四川省绵阳市绵阳英才学校2025-2026学年七年级册入学分班考试数学试卷（附参考答案）

这是一份四川省绵阳市绵阳英才学校2025-2026学年七年级册入学分班考试数学试卷（附参考答案），文件包含四川省绵阳英才学校2025-2026学年七年级上学期入学分班考试数学试卷含解析docx、四川省绵阳英才学校2025-2026学年七年级上学期入学分班考试数学试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
一、选择题
1. 我国的领土面积约为9596960平方千米，按四舍五入精确到万位，则我国的领土面积约为（ ）
A. 9597万平方千米B. 959万平方千米
C. 960万平方千米D. 96万平方千米
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查近似数和有效数字，解题的关键是精确到哪一位，即对下一位数字进行四舍五入．题目要求精确到万位，则对千位进行四舍五入即可．
【详解】解：万
故选C．
2. 一个不透明袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和2个黄球，现从中随意摸出1个球，摸到黄球的可能性是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有种可能性，其中摸到黄球的可能性有2种，从而可以计算出相应的概率．
【详解】解：一个不透明的袋子中有大小一样的5个红球，3个白球和2个黄球，
从中任意摸出1个球，一共有种可能性，其中摸到黄球的可能性有2种．
从中任意摸出1个球，摸到黄球的概率是．
故选：D．
3. 某工厂男工人比女工人多，男工人人数相当于全厂人数的（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了分数的应用，熟练掌握单位“1”的确定和分数除法的意义是解题的关键．把女工人数看作单位“1”，求出男工人数，再求出全厂人数，最后用男工人数除以全厂人数得到结果．
【详解】解：设女工人数为，则男工人数为，全厂人数为．
男工人数相当于全厂人数的．
故选：D．
4. 若，则式中x最多可表示（ ）个不同的自然数．
A. 11B. 12C. 13D. 无数个
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了不等式的性质、分数的基本性质．根据题意得到，得到，即可得到答案．
【详解】解：由得到
，
∴
解得，
∴x可以是8到19所有自然数：（个
故选：B
5. 一个圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的一半，它的体积是原来体积的（ ）
A. 2倍B. 倍C. 4倍D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的体积公式的灵活应用，圆锥的体积，设原来圆锥的半径为2，高为2，则变化后的圆锥的半径为4，高为1，由此利用公式分别计算出它们的体积即可解答．
【详解】解：设原来圆锥的半径为2，高为2，则变化后的圆锥的半径为4，高为1，
原来圆锥的体积是：，
变化后的圆锥的体积是：，
，
所以底面半径扩大到原来的2倍，高缩小到原来的一半，它的体积扩大2倍．
故选：A．
6. 一辆汽车经过一座长500米的大桥要102秒，通过一个90米的隧道要20秒，则经过一根电线杆要（ ）秒．
A. B. C. 5D. 无法确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，先计算出汽车的速度，从而可求出汽车的车身长度，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：汽车的速度为：（米/秒），
汽车车身长度为：（米），
经过一根电线杆要（秒），
故选：B．
7. 一列数，，，，，，，，，，，，，，，…中的第200个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了数字规律，发现数字规律是解题的关键．
观察数列规律，分母为n的项连续出现n次．计算前n项和，确定第200项所在的分母组即可解答．
【详解】解：数列中分母为n的项有n个，总项数到分母n时为：．
由题意可得，则当时，；当时，．
因此，第191至210项对应分母20，第200项在分母20的组内，值为．
故选D．
8. 下列说法中正确的个数是（ ）个．
①，如果被除数和除数同时扩大100倍，那么商是3，余数是100；
