辽宁省沈文新高考研究联盟2026届高三上学期期初质量监测试题数学+解析

这是一份辽宁省沈文新高考研究联盟2026届高三上学期期初质量监测试题数学+解析，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分 考试时间120分钟
第Ⅰ卷 选择题（共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【详解】∵，，
∴.
故选：D.
2. 已知二次函数．甲同学：的解集为或；乙同学：的解集为或，丙同学：函数图象的对称轴在轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】若的解集为或，则解得；
若的解集为或，则解得；
若函数图象的对称轴在轴右侧，则对称轴，则，得．
又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，综上，．
故选：C.
3. 如图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方部分对应的函数解析式可能为（ ）

A B.
C. D.
【答案】C
【详解】由图可知，“心形”图形关于轴对称，则“心形”在轴上方部分对应的函数为偶函数，
则函数为奇函数，故B不正确；
函数的定义域为，关于原点不对称，故D不正确；
的图象过点，
且时，，当且仅当时，等号成立，
即函数的最大值为2，又“心形”在轴上方部分对应的函数的最大值为1，故A不正确；
由图象过点，
且时，，当时，等号成立，
即函数的最大值为1，满足题意，故C正确．
故选：C.
4. 已知定义在上的连续函数，满足，则方程的解的个数为（ ）
A. 13B. 14C. 20D. 21
【答案】D
【详解】解：因为
，
由，
可得，
即有，
作出函数的图象如图所示：
则有7个根，有10个根，有4个根，
所以方程共有个根.
故选：D
5. 已知是等比数列的前n项和，若，则（ ）
A. 1022B. 1023C. 1024D. 1025
【答案】B
【详解】设等比数列的公比为，由题意可得解得
则
故选：B.
6. 设数列的前n项和为，若为常数，则称数列为吉祥数列.已知等差数列的首项为3，且公差不为0，若数列为吉祥数列，则数列的通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】设等差数列的公差，则，故.
又因为数列为吉祥数列，所以为常数，不妨设，
则，
则，解得，所以.
故选：D
7. 已知函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】由求导得：，
因，当且仅当时，等号成立，
则，故函数在上为增函数，
又，即函数奇函数.
则由可得，进而，解得.
故选：B.
8. 设函数，其中，若存在唯一的整数使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】令，则，
当时， ，所以在上是单调减函数；
当时，，所以在上是单调增函数；
由可得，
由题意可知，存在唯一的整数，使得，
则函数在直线下方的图象中只有一个横坐标为整数的点，
因为
当时，则函数在直线下方的图象中有无数个横坐标为整数的点，不合乎题意；
所以，因为，
当直线过点时，则，解得；
又，直线，所以此时函数与直线相切于点，
当直线过点时，则，且，
结合图象可得，
所以的取值范围是，
故选：A
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C.
D. 不等式的解集为
【答案】BD
【详解】对于A，因为关于的不等式的解集为，
所以和3是关于的方程的两根，且，故A错误；
对于B，由已知得和3是关于的方程的两根，
由韦达定理得，解得，
对于不等式，即化为，解得，故B正确；
对于C，可得，故C错误；
对于D，对于不等式，可化为，
而，则化为，解得，故D正确．
故选：BD
10. 已知等比数列的公比不为1且相邻三项调整次序后可为等差数列，若，存在实数使得对任意恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【详解】设等比数列的公比为，相邻三项为，
则或或，
故或或，故或，
若，则，
当为奇数时，，时，故，
当为偶数时，，时，故，与题设矛盾；
所以，此时，
当为奇数时，当为偶数时，则，
所以在上单调递增，则，
由恒成立，故.
故选：BCD
11. （多选）已知函数，，若存在直线与曲线和均相切，则a的值可能为（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】ABC
【详解】由题意得，，，
又直线与曲线和均相切，
设直线与曲线的切点为，则切线的斜率为，
故切线方程为，
设直线与曲线的切点为，
则切线的斜率为，故切线方程为，
两条切线为同一条直线，，由，可得，
代入，得，
即，
令，则问题转化为存在使得，即求的值域，
，令，解得，
故当时，；当时，，
在单调递增；在单调递减，
，的值域为，即.
