河北省沧州市普通高中2026届高三一轮复习10月考试数学试卷

这是一份河北省沧州市普通高中2026届高三一轮复习10月考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知命题，则：（）
B.
C. D.
设复数在复平面内对应的点位于第一象限，则 在复平面对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
若椭圆 的短轴长为焦距的倍，则 的离心率为（）
B. C. D.
平面直角坐标系 中，已知点 ，则 （）
A
B. C. D.
已知函数 ，若，则 （）
，则
（
B. 0C. 2D. 4
记等差数列的前项和为，若，
）
A. 320B. 400C. 480D. 560
已知函数 ，则曲线 在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）
B. C. D.
在三棱锥 P－ABC 中，点 P 到平面 ABC 的距离为 6，点 D，E 为边 PA，PB 的中点，且△CDE 为正三角形.若 CA＝CB＝2DE，则点 P 到平面 CDE 的距离为（）
A. 3B. 4C. 6D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知偶函数 满足：当 时，，则（）
B. 当 时，
C. D. 函数 在区间 上有零点
对于集合 M 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
①
，
；
② ，若 ，则 ；
③ ，若 ， ，则 .
则称“-”是集合 M 的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（）
A. 方程的同解B. 向量的共线
C. 集合的包含D. 命题的充要条件
已知抛物线的焦点为 F，C 是直线 上一点，过点 C 作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点 A，B，连接 AF，BF，设直线 AB 与 x 轴交于点 P，直线 CF 与直线 AB 交于点 D，（）
B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
样本数据 的极差和第 70 百分位数之和为.
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 上两点 A，B 关于原点 O 的对称点分别为点 C，D，且四边形 ABCD 是正方形，则四边形 ABCD 的外接圆方程为.
现有 6 个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取 3 个球：甲从所有球中一次性随机抽取 3 个；乙将小球平均分为 A，B 两堆后，先从 A 堆中一次性取 i 个，再从 B 堆中一次性取 个（ ），则乙的不同取法种数比甲多种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
，
.
如图，直三棱柱 中， 平面
（1）证明： ；
（2）若直线与平面所成角为，求 .
已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 .
（1）若，求 a；
（2）若 的周长为 4c，求 的面积.
粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方 地区的经济发展.我国于 2020 年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以 2020 年为第 1 年，我国连续 5 年小麦产量如下：
现规定 表示第 i 年的年份， 表示第 i 年的产量，经计算得，，
年份
1
2
3
4
5
产量/千万吨
13.4
13.7
13.8
13.6
14.0
.
（1）求样本 （ ，2，…，5）的相关系数（精确到 0.01）；
，
.
（2）现从这 5 年中随机抽取 2 年，记这 2 年中共有 X 年的小麦产量不低于 13.7 千万吨，求 X 的分布列与期望.
，
附：样本相关系数
（
已知双曲线 E：
.
求 E方程.
）的左、右焦点分别为，，其上一点满足
记 E右顶点为 B，射线 BA 上两点 P，Q 满足.
（ⅰ）若点 P 的横坐标为 m，求点 Q 的坐标（用 m 表示）；
（ⅱ）已知 ， ，若的面积为 ，求.
已知函数 ．
当 时，证明：；
当 时，若 ，求最大值；
若恰有 2 个零点和 3 个极值点，证明：．
沧州市普通高中 2026 届高三复习质量监测数学试卷
班级姓名
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
已知命题，则：（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定定义求解即可.
，故：
【详解】由命题.
故选：A
设复数在复平面内对应的点位于第一象限，则 在复平面对应的点位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】令 ,由复数的除法运算化简，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由题可得 ,所以，对应点的坐标为
,
因为 ,,所以在复平面对应的点位于第四象限.故选：D
若椭圆 的短轴长为焦距的倍，则 的离心率为（）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意得 ，又 ，利用离心率的公式即可求解.
【详解】根据题意有，
所以.
故选：B.
平面直角坐标系 中，已知点 ，则 （）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两点间距离公式计算，再利用余弦定理即可求得.