②甲店商品八折优惠，乙店满100返还20元，不管你消费多少元，去哪家都一样实惠；
③圆的周长和半径成正比例；
④某班今年植树节种了100棵树死了1棵，通过补种后都活了，则这个班植树的成活率为100%；
⑤一个三角形的底边增加20%后，要使面积不变，高应减少25%
⑥将除颜色以外完全相同的1只红袜子，3只黄袜子，5只蓝袜子，7只白袜子和9只黑袜子放在一个口袋里，至少拿出6只袜子才能保证有2只不同颜色的袜子．
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了有余数的除法、折扣问题、正比例的判定、成活率的计算、三角形面积公式以及抽屉原理，熟练掌握各知识点是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据相关数学概念和实际情况确定其正误，最后统计正确说法的个数．
【详解】解：①，被除数和除数同时扩大倍，变为，商是，余数是，故原说法正确．
②甲店商品八折优惠，乙店满返还元，当消费金额不是的倍数时，优惠力度不同，故原说法错误．
③圆的周长，（定值），所以圆的周长和半径成正比例，故原说法正确．
④成活率成活的棵数总棵数，故原说法错误．
⑤设原来三角形的底为，高为，面积为．底边增加后，底为，设此时高为，要使面积不变，则，解得，高减少了，故原说法错误．
⑥考虑最不利的情况，先把数量最多的黑袜子只全部拿出，再拿只就一定能保证有只不同颜色的袜子，所以至少拿出只，故原说法错误．
综上，正确的说法有①③，共个．
故选：A．
二、填空题
9. 长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形和扇形中，一定是轴对称图形的有_______种．
【答案】4##四
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；据此解答．
【详解】解：根据轴对称图形的意义可知：在长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆形和扇形中，长方形、正方形、圆形和扇形中沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合，所以长方形、正方形、圆形和扇形是轴对称图形，共4种；三角形、平行四边形不一定是轴对称图形；
故答案为：4．
10. 甲数，乙数（甲、乙、都是大于1的自然数）．若甲、乙两数的最大公因数是30，那么甲、乙两数的最小公倍数是_______．
【答案】420
【解析】
【分析】本题考查了最大公因数和最小公倍数，两个数的公倍数是这两个数公有质因数与独有质因数的连乘积．
根据甲数，乙数，可知两个数的公有质因数是、和，再根据甲乙两数的最大公因数是30 ，可求出，进而两个数的最小公倍数是两个数公有质因数与独有质因数的连乘积，计算即可得解．
【详解】解：由题意得，
解得：，
所以甲乙两数的最小公倍数是．
故答案为：420．
11. 鸡、兔同笼，20个头，56条腿，鸡的只数和兔的只数的最简整数比是_______．
【答案】
【解析】
【分析】假设全是兔，则有（条）腿，比已知56条腿多了条，因为一只兔子比一只鸡多出两条腿，解答即可．
本题考查了比的应用，熟练掌握比的计算是解题关键．
【详解】解：假设全是兔，则有（条）腿，比已知56条腿多了条，
因为一只兔子比一只鸡多出两条腿，
故鸡的只数为：（只），兔的只数为（只），
故鸡的只数和兔的只数的最简整数比是，
故答案为：．
12. 小明期中考试语文、数学和思品的平均成绩是分，外语成绩公布后，他的平均成绩提高了分，小明的外语成绩是______分．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平均数的相关知识点．具体来说，它涉及到平均数的计算公式，即平均数总和个数；通过已知的平均成绩和科目数量，先计算前三门成绩的总分，再计算四门成绩的平均分和总分，最后用四门总分减去前三门总分得到外语成绩．
【详解】解：
（分）
故小明的外语成绩是分．
故答案为：．
13. 在同一幅地图上，量得甲、乙两地的直线距离是，甲、丙两地的直线距离是．如果甲、乙两地的实际距离是，那么甲、丙两地间的实际距离是_______千米．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例尺的应用，熟练掌握比例尺的定义（图上距离与实际距离的比）是解题的关键．先根据甲、乙两地的图上距离和实际距离求出比例尺，再用甲、丙两地的图上距离除以比例尺得到实际距离．
