2025-2026学年广东省深圳市龙华区新华中学教育集团九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份2025-2026学年广东省深圳市龙华区新华中学教育集团九年级上学期10月月考数学试卷，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．方程的解为（ ）
A．B．C．D．，
2．如图，在中，，D为中点，若，则的长为（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．根据下列表格的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
4．如图所示的是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的四边形学具，他先调整学具成为图1所示的图形，并测得，对角线，接着调整学具成为图2所示的图形，测得，则图2中对角线的长为（ ）．
A．B．C．D．
7．若关于的一元二次方程的解是，则关于的方程的解为（ ）．
A．B．C．D．
8．如图，四边形是边长为1的正方形，点E，F分别在上，连结，当，时，的长（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．写出一个两根分别1和2的一元二次方程 ．
10．深圳市交警队为某一新建路口设立红绿灯，特调研该路口车辆的行驶情况，发现某时段共100辆车驶过该路口，其中有20辆车左转．若某天同一时段该路口共有150辆车驶过，估计左转车辆约有 辆．
11．制造某种产品，计划经过两年使成本降低到原来的，则平均每年需降低 ．（填百分数）
12．如图，菱形的周长为20，面积为24，分别作P点到直线、的垂线段、，则等于 ．
13．如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设B，P两点间的距离为，图2是点运动时随变化的关系图象，则 ．
三、解答题
14．按要求解方程：
(1)（因式分解法）；
(2)（配方法）．
15．今年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，很多爱国主义题材电影上映．小明和小红想去看电影，但是时间关系只能选择两部，所以他们制作了3张分别印有电影名字的卡片：《南京照相馆》、《东极岛》、《731》．现将这3张卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后不放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片、求下列事件发生的概率：
(1)第一次抽取的卡片不是《731》的概率为_____________；
(2)求抽取的两次结果都不是《731》的概率？（请用树状图或列表等方法说明理由）
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)当该方程有两个不相等的实数根时，求的取值范围；
(2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求的值．
17．如图，四边形是矩形．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在图中作一个菱形，其中F在直线上，E在直线上；
（不要求写作法，但要保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，，求所作菱形的面积．
18．项目式学习：
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示）
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
19．请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则，所以．
把代入已知方程，得．
化简，得
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）．
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：_____________．
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，直接写出一元二次方程的两根为_____________．
20．综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，．
．
【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：；
【解决问题】如图2，连结，求线段的长．
【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是
x
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.07
《广东省深圳市龙华区新华中学教育集团2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷》参考答案
1．D
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据因式分解法计算即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，，
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．
【详解】∵，D为中点，
∴．
故选：B．
3．C
【分析】利用，，而，，则可判断方程，，，为常数）的一个解的范围是．
【详解】解：，，
，，
时，，
即方程，，，为常数）的一个解的范围是．
故选：C．
【点睛】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解．
4．D
【分析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．用蓝色区域的圆心角除以周角可得到指针落在蓝色区域的概率．
【详解】解：红色区域的圆心角为，
蓝色区域的圆心角为，
指针落在蓝色区域的概率是，
故选：D．
5．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程即可．
【详解】解：由题意，可列方程为：；
故选A．
6．B
【分析】本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形和正方形的性质，连接．在图1中，证是等边三角形，得出．在图2中，由勾股定理求出即可．
【详解】解：如图1，图2中，连接．
图1中，四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
在图2中，四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
；
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解，利用整体法的思想，找出关于的方程的解为或是解题的关键．由关于的一元二次方程的解是，，可得出关于的方程的解为或，解之即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程的解是，，
关于的方程的解为或，
解得：或，
关于的方程的解为或2．
故选：C．
8．B
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．连接，过点作于点，先证，得出，，结合得出，于是得出，即可求出，设，则，根据勾股定理求出的长，再求出的长，根据即可求出的值，从而求出的长．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，
