2025-2026学年天津市河西区华星学校九年级上学期限时练习数学试题

这是一份2025-2026学年天津市河西区华星学校九年级上学期限时练习数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．将方程化为一般形式为 （ ）
A．B．
C．D．
2．关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A．1B．C．1或D．
3．用配方法解方程，下列配方结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＜B．k＞﹣C．k＞﹣且k≠0D．k＜且k≠0
5．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．抛物线的开口向上B．抛物线的顶点坐标是
C．对称轴为直线D．当时，
7．抛物线可由抛物线如何平移得到的（ ）
A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位
B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位
C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位
D．先回右平移3个单位，再向上平移2个单位
8．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．若二次函数的图象经过、、三点，则关于，，大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，要围一个矩形菜园，共中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为．有下列结论：
①的长可以为；
②的长有两个不同的值满足菜园面积为；
③菜园面积的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）

A．0B．1C．2D．3
12．如图，抛物线的对称轴是直线，则以下五个结论中 ， 正确的 有 （ ）
①；②；③；④；⑤
A．1 个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
13．抛物线与y轴的交点坐标为 ．
14．用一根长为20米的绳子，围成一个矩形，设矩形一边长x米，则面积 ，围成的矩形的最大面积是 ．
15．设，是方程的两个实数根，则的值为 ．
16．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为 ．
17．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．