【详解】因为 ，三点不共线，则，
，
，
由余弦定理，可得.
故选：D.
已知函数，若，则（）
B. 0C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数的奇偶性代入求解.
详解】，所以，
则 .
，则
（
故选:B.
记等差数列的前项和为，若，
）
A. 320B. 400C. 480D. 560
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，列式求出首项及公差，再求出前 20 项的和.
【详解】由，得，而，解得 ，公差 ，所以.
故选：B
已知函数 ，则曲线 在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）
B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得答案.
【详解】由求导，可得
，
则，又 ，
则曲线 在点 处的切线为 ，
则切线与两坐标轴的交点分别为， ，故三角形的面积为.
故选：D.
在三棱锥 P－ABC 中，点 P 到平面 ABC 的距离为 6，点 D，E 为边 PA，PB 的中点，且△CDE 为正三角形.若 CA＝CB＝2DE，则点 P 到平面 CDE 的距离为（）
A. 3B. 4C. 6D.
【答案】C
【解析】
【分析】设△CDE 的面积为 S，则△ABC 的面积为 4S，三棱锥 P－ABC 的体积为 ，设点 P 到平面
CDE 的距离为 h，三棱锥 的体积为，进而可得体积比，求得 h.
【详解】因为点 D，E 为边 PA，PB 的中点，
所以 2DE＝AB，因此 AB＝CA＝CB，故△ABC 也为正三角形， 且其边长为△CDE 的边长的两倍，面积是△CDE 的面积的四倍，设△CDE 的面积为 S，则△ABC 的面积为 4S.
三棱锥 的体积为，设点到平面 的距离为 h，
三棱锥体积为.所以三棱锥 C－PDE 的体积也为，
又因为点 D，E 为边 PA，PB 的中点，所以△PDE∽△PAB，
相似比为 ，面积比为，故三棱锥 C－PDE 与三棱锥 C－PAB 的体积之比为，所以，所以，解得 h＝6，
所以点 P 到平面 CDE 的距离为 .
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已知偶函数 满足：当 时，，则（）
B. 当 时，
C. D. 函数 在区间 上有零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用偶函数的定义、性质判断 ABC；利用零点存在性定理判断 D.
【详解】对于 A， ，A 正确；
对于 B，当 时， ，则 ，B 错误；
对于 C，当 时，，当且仅当 时取等号，则，当 时， ，因此，C 正确；
，即
，
对于 D， ，
因此 在区间 上有零点，D 正确.故选：ACD
对于集合 M 中元素之间的一个关系“-”满足以下三个条件：
①
，
；
② ，若 ，则 ；
③ ，若 ， ，则 .
则称“-”是集合 M 的一个等价关系.例如：“图形的相似性”是所有平面几何图形构成的集合的一个等价关系，而“直线的平行关系”不满足条件①，所以不是等价关系.据此，下列关系中为等价关系的是（）
A. 方程的同解B. 向量的共线
C. 集合的包含D. 命题的充要条件
【答案】AD
【解析】
【分析】需要逐一分析每个选项，判断其是否满足等价关系的三个条件：自反性，对称性和传递性.
【详解】对于 A，①方程本身与其自身同解，②若方程 A 与方程 B 同解，则方程 B 与方程 A 同解，③若方程 A 与方程 B 同解，方程 B 与方程 C 同解，则方程 A 与方程 C 同解，故方程的同解是等价关系，A 正确；对于 B，零向量与任意向量共线，故不符合条件③，B 错误；
对于 C，若集合 A 包含集合 B，集合 B 不一定包含集合 A，不符合条件②，C 错误；
对于 D，①命题 p 是命题 p 自身的充要条件，②若命题 p 是命题 q 的充要条件，则命题 q 是命题 p 的充要条件，③若命题 p 是命题 q 的充要条件，命题 q 是命题 r 的充要条件，则命题 p 是命题 r 的充要条件，D 正确.
故选：AD.