【详解】解：因为，
所以比例尺为．
甲、丙两地间的实际距离为，．
故答案为：．
14. 围着一个周长为米的圆形花坛外围修一条宽1米的小路，这条小路的面积是_______平方米（取）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的面积，圆的周长，圆环的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据周长为米，列式计算得圆形花坛的半径，再求出圆形花坛的面积，因为圆形花坛外围修一条宽1米的小路，所以进行列式计算，得出这条小路的面积，即可作答．
【详解】解：∵周长为米的圆形花坛，
∴圆形花坛的半径为（米），
∴圆形花坛的面积为（平方米），
∵圆形花坛外围修一条宽1米的小路，
∴（平方米），
故答案为：．
15. 一个棱长为12分米的正方体，如果把它切成3个相同的长方体，每个长方体的表面积是_______平方分米．
【答案】480
【解析】
【分析】本题考查了正方体的性质，长方体的性质和表面积计算公式，熟练掌握性质和公式是解题的关键．根据题意，，故切成3个相同的长方体的三条棱长分别为分米，12分米，12分米，根据表面积公式计算即可．
【详解】解：一个棱长为12分米的正方体，把它切成3个相同的长方体，得，
故切成3个相同的长方体的三条棱长分别为分米，12分米，12分米，
故长方体的表面积为：（平方分米），
故答案为：480．
16. 有一本科技书，每两页文字之间有3页插图，也就是说按1页文字、3页插图的顺序循环排列，假如这本书有168页，第1页是文字，这本书有插图_______页．修一条路，原计划10天完成，实际每天修150米，比计划提前2天完成，实际每天比原计划多修_______%．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查周期问题，涉及到对规律的寻找和运用；还考查工程问题中的工作量、工作时间和工作效率的关系，以及百分数的计算，抓住实际问题中各个量之间的关系是解题关键．
找出“1页文字3页插图”这样的周期规律，计算出总页数里包含多少个这样的周期，再根据周期数求出插图的页数；首先根据实际工作时间和工作效率求出工作总量，进而求出计划的工作效率，最后用（实际工作效率计划工作效率）计划工作效率，得到实际每天比计划多修的百分比．
【详解】解：（1）每两页文字之间有3页插图，也就是1页文字3页插图，1页文字3页插图
（页）
（2）（米）
（米）
故答案为：；
17. 某商品每件标价为150元，若按标价打8折后，再降价10元销售，仍获利，则该商品每件的进价为_________元．
【答案】100
【解析】
【分析】本题主要考查的是一元一次方程的基础应用，掌握销售问题的名词，准确列出方程是解题的关键．
设商品每件进价为元，由题意售价为：元，列方程为：，解方程即可．
【详解】解：设商品每件进价为元，
由题意，售价为：元，
，
解得：．
故答案为：100．
18. 如图所示，阴影部分比空白部分的面积大_______平方厘米．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积、圆的面积等知识点，把不规则图形的面积转化成规则图形的面积成为解题的关键．
如图：，易得；，阴影部分比空白部分的面积大，然后根据圆的面积公式、正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图：
；
同理：，
所以阴影部分比空白部分的面积大：
．
故答案为：．
三、计算或解方程
19. 计算或解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】本题主要考查有理数加减、乘除混合运算，以及解一元一次方程，掌握运算顺序，适当地进行简便运算是解题关键．
（1）观察到9.35和6.65相加可以凑整，和相加也可以凑整，所以利用加法交换律、结合律和减法的性质，将能凑整的数结合在一起进行简便计算；
（2）因为18是9、6、3的倍数，所以利用乘法分配律，将18分别与括号内的分数相乘，再进行加减运算，达到简便计算的目的；
（3）根据积不变的规律，把式子中的各项转化为含有相同因数5.81的形式，然后利用乘法分配律进行简便计算；
（4）按照先算小括号里的乘法，再算小括号里的减法，接着算中括号里的减法，最后算括号外的除法的顺序进行计算，同时注意带分数与小数的正确转换；
（5）先将式子中的小数和分数统一形式，然后根据等式的基本性质，逐步将方程变形，求出未知数的值；