18．对于二次函数，有下列说法：
①如果当时，y 随x的增大而减小，则，
②如果它的图像与x 轴的两交点的距离是4，则，
③如果将它的图像向左平移3个单位后的函数的最小值是，则，
④如果当 时的函数值与时的函数值相等，则当时的函数值为．
其中正确的说法是 ．
三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)
20．已知关于的一元二次方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，是方程的两个根，且满足，求实数的值．
21．用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长42米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过7米．（围栏宽忽略不计）
(1)若生态园的面积为144平方米，求生态园垂直于墙的边长；
(2)生态园的面积能否达到150平方米？请说明理由．
22．二次函数中的x，y满足如表．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点坐标为 ，当时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）；
(3)直接写出当时，y的取值范围．
23．直播带货新平台“西方甄选”所推销的大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋，为了吸引更多顾客，“西方甄选”采取降价措施，据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)设“西方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？
24．二次函数的图像与x轴交于，两点，且函数有最大值是2．
(1)求二次函数的解析式；
(2)设此二次函数与y轴的交点为点C，求的面积；
(3)当x为何值时，．（请直接写出结果）
25．已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，点是此抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上两点之间的距离是 ；
(3)①：点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值；
(4)在①的条件下，当的面积最大时，为轴上一点，过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为，连接，探究是否存在最小值．若存在，请直接写出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
x
…
0
1
2
…
y
…
0
m
…
《天津市河西区华星学校2025-2026学年九年级上学期限时练习数学试卷》参考答案
1．A
【分析】方程整理为一般形式，即可得到结果．
【详解】方程整理得：2（x2-4x+3x-12）=x2-10，即2x2-2x-24=x2-10，
则方程的一般形式为x2-2x-14=0．
故选A．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得．
【详解】解：根据题意将代入方程可得：，
解得：或，
∵是一元二次方程，
∴，即，
∴，
故选：B．
3．C
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，再两边同时加上一次项系数的一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
，
故选C．
4．D
【分析】要使一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式必须大于0，得到k的取值范围，因为方程是一元二次方程，所以k不为0．
【详解】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝4﹣12k＞0，且k≠0
∴k＜且k≠0，
故选D．
【点睛】本题考查的是根的判别式，当判别式的值大于0时，方程有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0．
5．A
【分析】平均增长率为x，关系式为：第三天揽件量＝第一天揽件量×（1＋平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【详解】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件，
∴可列方程为：，
故选：A．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用，得到三天的揽件量关系式是解决本题的突破点，难度一般．
6．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上，时，函数开口向下．
根据二次函数的图象和性质，逐个判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，故A不正确，不符合题意；
∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线，故B不正确，不符合题意；故C正确，符合题意；
当时，，故D不正确，不符合题意；
故选：C．
7．A
【分析】先将抛物线化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的规律进行求解即可．
【详解】因为，
所以将抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到抛物线，
故选A．
【点睛】本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的规律是解题的关键.
8．C
【分析】此主要考查了一次函数、二次函数图象的性质及其应用问题；首先根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论解析，即可解决问题．
【详解】解：A、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，对称轴在轴的右侧，，，异号，故本选项不符合题意；
B、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向上，，故本选项不符合题意；
C、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，对称轴在轴的右侧，，，异号，得到，故本选项符合题意；
D、对于直线来说，由图象可以判断，，；而对于抛物线来说，开口向下，，故本选项不符合题意；
故选：C．
9．B
【分析】本题考查了二次函数图象的轴对称性，熟练掌握二次函数图象的轴对称性是解题的关键．由题意可得二次函数的开口向上，根据点与对称轴的距离长短可以判断，，大小关系．
【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线，
，
二次函数的图象开口向上，
，
．
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了二次函数性质，以及解一元二次方程，解题的关键在于灵活运用相关知识．
根据题意求出，再将其代入一元二次方程求解，即可解题．
【详解】解：二次函数（为常数）的图像与轴的一个交点为，
，
解得，
，
，
解得，
故选：D．
11．C
【分析】设的长为，矩形的面积为，则的长为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可．
【详解】设的长为，矩形的面积为，则的长为，由题意得
，
其中，即，
①的长不可以为，原说法错误；
③菜园面积的最大值为，原说法正确；
②当时，解得或，
∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，说法正确；
综上，正确结论的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键．
12．D
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
①根据抛物线的开口方向、对称轴及抛物线与y轴的交点位置来判断即可；
②根据对称轴求解即可；
③根据抛物线与x轴的交点个数求解即可；
④根据轴对称性求出当时的函数值大小即可；
⑤由图可知，当时的函数值为0，所以，再结合，可求得，即可判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
对称轴是直线，
，
，
抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
，
，
故①正确；
对称轴是直线，
，
，
，
故②正确；
由图可知，抛物线与x轴有两个交点，
，
，
故③正确；
对称轴是直线，
当时的函数值与当时的函数值相等，
，
故④正确；
由图可知，当时的函数值为0，
，
，
，
，
故⑤错误；
五个结论中，正确的是①②③④，有4个．
故选：D．
13．
【分析】根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0，得到交点的纵坐标即可．熟练掌握与y轴的交点坐标的特点是解题的关键．
【详解】解：当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：
14．
【分析】直接利用矩形面积公式得出y与x之间的关系，再利用二次函数的性质解题即可．
【详解】解：设矩形的一边长为，则另一边长为：，