四边形是正方形，
，，，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
在中，由勾股定理得，，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
解得，
，
，
故选：B
9．
【分析】本题考查了一元二次方程和根与系数的关系，注意：以为根的一元二次方程为．根据以为根的一元二次方程为写出即可．
【详解】解：两根分别为1和2的一元二次方程是，
即．
故答案为：（答案不唯一）．
10．
【分析】本题考查了频率的概念，熟记公式是解决本题的关键．由题意知，发现某时段共100辆车驶过该路口，其中有20辆车左转，计算出频率，作为某天同一时段该路口共有150辆车驶过，估计左转车辆的频率求解即可．
【详解】解：根据某时段共100辆车驶过该路口，其中有20辆车左转．
故左转车辆所占的频率为：；
故某天同一时段该路口共有150辆车驶过，估计左转车辆约有：（辆），
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设平均每年需降低，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设平均每年需降低，
由题意得，，
解得，（不合题意，舍去），
∴平均每年需降低，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积，先根据菱形的性质得到线段的长度以及三角形的面积，然后即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵菱形的周长为20，面积为24，
∴，，
∵分别作P点到直线、的垂线段、，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
13．8
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出的长是解题的关键．当，即在点时，；利用两点之间线段最短，得到，得的最大值为；在中，由勾股定理求出的长，再根据求出的长．
【详解】解：由函数图象知：当，即在点时，．
利用两点之间线段最短，得到．
的最大值为，
．
在中，由勾股定理得：，
设的长度为，
则，
，
即：，
，
解得或，
由于，
．
，
故答案为：8．
14．(1)
(2)
【分析】（1）先通过移项将右边式子变形为与左边有相同因式的形式，再提取公因式进行因式分解，转化为两个一元一次方程求解；
（2）利用配方法，在方程两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，再开方求解．
本题主要考查了因式分解法和配方法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的技巧以及配方法的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：，即
，
或，
解得；
（2）解：，
，即，
，
．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
（1）根据题意，可以直接写出第一次抽取的卡片不是《731》的概率；
（2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出求抽取的两次结果都不是《731》的概率．
【详解】（1）解：由题意可得，
第一次抽取的卡片不是《731》的概率为：，
故答案为：；
（2）解：由题意可得，树状图如下：
由上可得，共有6种等可能的结果，两次结果都不是《731》的有2种，
抽取的两次结果都不是《731》的概率为．
16．(1)；
(2)．
【分析】（）根据根的情况确定参数的范围，由即可求解；
（）利用根与系数的关系得出，解方程即可；
此题考查了根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根是解题的关键时，，熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∴的取值范围是；
（2）设，是关于的一元二次方程的两个实数根，
则，
解得：．
17．(1)见解析；
(2)菱形的面积为15．
【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点F，交BC于点E，连接，即可．
（2）根据菱形的性质可得．由矩形的性质可得，，．设，则．在中，由勾股定理建立等式求解，再结合菱形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点F，交BC于点E，连接，，则四边形即为所求．
（2）解：四边形为菱形，
．
四边形是矩形，
，，．
设，则．
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
，
菱形的面积为．
【点睛】本题考查了垂直平分线作图、垂直平分线性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关性质．
18．任务一：，；任务二：该收纳盒的高为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，表示出，的长；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为 ，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为，
，，
故答案为：，；
任务二：设该收纳盒的高为，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该收纳盒的高为．
19．(1)
(2)
(3)、
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握换根法的使用；
（1）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求；
（2）根据题意，设所求方程的根是，则，所以，然后把代入原方程，化简可求；
（3）由（2）可知，对方程两边同时除以，得，则方程的两根是两根的倒数，进而求解．
【详解】（1）解：设所求方程的根是，则，所以，
把代入，得，
故答案为：；
（2）解：设所求方程的根是，则，所以，
把代入方程，得，
化简，得；
（3）解：由（2）可知，对方程两边同时除以，
得，
则方程的两根是两根的倒数，
所以方程的两根分别是、，
故答案为：、．
20．【数学思考】见解析；【解决问题】；【拓展研究】或
【分析】数学思考：证出，由可证明；
解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案；
拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案．
【详解】数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
，
；
解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接
，
，
矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，
，，
，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
拓展研究：解：当线段与交于点时，作于，
是的中点，
，
，，
，
，，
，
，，
，
，
当的延长线交于点时，由上知，
，
，
综上所述，的面积是或．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
B
C
D
A
B
C
B