故选：ABC．
第II卷 非选择题（共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是______．
【答案】
【详解】解法一 、令，
①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件．
②当时，的图象的对称轴方程为，
若，则在上单调递减，则只需满足，得；
若，则，且时已满足条件．
综上，实数的取值范围为．
解法二、时，，由得，
则在上有解．
令，则当时，；
当时，，
又在单调递增，所以，即，
故实数的取值范围为．
故答案为：.
13. 已知正项数列中，且，其中为数列的前项和，则数列的通项公式为___________．
【答案】
【详解】在数列中，①，又②，，
所以①除以②得．
又，所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列，
则，所以．
当时，，当时，，也满足上式，
所以数列的通项公式为．
故答案为：．
14. 已知函数，若，则的单调递增区间为_______；若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______.
【答案】 ①. ②.
【详解】当时，，
因为的定义域为，，
故函数为偶函数，
当时，，则，即函数在上单调递增，
故当时，函数的增区间为；
当时，，则，
由题意知，对任意的，，则，可得，
此时；
当时，由可得，由可得，
所以，
因为函数在区间上单调递增，
若，则，，
此时函数在区间上不单调；
若时，即当时，则当时，，
则对任意的，，则，可得，
此时；
若时，即当时，则当时，，
则对任意的，，则，可得，
这与矛盾，此时不成立.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：，.
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 定义关于的新运算：，其中，为非零常数.
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求不等式组的解集.
【答案】（1）；
（2）或.
【小问1详解】
由题可知，，
解得.
【小问2详解】
由题可知，即.
又，
即，解得；
，
整理得，
解得或，所以解集为或.
16. 设是定义域为的函数，如果对任意，均成立，则称是平缓函数．
（1）若，试判断是否为平缓函数？并说明理由；
（2）若函数是平缓函数，且是以1为周期周期函数，证明：对任意的，均有．
【答案】（1）是平缓函数，理由见解析；
（2）证明见解析．
【小问1详解】
任取，
，
只需证，
当有一个为0时，不妨设，则；
当都不为0时，分母利用不等式，
得，结合
可得
当且仅当时取等号成立，但此时，故严格不等式成立，
因此函数是上的平缓函数．
【小问2详解】
由已知可得，由于函数是周期函数，故不妨设，
当时，由为上的平缓函数得。
当时，不妨设，
此时由为上的平缓函数得
.
综上所述，命题得证.
17. 已知正项数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【小问1详解】
因为为正项数列，①，
当时，得；
当时，②，
①－②得，，得．
所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以．
【小问2详解】
解法1：因为，
所以当时，
，
当时也符合，所以原不等式成立．
解法2：因为，所以，
所以，
所以当时，
，
当时，不等式的左边也符合，所以原不等式成立．
18. 已知数列是公差大于的等差数列，，，若数列前项和为，并满足，.
（1）求数列，的通项公式.
（2）若，求数列前项的和.
【答案】（1），
（2）
【小问1详解】
设等差数列公差为，，
整理可得，解得（负值舍去），
则；
时，，解得，
当，，
整理可得，则，
又，则是首项为，公比为的等比数列，
则，
于是.
【小问2详解】
由（1）得，，
则，
，
，
即
19. 定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数.
（1）证明：；
（2）证明：当时，；
（3）证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）证明见解析
【小问1详解】
证明：.
【小问2详解】
证明：注意到，且．
设，则．
因为是增函数，所以当时，．
从而当时，，即在上单调递增，
所以，则，当且仅当时等号成立．
【小问3详解】
证明：，
，
，
，
，
，
令，则且，
即证，
令，
因为，
令，
则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，则，
即在单调递增，且，
所以时，，时，，
即在且时恒成立，
故．