（6）根据比例的基本性质，将比例方程通过去分母转化为普通的一元一次方程，然后再按照解方程的方法求出未知数的值．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
；
【小问4详解】
解：
；
【小问5详解】
解：，
整理得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
【小问6详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
四、应用
20. 修一条长3000米的公路，第一个月修了全长的，第二个月修了全长的，还剩多少米没修？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分数乘法的实际应用，把这条公路全长看作单位“1”，则剩下的部分占整体的，运用乘法即可求出这条公路剩多少米没修．
【详解】解：
（米），
答：还剩米没修．
21. 一项工程由甲、乙两队合做40天可以完成，共同做了8天后，由乙队单独做了40天才完成．这项工程由甲队单独完成需要多少天？
【答案】这项工程由甲队单独完成需要天
【解析】
【分析】本题考查了分数的除法应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
先计算甲、乙两队合作8天完成的工作量，再求出剩余工作量，根据剩余工作量和乙队单独工作时间求出乙队工作效率，进而求出甲队工作效率，最后计算甲队单独完成工程所需时间，即可作答．
【详解】解：∵一项工程由甲、乙两队合做40天可以完成，
∴甲、乙两队合做的工作效率是，
则甲、乙两队合做了8天的工作量是，
则乙队的工作效率是
∴甲队的工作效率是，
∴（天），
则这项工程由甲队单独完成需要天．
22. 一个近似圆锥体的沙堆，底面周长是25.12米．现在需将这堆沙搬运到工地上去，用一辆货车2次刚好全部运到工地上（每次都刚好装满），已知这辆货车装货的车厢是一个长6.28米，宽3米，高1米的长方体．那么这个沙堆的高是多少米？
【答案】这个沙堆的高是米
【解析】
【分析】这道题考查圆锥和长方体的体积计算，解题关键在于：明确长方体与圆锥的体积相等，以及掌握圆锥体积的计算公式“”．先根据长方体体积公式求出货车两次运沙的总体积，这个体积等于圆锥形沙堆的体积；再根据圆锥底面周长求出底面半径，进而求出底面积；最后利用圆锥体积公式求出沙堆的高．
【详解】解：由题可知（立方米），
圆锥底面半径为：（米），
圆锥底面面积为：（平方米），
圆锥高为：（米）
答：这个沙堆的高是米．
23. 某校开展“书香校园”的活动，全校同学积极参与阅读打卡的活动．玲玲看一本科技书，第一天看了全书的，第二天看了全书的多2页，第二天看的页数比第一天多52页．这本科技书共有多少页？
【答案】这本科技书共有页
【解析】
【分析】本题考查了分数的混合运算的应用，先求出第二天比第一天多看的页数中除去2页后的部分，再计算出这部分页数对应的分率，最后用除法求出全书的总页数即可，理解题意，正确列式计算是解此题的关键．
【详解】解：（页），
答：这本科技书共有页．
24. A、B两车同时从甲、乙两地相向而行，A车从甲地开往乙地需要15小时到达，比B车从乙地到达甲地所需的时间多，两车相遇时，B车比A车多行100千米，甲、乙两地相距多少千米？
【答案】甲、乙两地相距千米．
【解析】
【分析】本题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系，熟练掌握把总路程看作单位“”，求出两车速度，进而计算相遇时间和路程差占比是解题的关键．先求出B车从乙地到甲地所需时间，再算出A、B两车的速度，接着求出两车相遇时间，然后算出相遇时两车行驶的路程差占总路程的比例，最后根据路程差求出甲、乙两地的距离．
【详解】解：B车从乙地到甲地所需时间：（小时），
A车速度：，B车速度：，
两车相遇时间：（小时），
相遇时A车行驶路程：，
相遇时B车行驶路程：，
甲、乙两地距离：（千米），
答：甲、乙两地相距千米．
Ⅱ卷
一、填空题
25. 甲、乙、丙、丁四人参加某次比赛．甲、乙两人的平均成绩为89分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低9分，比丁的成绩高3分，那么他们四人的平均成绩为_______分．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了求平均数，先求出丙和丁的成绩，再根据平均分总分数人数，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：丙的成绩为：（分），