根据题意可得：
∵
当时，函数最大值为平方米．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数关系式，二次函数的性质，正确表示出矩形的边长是解题关键．
15．
【分析】本题考查一元二次方程的根及一元二次方程根与系数的关系，先利用一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．
【详解】解：∵是方程的实数根，
∴，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴的值为．
故答案为：．
16．14
【分析】将x=2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
【详解】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，
解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2+2=4＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解；等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键．
17．，
【分析】观察图像，根据抛物线图像的性质找出点（0,2）的对称点，即可求解.
【详解】有题意可知，抛物线的对称轴是x＝﹣1且与y轴交于点（0,2），可以看做抛物线与直线y＝2交于（0,2），由于抛物线顶点的纵坐标大于2，因此还有另一交点，由对称性可推出另一交点为（﹣2,2），故一元二次方程ax2＋bx＋c＝2（a≠0）的解为0或﹣2.
【点睛】本题主要考查一元二次方程和二次函数，解题的关键是清楚二次函数图像的性质并根据对称性找出点（0,2）的对称点.
18．②④
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数图像与x 轴的两交点问题，根据二次函数的对称性求函数值，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
①根据二次函数的增减性，当时，y 随x的增大而减小，所以，故可判断；
②设二次函数的图象与x轴的两个交点为，，根据一元二次方程的根与系数关系，可求得图像与x 轴的两交点的距离的平方是，即可列方程求解，可判断答案；
③平移后的抛物线为，即可列方程求解，可判断答案；
④先求出二次函数图象的对称轴是，即可得到当 时的函数值与时的函数值相等，即可判断答案．
【详解】解：二次函数图象的对称轴是直线，
因为二次项系数，
所以当时，y 随x的增大而减小，
如果当时，y 随x的增大而减小，则，即，
故①错误；
设二次函数的图象与x轴的两个交点为，，
令，则，
，，
，
如果它的图像与x 轴的两交点的距离是4，
则，
解得，
故②正确；
，
将它的图像向左平移3个单位后的函数解析式为，
，
解得，
故③错误；
如果当 时的函数值与时的函数值相等，
则二次函数图象的对称轴是，
当 时的函数值与时的函数值相等，
时的函数值为，
当时的函数值为，
故④正确；
其中正确的说法是②④．
故答案为：②④．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）方程可以配方为，利用配方法解方程即可得；
（2）方程可以因式分解为，利用因式分解法解方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
．
（2）解：，
，
或，
．
20．(1)
(2)2
【分析】（1）根据方程有两个实数根，可得，代入求解即可；
（2）根据根与系数的关系得出，，然后根据，列方程求解即可．
【详解】（1）关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：；
（2）若、是方程的两根，
，，
，
，
整理得：，即，
，，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解一元二次方程，熟知：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根；对于一元二次方程的两个根：；是解本题的关键．
21．(1)6米
(2)不能达到，理由见解析
【分析】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则可得生态园平行于墙的边长，从而由面积关系即可得到方程，解方程即可；
（2）方法与（1）相同，判断所得方程有无解即可．
【详解】（1）设生态园垂直于墙的边长为x米，则x≤7，生态园平行于墙的边长为(42－3x)米
由题意得：x(42－3x)=144
即
解得：（舍去）
即生态园垂直于墙的边长为6米.
（2）不能，理由如下：
设生态园垂直于墙的边长为y米，则生态园平行于墙的边长为(42－3y)米
由题意得：y(42－3y)=150
即
由于
所以此一元二次方程在实数范围内无解
即生态园的面积不能达到150平方米.
【点睛】本题考查了一元二次方程在实际生活中的应用，理解题意并根据等量关系正确列出方程是解题的关键．
22．(1)
(2)，增大；
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数性质，用待定系数法求二次函数的解析式．
（1）把表格中的代入二次函数得关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c即可；
（2）把（1）中所求的抛物线解析式化成顶点式的函数解析式，求出顶点坐标，在根据二次函数的性质，进行解答即可；
（3）根据表格中的数据得到自变量x分别是和2时的函数值y，求出y的取值范围即可．
【详解】（1）解：把代入二次函数得：
，
解之得：，
∴该函数的解析式为：；
（2）解：∵，
∴该抛物线的顶点坐标为：，
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
故答案为：；增大；
（3）解：∵该抛物线的顶点坐标为：，
∴当时，y取得最小值，最小值为，
∵当时，，当时，，
∴当时，y的取值范围为：．
23．(1)y与x的函数关系式为；
(2)当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
【分析】（1）根据销售单价每降1元，则分钟可多销售5袋，写出与的函数关系式；
（2）根据“西方甄选”每分钟获得的利润元等于每袋的利润乘以销售量，列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）由题意可得：
，
与的函数关系式为；
（2）由题意，得：
，
，抛物线开口向下，
当时，最大，最大值4500，
答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元；
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)或者
【分析】（1）根据，可得对称轴为：，即可得抛物线的顶点坐标为：，设二次函数解析式为：，将代入中，即可求解；
（2）当时，，即有C点坐标为：，则，再根据，，可得，，进而有，即，问题得解；
（3）即是函数图像在x轴下方部分（含与x轴交点）所对应的自变量的取值范围，据此结合图像即可作答．
【详解】（1）∵二次函数的图像与x轴交于，两点，
∴抛物线的对称轴为：，
∵函数的最大值为2，
∴抛物线的顶点坐标为：，
∴设二次函数解析式为：，
将代入中，有：，
∴，
即：二次函数解析式为：；
（2）∵二次函数解析式为：，
∴当时，，
∴C点坐标为：，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵在坐标系中有，
∴，
即的面积为；
（3）将二次函数解析式变形为：，
画出二次函数的图像，如下，
∵，，
∴结合二次函数的图像可得，当时，自变量x的取值范围为：或者，
故答案为：或者．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解答本题的关键是求出二次函数的顶点坐标．
25．(1)
(2)
(3)
(4)存在，
【分析】（1）将，代入即可求解．
（2）求出，，利用勾股定理即可求解．
（3）过点作轴交于点F，求出直线的解析式为，设，则，则，进而可求解．
（4）过点作轴的平行线，且，则四边形是平行四边形，可得，作点关于轴的对称点，当、、三点共线时，的值最小，分别求出，，，进而求出直线的解析式为，进而可求出直线与轴的交点为，则可得，进而可求解．
【详解】（1）解：将，代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为．
（2），
，
当时，则，
，
根据勾股定理得：，
故答案为：．
（3）过点作轴交于点F，如图：

设直线的解析式为，
，
，
，
设，则，
，
，
当时，有最大值为．
（4）存在最小值，理由如下：
当时，，
，
抛物线的对称轴为直线，
垂直对称轴，
轴，，
过点作轴的平行线，且，如图：
四边形是平行四边形，
，
作点关于轴的对称点，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得：，
，
，
，
当时存在最小值．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题、勾股定理、二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数解析式，通过构造平行四边形，利用两点间线段最短求线段和的最短距离是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
A
C
A
C
B
D
题号
11
12








答案
C
D