湖南省长沙市雅礼中学2025-2026学年高二上学期10月质量检测试题数学 Word版含解析含答案

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时量：120 分钟分值：150 分
命题人：陈智审题人：陈朝阳，赵红顺
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 若复数满足，则（）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆的方程为，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
3. 如图，在平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，M 为 A1C1 与 B1D1 的交点．若，，
，则下列向量中与相等的向量是（）
A B.
C D.
4. 已知直线的一个方向向量为，其倾斜角为，则（）
A. B. C. D.
5. 已知的方差为 3，则的方差为（）
A. 6 B. 7 C. 12 D. 18
6. 已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直
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线方程分别为和，则（）
A. B. C. D. 6
7. “ ”是“直线与曲线恰有 1 个公共点”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知正方体的棱长为，空间中的点满足：，其中
，且，则点的轨迹的长度为（）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知圆锥的顶点为，为底面直径，是面积为 1 的直角三角形，则（）
A. 该圆锥的母线长为 B. 该圆锥的体积为
C. 该圆锥的侧面积为 D. 该圆锥的侧面展开图的圆心角为
10. 下列说法正确的是（）
A. 若直线与直线平行，则
B. ，都有原点在圆外
C. 一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线
所在的直线方程为
D. 圆与圆的公切线恰有 2 条
11 已知，则（）
A. B. 最大值为 26
C. 的最小值是 D. 的最大值是
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
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12. 已知是相互独立事件，且，则 _____．
13. 直线：与直线：交于点 Q，m 是实数，O 为坐标原点，则的最
大值是______．
14. 已知椭圆的左右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与交于
、两点，则的周长为_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更
是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从
所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数）分成六
段：得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本成绩的平均数和众数；
（3）用分层抽样的方法在分数落在内的答卷中随机抽取一个容量为 5 的样本，现将该样本看成一
个总体，再从中任取 2 份，求至多有 1 份答卷的分数在内的概率．
16. 已知，，分别是的内角，，的对边，且 .
（1）求；
（2）若，的面积为，求的周长.
17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，
平面，且，．
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（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
18. 已知过定点的直线被圆截得的弦长为．
（1）求直线的方程．
（2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为
曲线．
（i）求曲线方程；
（ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线两条切线，切点分别为、，判断直线
是否过定点?求出该定点，并说明理由；
19. 已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值；
（3）分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，
其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围．