2025-2026学年浙江省上虞中学高二上学期10月月考数学试卷（提前班）（含答案）

这是一份2025-2026学年浙江省上虞中学高二上学期10月月考数学试卷（提前班）（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=3a1，则a6a3=( )
A. -8B. 8C. 1或-8D. -1或8
2.椭圆C：x216+y29=1的左焦点为F，椭圆上的点P1与P2关于坐标原点对称，则|P1F|+|P2F|的值是( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
3.在等比数列an中，a6，a10是方程x2+6x+2=0的两个实数根，则a8的值为( )
A. 2B. - 2或 2C. 2D. - 2
4.已知圆C：x2+y2=2，点A(m,m-3)，则点A到圆C上点的最小距离为( )
A. 1B. 2C. 22D. 3 22
5.已知过抛物线C:y2=4x的焦点F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，Q为AB的中点，P为C上一点，则|PF|+|PQ|的最小值为( )
A. 83B. 53C. 8D. 5
6.在等差数列an中，其前n项和是Sn，若S9>0，S100,b>0)的左、右焦点，点A是C的左顶点，O为坐标原点，以OF2为直径的圆交C的一条渐近线于O、P两点，以OP为直径的圆与x轴交于O,M两点，且PO平分∠APM，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 2C. 3D. 3
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题正确的有( )
A. 若直线ax-2y+4=0在x轴上的截距为-2，则实数a=2
B. 若直线y-2=k(x+1)不经过第四象限，则k≥1
C. 直线mx+y-1=0(m∈R)与圆x2+y2=4相离
D. 直线x-2y+1=0关于点(2,-1)对称的直线方程为x-2y-9=0
10.过抛物线x2=8y的焦点F的直线交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线交于点P.则下列说法正确的是( )
A. 若|AB|=16，则直线AB的倾斜角为π4 B. 点P在直线y=-2上
C. AP⊥BP D. |AB|+1|PF|的最小值为 2
11.数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入的，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是( )
A. S5=F7-1B. S5=S6-1C. S2019=F2021-1D. S2019=F2020-1
12.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点为F1，F2，左右顶点为A1，A2，过F2的直线l交双曲线C的右支于P，Q两点，设∠PA1A2=α，∠PA2A1=β，当直线l绕着F2转动时，下列量保持不变的是( )
A. ▵PQA1的周长B. ▵PF1Q的周长与2PQ之差
C. tanαtanβD. tanα⋅tanβ
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若椭圆x2a2+y2b2=1的焦点在x轴上，过点1,13作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 ．
14.设圆C位于抛物线y2=3x与直线x=3所组成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为 ．
15.已知数列an的首项a1=2，且满足an+1-an-3an+1-2an=0对任意n∈N*都成立，则能使am=2023成立的正整数m的最小值为 ．
16.已知点A是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P(点P在第一象限).以原点O为圆心，|OP|为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q.若|PA|≥|PQ|，则a2b2的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知等差数列an中，a2+a10=22,a8=15，等比数列bn中，b1=a2,b4=a40+2．
(1)求数列bn的通项公式；
(2)记cn=an,n为奇数bn,n为偶数，求数列cn的前n项的和Sn．
18.(本小题13分)
设Sn为数列an的前n项和，且S2=8,2Sn=(n+1)an+n-1．
(1)求an；
(2)若不等式λ⋅2n-Sn>0恒成立，求实数λ的取值范围．
19.(本小题13分)
如图，已知圆G：x2+y2-2x- 2y=0经过椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F及上顶点B，过圆外一点(m,0)(m>a)倾斜角为5π6的直线l交椭圆于C，D两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的外部，求m的取值范围．
20.(本小题14分)
已知动直线l与椭圆C:x23+y22=1交于Px1,y1，Qx2,y2两个不同点，且ΔOPQ的面积SΔOPQ= 62，其中O为坐标原点．
(1)证明x12+x22和y12+y22均为定值;
(2)设线段PQ的中点为M，求|OM|⋅|PQ|的最大值；
(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得S▵ODE=S▵ODG=S▵OEG= 62？若存在，判断▵DEG的形状；若不存在，请说明理由．
21.(本小题14分)
已知向量OP=rcsθ,rsinθ绕着原点O沿逆时针方向旋转α角可得到向量OP'=rcs(θ+α),rsin(θ+α)．
(1)求点T 2,0绕着原点O沿逆时针方向旋转π4得到的点T'的坐标；
(2)已知曲线C的方程为5x2+5y2-2xy=24，点Q是曲线C上任意一点．
(i)是否存在定点M,N，使得|QM|+|QN|为定值？若存在，求出这个定值及两定点坐标；若不存在，请说明理由；
(ii)设直线l过定点M与曲线C交于点A,B，直线m过定点N与曲线C交于点C，D，且l⊥m，求A,B,C,D四点构成的四边形面积的最小值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.C
5.A
6.C
7.B
8.B
9.AD
10.BC
11.AC
12.BD
13.x210+y29=1
14.32
15.15
16.2
17.【详解】(1)设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，
由a2+a10=22,a8=15，
得a1+d+a1+9d=22a1+7d=15 ⇒a1=1d=2，所以an=2n-1，
从而b1=a2=3,b4=a40+2=81，
所以b4=b1q3⇒81=3q3⇒q=3，所以bn=3n．
(2)cn=an,n为奇数bn,n为偶数，故cn=2n-1,n为奇数3n,n为偶数,
当n为偶数时，Sn=a1+b2+a3+b4+⋯+an-1+bn
=a1+a3⋯+an-1+b2+b4+⋯+bn
=a1+an-1n22+321-32×n21-32=(1+2n-3)n22+932×n2-18=(n-1)n2+93n-18，
当n为奇数时，Sn=Sn+1-bn+1=(n+1)n2+93n+1-18-3n+1=(n+1)n2+3n+1-98，
综上可得Sn=(n+1)n2+3n+1-98,n为奇数,(n-1)n2+93n-18,n为偶数,