已知抛物线的焦点为 F，C 是直线 上一点，过点 C 作抛物线的两条切线与抛物线分别切于点 A，B，连接 AF，BF，设直线 AB 与 x 轴交于点 P，直线 CF 与直线 AB 交于点 D，（）
B.C.D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】先设点进而得出切线方程计算求解判断 A，与抛物线联立再结合抛物线定义判断 B，应用角平分线定理结合数量积公式计算判断 C，应用角平分线定理结合点到直线距离公式计算判断 D.
，
，
【详解】设 ，
则在 A，B 处的两条切线可写为，
将代入可得，
所以， 在直线 上，即直线 AB 为 ，与 x 轴的交点为 ，即 ，故 A 正确；
对于 B，设直线的方程为 ，其中 ，
，
，
，
与抛物线联立可得，则， ，若成立，即成立，
由抛物线定义得
所以，故B
正确；
对于 C，若成立，可知 为 的平分线，即证明 ，
等价于证明 ，即证明，
即证明，
，
又
，
，
代入化简可得 ，
即
，
即 ，故 C 正确；
对于 D，若成立，则 为 的平分线，所以点 P 到直线 AC 的距离等于点 P 到直线 BC 的距离，即
，
即只有当 时成立，故 D 错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
样本数据 的极差和第 70 百分位数之和为.
【答案】6.6##
【解析】
【分析】根据极差及百分位数定义计算求解即可.
【详解】数据从小到大排列为 ，样本数据的极差为 ，
由于 ，故样本数据的第 70 百分位数为第 5 个数 6.1，
所以两数之和为 ；故答案 ： .
在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 上两点 A，B 关于原点 O 的对称点分别为点 C，D，且四边形 ABCD 是正方形，则四边形 ABCD 的外接圆方程为.
【答案】
【解析】
【分析】设点再根据 C，D 两点均在直线 ： 上，再应用点到直线距离得出，进而得出半径即可得出标准方程.
详解】设 ， ，则 ， ，
C，D 两点均在直线 ： 上，故直线 CD 即为 .
而直线 AB 与直线 CD 的距离，由 可知，
故由平面几何知识可得，
由对称性可知正方形 ABCD 的外接圆圆心为 O，半径为 1，于是四边形 ABCD 的外接圆方程为 ，故答案为： .
现有 6 个形状、大小完全相同但颜色均不相同的小球，甲、乙两人采用不同方式分别从中拿取 3 个球：
甲从所有球中一次性随机抽取 3 个；乙将小球平均分为 A，B 两堆后，先从 A 堆中一次性取 i 个，再从 B 堆中一次性取 个（ ），则乙的不同取法种数比甲多种.
【答案】380
【解析】
【分析】根据组合数的定义及分步乘法原理求解.
【详解】由于甲是在 6 个球中一次性取出 3 个，从而不同的取法数有种；对于乙，将小球平均分为 A，B 两堆有种方法，
而对于每一个给定的分堆方式，其取法数为，
所以乙的不同取法数为种，故乙的不同取法数比甲多 380 种，故答案为：380.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
，
.
如图，在直三棱柱中， 平面
（1）证明： ；
（2）若直线与平面所成角为，求 .
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直分别推得， ，再由线线垂直证明线面垂直，最后利用线面垂直的性质即可证得；
（2）根据（1）的结论，建系，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量夹角公式计算即得.
【小问 1 详解】
由 平面， 平面，可得，
在直三棱柱中， 平面 ， 平面 ，则 ，又， 平面 ，所以 平面 ，
又平面 ，可得 .
【小问 2 详解】
由 平面， 平面，可得 .
因四边形是矩形，故四边形是正方形，则，由（1）已得 平面 ， ，
故可以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 x、y、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则
，
不妨设 ，则 ， ， ，故 ，由题易知平面的一个法向量为，
解得，因 ，则 .
已知△ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 且 .
（1）若，求 a；
（2）若 的周长为 4c，求 的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先计算求出，再应用两角和正弦公式结合正弦定理计算求解；
（2）先根据周长化简得出 ，再应用余弦定理计算求解得出，最后应用面积公式计算求解.