丁的成绩为：（分），
故他们四人的平均成绩为（分），
故答案为：．
26. 如图，是矩形，，，是的中点，是的中点，则的面积是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形的面积公式，解决本题的关键是根据三角形的底和高之间的关系找到面积之间的关系，首先根据，可以求出，，，，根据三角形的面积公式可以求出，，根据点是的中点，可知，再根据可以求出，从而可以求出，再根据点是的中点，可以求出．
【详解】解：连接，，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
如下图所示，连接，，
则，
是的中点，
，
又，
，
，点是的中点，
，
，
，
，
点是的中点，
．
故答案为：．
27. 如图，、分别表示甲、乙两名学生的运动状态，其中s和t分别表示运动的路程和时间．根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快_______米．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了函数图像，从函数图像中正确获取信息是解题关键．根据函数图像可得学生甲用6秒跑了42米，学生乙用6秒跑了米，利用速度等于路程除以时间分别求出他们的速度，由此即可得．
【详解】解：由函数图像可知，学生甲的速度为（米/秒），
学生乙的速度为（米/秒），
则快者的速度比慢者的速度每秒快（米），
故答案为：3．
28. 某校初一年级某班个学生到湖边坐船游览，船家有三人船、二人船和一人船三种船提供出租，三人船每只船租金元，二人船每只船租金元，一人船每只船租金元．个学生刚好坐满了只船，求这个学生坐船的最低费用为_____元．
【答案】830
【解析】
【分析】设租了x条三人船，y条二人船，条一人船，总费用为S元，根据题意列出函数解析式求出最小值即可．
【详解】设租了x条三人船，y条二人船，条一人船，总费用为S元，由题意得
即
∴ x取最大值时，S有最小值
∵，x，y均为非负整数
∴当y取最小值1时，x有最大值12
此时，（元）
故答案为：830．
【点睛】本题考查了租船费用的问题，掌握一次函数的性质是解题的关键．
29. 如图，以点O为圆心，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为_______．（）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的面积公式的应用，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．先分别求出每一组圆环的面积，再将所有圆环面积相加即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
30. 已知，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查代数式求值，注意运用整体代入思想方法．将代数式变形为，再将已知条件代入计算可得答案．
详解】解：，
故答案为：．
31. 用，，，，，组成没有重复数字的六位数，要求，相邻，，相邻，，不相邻，则这样的六位数有_______种．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数字的排列，解题的关键是掌握相关知识．先将相邻数字看成整体，再用插空法排列不相邻的数字，最后计算总数即可．
【详解】解：和看成整体，和看成整体，、、、共部分进行排列，
①在第一位，在第三位或第四位有种可能，（种）；
②在第二位，只能在第四位，（种）；
③在第三位，只能在第一位，（种）；
④在第四位，在第一位或第二位有种可能，（种）；
（种），
每种排列可以组成个不同的六位数，共有（种），
故答案：．
32. 任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：，，，…按此规律，若分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是_____．
【答案】45
【解析】
【分析】本题主要考查探索数的规律的问题，主要从特殊出发得出一般规律，观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出所在的奇数的范围，即可得解．
