．
7．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是
【答案】2或14
【详解】∵E是的中点，且，∴．
分析折中点D的位置（分两种情况）：
折线的总长度为，折中点D需满足“从A到D的折线长等于总长度的一半”．
情况1：D在上，此时为从A到D的折线长，且．

由折中点定义：，即，解得．
情况2：D在上，此时从A到D的折线长为．
由折中点定义：，即，解得．故答案为：2或14．
8．（24-25七年级上·山东·期末）已知：如图，点在线段的延长线上，且线段，第1次操作：分别取线段和的中点，，第2次操作：分别取线段和的中点，，第3次操作：分别取线段和的中点，，…，连续这样操作5次，则 ．

【答案】4
【详解】解：根据题意可得，∵，∴，
∴，∴，
∴，……依次类推， ，∴，故答案为：4．
9．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ．
【答案】40或80
【详解】解：∵，，N是线段的中点，∴，，
①若，如图1所示：
∵，∴，∵，∴∴，
∵M是线段的中点，N是线段的中点，
∴，，∴；
②若，如图：∴，
∵，∴，∴，
∵M是线段的中点，N是线段的中点，∴，，
∴；故答案为：40或80．
10．（24-25七年级上·河南郑州·期末）若线段上的一个点把这条线段分成两部分，则称这个点是这条线段的三等分点．如图，两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动．在，出发的同时，点也从出发，以某一速度沿相同方向运动；在运动过程中，当点为的三等分点时，点恰好为中点，此时的长为 ．
【答案】或
【详解】解：、两点分别从、同时出发，以相同的速度沿射线运动，，
①当点靠近点的的三等分点，如图所示：
，
为中点，，
，，，
②当点靠近点的的三等分点，如图所示：
为中点，，
，，，
综上，的长为或，故答案为：或．
11．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，点B、C在线段上，且．
(1)如图（Ⅰ）若点M为的中点，且．则 ， ．
(2)如图（Ⅱ）若点M、N分别为的中点，且，求（用m、n表示）．
【答案】(1)4，4(2)
【详解】（1）解：∵
∴
∴，∴，
∵点M为的中点，∴，
∴．故答案为：4，4；
（2）解：∵，∴，
∴，
∵点M、N分别为的中点，∴，
∵，∴．
12．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，点C是线段上的一点，M是的中点，N是的中点．
(1)若，，求的长度；(2)若，，则的长度为 ．
【答案】(1)4(2)
【详解】（1）解：∵是的中点，是的中点，，，
∴，，
∴．
（2）解：∵是的中点，是的中点，，，
∴，，
∴．
故答案为：．
13．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，点在线段上，且，是的中点．若，补全下面求的长的解答过程：
解：因为，，所以__________，
所以____________________．
因为是的中点，所以__________，
所以__________．
【答案】；；；；
【详解】解：因为，，所以，所以．
因为是的中点，所以．所以．
故答案为：；；；；．
14．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，已知线段，M是的中点，P是线段上一点，N为的中点，，求线段的长度．
【答案】
【详解】解：∵是的中点，，∴，
∵N为的中点，，∴，∴．
15．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知B，C在线段上．
(1)如图1，图中共有______条线段；
(2)若．①比较线段的长短：_____（填“”“”或“”）
②如图2，若是的中点，是的中点，则线段的长度为______．
【答案】(1)6(2)①；②12
【详解】（1）解：以为端点的线段有、、共3条；
以为端点的线段有、共2条；以为端点的线段为，有1条，
故共有线段的条数为：，故答案为：6；
（2）解：①若，则，即．故答案为：；
②解：，分别为，中点，，
，，，
．
16．（24-25七年级上·上海·期末）如图，已知点B、C在线段上．
(1)图中共有 条线段；(2)若，，M是的中点，N是的中点．
①求的长度；②航冰同学分析探究后说，当线段在射线上运动时，线段的长度不变．你同意他的说法吗？并说明理由．
【答案】(1)6；(2)①17；②同意，见解析．
【详解】（1）解：根据题意，图中共有条线段，故答案为：6．
（2）解：① ∵M是的中点，N是的中点，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴．
②当在线段上运动时，根据①得；
当点在线段上运动，点C在的延长线上时，
∵M是的中点，N是的中点，
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，∴．
当都在的延长线上时，∵M是的中点，N是的中点，
∴，∴,
∵，∴,
∵，∴，
∵，，∴．综上所述，线段的长度不变．故同意．
17．（24-25·河南新乡·七年级统考期末）小明在学习了比较线段的长短时对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图1，点在线段上，，分别是，的中点．若，，求的长．
(1)根据题意，小明求得______．(2)小明在求解（1）的过程中，发现的长度具有一个特殊性质，于是他先将题中的条件一般化，并开始深入探究．
设，是线段上任意一点（不与点，重合），小明提出了如下三个问题，请你帮助小明解答．
①如图1，，分别是，的中点，则______．
②如图2，，分别是，的三等分点，即，，求的长．
③若，分别是，的等分点，即，，则______．
【答案】(1)3(2)①；②；③
【详解】（1）解：，，，
，分别是，的中点，，，
；故答案为：；
（2）解：①，分别是，的中点，
，，，
，；故答案为：；
②，，，，，
，；
③，，，，
，
，，故答案为：．
18．（24-25·辽宁沈阳·七年级校考期末）如图，线段，点是线段的中点，点是线段的中点，点是线段的中点…以此类推，点是线段 的中点．
(1)线段的长为 ；(2)线段的长为 ；(3)求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：由题意，，，则，故答案为：；
（2）解：由，，，…，以次类推，则，故答案为：；
（3）解：
．
次数

线段的长
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
①______
②________
…
…
…