【小问 1 详解】
由，可得，
显然 ，故，
于是，
在 中，由正弦定理可知，故.
【小问 2 详解】
由题可知 ，又 ，故 ，由余弦定理可知 ，
即 ，化简得 ，故（舍）或，
故 的面积 .
粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方 地区的经济发展.我国于 2020 年打赢了脱贫攻坚战，其中小麦发挥了重大作用.以 2020 年为第 1 年，我国连
续 5 年小麦产量如下：
现规定 表示第 i 年的年份，表示第 i 年的产量，经计算得 ， ，
.
（1）求样本 （ ，2，…，5）的相关系数（精确到 0.01）；
，
.
（2）现从这 5 年中随机抽取 2 年，记这 2 年中共有 X 年的小麦产量不低于 13.7 千万吨，求 X 的分布列与期望.
附：样本相关系数
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）先求出平均值，再应用已知数据结合相关系数公式计算求解；
（2）根据超几何分布求出概率，再写出分布列应用数学期望公式计算即可.
【小问 1 详解】
， ，
故样本相关系数
.
【小问 2 详解】
X 的取值可以为 0，1，2，
年份
1
2
3
4
5
产量/千万吨
13.4
13.7
13.8
13.6
14.0
则
，
，
，
X0
1
2
P
故
.
于是 X 的分布列为
（
已知双曲线 E：
.
求 E 的方程.
）的左、右焦点分别为，，其上一点满足
，
记 E 的右顶点为 B，射线 BA 上两点 P，Q 满足.
若点 P 的横坐标为 m，求点 Q 的坐标（用 m 表示）；
（ⅱ）已知 ， ，若的面积为 ，求.
【答案】（1）
（2）（ⅰ）；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据双曲线定义得出 ，再把点代入双曲线计算得出即可求解；
（2）（ⅰ）先设直线方程进而设点 ，再根据 ，计算求参；
应用正弦定理结合两点间距离公式计算得出正弦比.
【小问 1 详解】
因为，故 ，
将代入，可得，解得，
故 E 的方程为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）因为 ，而，故直线 AB 的斜率，于是直线 AB 的方程为 ，
故 .设点 Q 的横坐标为 n，则 ，其中
于是，
故 ，于是点 Q 的坐标为，
，
.
（ⅱ）记 E 的半焦距为 c，则，故于是，
，
，
，
，
故的面积为，解得 ，故，于是
在 中，由正弦定理可知，
在 中，由正弦定理可知，
又
，
两式作比，可得，
于是.
已知函数 ．
当 时，证明：；
当 时，若 ，求的最大值；
若 恰有 2 个零点和 3 个极值点，证明：．
【答案】（1）证明见解析；
（2）1（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）计算得 ，构造函数 ，求导得其单调性，则得到其最值，从而判断出其小于等于 0；
取 ，分 和 讨论即可；
设，求导得其单调性，再假设新函数 ，求导后利用极值点个数得到相关不等式，解出即可.
【小问 1 详解】
.
设，则，
故当时，在区间上单调递增；
当吋，在区间上单调递减，
故
．
因此，得证．
【小问 2 详解】
取 ，则 ，由（1）知 在区间上单调递减，故当 时， ，故必有 ,
当 时， ，则 ，故当 时， 在区间 上单调递减；
当 时， 在区间 上单调递增，故 ，符合题意，因此 的最大值是 1．
【小问 3 详解】
设
，
则
，
故当 时，在区间 上单调递减；当 时， 在区间 上单调递增，
所以当 时， 取极小值 ．
若 恰有 2 个零点，则 ，得 ．
，设 ，
，故
，
则，由 恰有 3 个极值点，得 必有 2 个正零点，记为
即
，
当，或 时，区间上单调递增，当 时，
在区间上单调递减，
有
，
当时， 取极大值，当时， 取极小值 ，由 恰有 3 个极值点，则 必有 3 个正零点，
由
故
．
因为，
所以必有 ，即 ，
由 ，有，则．
由 ，有，即，
因为函数在区间 上单调递增，若 ，
则，矛盾，
故得证．