【详解】解：∵底数是2的分裂成2个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为3的分裂成3个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为；底数为4的分裂成4个奇数，且分裂后的第一个数可以表示为，
∴分裂成m个奇数，分裂后的第一个数是，
∵，，
∴2015是的立方分裂的一个奇数，
即．
故答案为：45．
33. 若能被整除，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了数整除，首先把分解因数可得：，再根据能被、、整除的数的特点，得到关于、的方程组，解方程组求出于、的值即可．
【详解】解：分解因数可得：，
一个数能被整除，则这个数的末三位数能被整除，
一定能被整除，
将0-9的数分别代到z的位置，可得，
只有当时，符合题意，
此时，
能被整除，则各个数位上的数字之和能被整除，
一定能被整除，
又，，
，
或，
一个数能被整除，则奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差为或的倍数，
或，
又，，
，
可得：或，(不符合题意，舍去)，
当时，
解得：，
、不是整数，
不符合题意，舍去；
当时，
解得：；
当时，
解得：，
，
不符合题意，舍去；
当时，
解得：，
、不是整数，
不符合题意，舍去；
，，，
．
故答案为：．
二、计算题：
34. 计算：
（1）；
（2）；
（3）解方程：；
（4）化简求值，其中，．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4），
【解析】
【分析】本题主要考查整式加减、乘除混合运算，以及解一元一次方程，化简求值，掌握运算顺序，适当的进行简便运算是解题关键．
（1）按照先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的顺序进行计算，同时注意数的形式转换（小数化分数、带分数化假分数等），以便于计算；
（2）将带分数拆分成整数部分和分数部分，然后分别对整数部分和分数部分进行相加，其中分数部分可以利用凑整的思想进行简便计算；
（3）按照去括号（从内到外或从外到内）的顺序逐步去掉括号，然后通过移项将含未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，再合并同类项，最后求出未知数的值；
（4）先根据去括号法则去掉括号，然后合并同类项将整式化简，最后将给定的，的值代入化简后的式子进行计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
整理得：
去括号得：
移项得：
合并同类项得：
系数化为1得：；
【小问4详解】
解：
当，时
原式
．
三、解答题
35. 【阅读理解】如图①，点在线段上，若，则称点是线段的黄金优点，线段、称作互为黄金伴侣线段．
（1）若，则_______；
【解决问题】如图②，若表示的数是，点表示的数是，
（2）若点、是线段的黄金优点，求的长；
（3）图②中，若点在射线上，且线段与以、、中某两个点为端点的线段互为黄金伴侣线段，请直接写出点所表示的数．
【答案】（1）；（2）；（3）点所表示的数为或或或．
【解析】
【分析】本题主要考查了线段的相关计算以及新定义问题，一元一次方程的应用，熟练掌握根据新定义列方程求解是解题的关键．
（1）根据已知的与的关系，先求出，再求
（2）先明确的长度，再根据黄金优点的定义分情况讨论点、的位置，进而求出
（3）分不同线段组合，根据黄金伴侣线段的定义列方程求解点表示的数．
【详解】解：（1）因为，，
所以，
所以；
（2）因为表示的数是，点表示的数是，
所以，
因为点、是线段的黄金优点，
当， 时，，，
所以；
当，，时，，，
所以；
（3）设点表示的数为，
情况一：若与互为黄金伴侣线段，即或，
当时，，解得；
当时，，解得；
情况二：若与互为黄金伴侣线段，即或，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上点所表示的数为或或或．
四、应用题：
36. 甲乙丙丁四名打字员承担一项打字任务，若由这四人中的某一人单独完成全部打字任务，则甲需要24小时，乙需要20小时，丙需要16小时，丁需要12小时．
（1）如果甲、乙、丙、丁四人同时打字，那么需要多少时间完成？
（2）如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁，……的次序轮流打字，每一轮中每人各打1小时，那么需要多少时间完成？