18.【详解】(1)∵2S2=3a2+1，S2=8，得a2=5∴a1=3．
2Sn=(n+1)an+n-1，则2Sn+1=(n+2)an+1+n，
两式相减得2an+1=(n+2)an+1-(n+1)an+1，
即nan+1-(n+1)an+1=0 ①
∴(n+1)an+2-(n+2)an+1+1=0 ②
②-①得(n+1)an+2-(2n+2)an+1+(n+1)an=0，
即an+2-2an+1+an=0，故数列an为等差数列．
因此公差为d=a2-a1=2，则an=3+(n-1)×2=2n+1
(2)由(I)可得an=2n+1∴Sn=n2+2n，
由λ⋅2n-Sn>0得λ>n(n+2)2n对任意正整数n恒成立，∴λ>n(n+2)2nmax，
令bn=n(n+2)2n，
∴bn+1-bn=(n+1)(n+3)2n+1-n(n+2)2n=3-n22n+1，
当n=1时，b2-b1>0，当n≥2时，bn+1-bnb4> ⋯， ∴bnmax=b2=2
∴λ>2．

19.【详解】(1)解：由圆G:x2+y2-2x- 2y=0经过点F,B，
令y=0，可得x2-2x=0，解得x=2或x=0(舍去)；
令x=0，可得y2- 2y=0，解得y= 2或x=0(舍去)，
所以F(2,0),B(0, 2)，则c=2,b= 2，所以a2=b2+c2=6，
所以椭圆的标准方程为x26+y22=1．
(2)解：设直线l的方程为y=- 33(x-m)(m> 6)，
联立方程组x26+y22=1y=- 33(x-m)，整理得2x2-2mx+(m2-6)=0，
设C(x1,y1),D(x2,y2)，则x1+x2=m,x1x2=m2-62，
所以y1y2=[- 33(x1-m)]⋅[- 33(x2-m)]=13x1x2-m3(x1+x2)+m23，
因为FC=(x1-2,y1),FD=(x2-2,y2)，
所以FC⋅FD=(x1-2)(x2-2)+y1y2=43x1x2-m+63⋅(x1+x2)+m23+4=2m(m-3)3，
因为点F在圆E的外部，所以FC⋅FD>0，即2m(m-3)3>0，解得m3，
又由Δ=4m2-8(m2-6)>0，解得-2 3