（3）能否把（2）所说的甲、乙、丙、丁的次序作适当调整，其余都不变，使完成这项打字任务的时间至少提前半小时？（要求：如不能，说明理由；如能，至少说出一种轮流的次序，并求出相应能提前多少时间完成打字任务．）
【答案】（1）四人合作需要小时完成
（2）需要小时完成
（3）调整顺序可为丁、丙、乙、甲（丁在第一位即可），提前了小时完成
【解析】
【分析】本题主要考查工程问题，涉及工作效率、工作时间和工作量之间的关系（工作量工作效率工作时间）．解题关键在于确定每个人的工作效率，将总工作量看作单位“1”，根据“工作效率工作量工作时间”．
（1）设总工作量为1，则甲、乙、丙、丁的工作效率分别为：、、、，用总工作量除以他们的效率之和，即为共做需要的时间；
（2）甲、乙、丙丁各一个小时，四小时后完成：，四轮后完成，还剩，甲再做一个小时能完成，此时还剩，乙再做小时就完成了，计算这个时间即可；
（3）丁的工作效率最高可将顺序调整为：丁丙乙甲，就可以最快时间完成；调整顺序后，四个人完成后，还剩，丁再做小时就可完成，计算提前时间在与相比即可．
【小问1详解】
解：设总工作量为1，则甲、乙、丙、丁的工作效率分别为：、、、，
（小时），
答：四人合作需要小时完成．
【小问2详解】
解：甲、乙、丙丁各打一个小时，经过四轮（16小时）后完成：
，
此时还剩，
甲再做一个小时能完成，
此时还剩，
乙再做小时就完成了，
总计用去小时；
答：如果按甲，乙，丙，丁，甲，乙，丙，丁.…的次序轮流打字，每轮中每人各打1小时，那么需要小时完成．
【小问3详解】
解：根据四人的工作效率，丁的工作效率最高可将顺序调整为：丁、丙、乙、甲，（将丁排在第一位的次序都可以）；
调整顺序后，四轮后完成后，还剩，
丁再做小时就可完成，
比原来提前（小时），
因为，
所以调整顺序后能提前至少半个小时．
答：调整顺序为丁、丙、乙、甲，提前了小时．
37. 如图，将一条线段处折一下，得到一条“折线段”．图中长为10，长为10，长为8．动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线段”方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线段”方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．问：
（1）动点P从点A运动至C点需要多少时间？
（2）P、Q两点相遇时，求出相遇点M到O的长度是多少；
（3）求当t为何值时，P、O两点在“折线段”上相距的长度与Q、B两点在“折线段”上相距的长度相等．
【答案】（1）秒
（2）
（3）t为或或或
【解析】
【分析】本题主要考查了行程问题中的分段运动以及一元一次方程的应用，熟练掌握根据不同时间段的运动情况分析路程关系并列出方程是解题的关键．
（1）分别计算动点在、、各段的运动时间，再将各段时间相加，得到从运动至的总时间．
（2）先判断、相遇的路段，再根据路程和等于该路段的长度列方程求解，最后求出相遇点到的长度．
（3）分不同时间段讨论，根据、两点相距长度与、两点相距长度相等列方程求解．
【小问1详解】
解： 在的时间：（秒）
在的时间：（秒）
在的时间：（秒）
∴动点P从点A运动至C点需要的时间为：（秒）
【小问2详解】
解：从到的时间：（秒）
在秒内的运动情况：用了秒，运动了秒，运动的路程为，此时在上离点，到达点．
设再经过秒相遇，速度为，速度为，则，
，
，
∴相遇点到的长度：；
【小问3详解】
解：①当时，在，；在，．
则，
解得；
②当时，在，；在，．
则，
解得；
③当时，在，；在，．
则，
解得；
④当时，Q在，，此时方程为，无解；
⑤当时，在，；在，．
则，解得，
综上，当t为或或或时，P、O两点在“折线段”上相距的长度与Q、B两点在“折线段”上相距的长度相等
38. 有四种原料：①的酒精溶液克；②的酒精溶液克；③纯酒精克；④水克．请你设计一种方案，只选取三种原料（可各取若干或全量）配制成的酒精溶液克．
请问选取哪三种原料？各取多少？请通过计算或列方程分析说明你配制方法的正确性．
【答案】选取的酒精溶液，纯酒精和水可配制成的酒精溶液
【解析】
【分析】本题考查了百分数的应用，解题的关键是掌握相关知识．根据纯酒精质量溶液质量浓度求出所需纯酒精质量，再求出所需水的质量即可．
【详解】解：配制成的酒精溶液克需要的纯酒精质量为，
的酒精溶液克的纯酒精质量为，
所需纯酒精的质量为，
所需水的质量为，
答：选取的酒精溶液，纯酒精和水可配制成的酒精溶液．