2025-2026学年山东省济南育英教育集团九年级上学期月考数学试题

这是一份2025-2026学年山东省济南育英教育集团九年级上学期月考数学试题，共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知那么下列比例式中成立的是（）
A．B．C．D．
2．反比例函数的图象一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在如图所示的正方形网格中，以点O为位似中心，作△ABC的位似图形，若点D是点C的对应点，则点A的对应点是（ ）
A．EB．FC．GD．H
6．在同一平面直角坐标系中，函数与 （k为常数且）的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（ ）
A．B．C．D．
8．如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．已知点，在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
10．已知，且（是常数），则称点是“关联点”．若反比例函数的图象上总存在两个关联点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
二、填空题
11．如图，，直线，与、、分别相交于、、和点、、．若，，则的长是 ．
12．如图，若，且，，．则 ．
13．如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，函数 与反比例函数交于A、B两点， 点C在x轴上， 且， 若则k的值= ．
15．如图是将正方形变成与之面积相等的矩形的一种方法：在正方形中，点在边上，连结，于点F．以为边作矩形，使得经过点，交于点．若与的面积之比为，，则的长为 ．
三、解答题
16．解方程：
(1)
(2)
17．已知线段a、b、c满足，且．求a、b、c的值．
18．已知反比例函数的图象经过点．
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？
(3)判断点是否在这个函数的图象上，说明理由．
19．如图，四边形为平行四边形，E为边上一点，连接，它们相交于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，，若的长是关于x的一元二次方程的两个根，且．
(1)试求A点和B点的坐标；
(2)若点E为x轴上的点，且．求此时点E的坐标．
21．我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培．
(1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式；
(2)若，求电流的变化范围．
22．如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，交于H点．
(1)当点P恰好为中点时， mm．
(2)若矩形的周长为220mm，求出的长度．
23．如图，平行于y轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点A，C，与x轴交于点B，D，连接．点A，B刻度分别为5，2，直尺的宽度为2，，设直线的解析式为．
(1)请结合图象直接写出不等式的解集；
(2)求反比例函数解析式和直线的解析式；
(3)连接，点P为反比例函数上一动点，满足，求满足条件的点P的横坐标．
24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点E为x轴正半轴上一点，过点E作x轴的垂线，交反比例函数图象于点F，交一次函数图象于点G．当E、F、G三点恰好满足其中一点为另外两点连线的中点时，求点的坐标；
(3)在该反比例函数图象上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．【基础巩固】
(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．
《山东省济南育英教育集团2025-2026学年上学期九年级月考数学试题》参考答案
1．B
【分析】本题考查了比例的基本性质知识点，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质并能灵活运用它将等式进行变形．
根据比例的基本性质“两外项之积等于两内项之积”，对各选项逐一进行分析，看哪个选项变形后能得到．
【详解】A、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误；
B、由，根据比例的基本性质可得，符合已知条件，所以该选项正确；
C、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误；
D、由，根据比例的基本性质可得，不符合，所以该选项错误．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可．
【详解】解：反比例函数的，
点所在的反比例函数的，
反比例函数的图象一定经过的点是，
故选：D．
3．D
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明出得到，代入数值进行计算即可，熟练掌握相似三角形的对应边成比例是解此题的关键．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
树的高度为．
故选D．
4．D
【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】解：A、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
B、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
C、当时，
又∵，
∴，故此选项不符合题意；
D、当时，无法得到，故此选项符合题意．
故选：D．
5．D
【分析】连接并延长，根据位似变换的性质判断即可．
【详解】解：如图，连接并延长，
以点为位似中心，点D是点C的对应点，
位似比为，
则点A的对应点是H，
故选：D．
【点睛】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．
6．A
【分析】根据题意中的函数解析式和函数图象的特点，可以判断哪个选项中的图象是正确的．
【详解】解：根据函数可得，该函数图象与y轴的交点在x轴上方，排除B、D选项，
当k＞0时，函数的图象在第一、二、三象限，函数在第二、四象限，故选项A正确，
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．B
【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式．
把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可．
【详解】解：∵点在双曲线上，
∴，
∴双曲线，
∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
∴点的纵坐标为，点的纵坐标为，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答．
【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），
∴，，
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴
即，
∴，
整理得
∴
解得（舍去），，
故选：C
9．C
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象经过的象限以及增减性是解题的关键．
根据反比例函数的解析式得到反比例函数图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：反比例函数中，，
图象的两支位于第一、三象限，每个象限y随x的增大而减小，
当时，点在第一象限、在第三象限，，故A选项错误，不符合题意；
当时，则，点、均在第三象限，，故B选项错误，不符合题意；
当时，则，点、均在第三象限，，故C选项正确，符合题意；
当时，则，点在第三象限、在第一象限，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C
10．D
【分析】本题主要考查了关联点“关联点”的含义、反比例函数与二次函数的综合等知识点，根据题意建立参数方程成为解题的关键．
由以及相应字母的取值范围可得，然后根据题意得到关于x的方程，再结合求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，即
∵反比例函数的图象上总存在两个关联点，
∴，即且有两个不相等实数根，
∴，解得：，
当，即时，方程可化为，解得或0，但无意义，仅有，不符合题意．
综上，的取值范围是或．
故选D．
11．6
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，即，
解得，，
故答案为：6．
12．
【分析】本题利用了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
，
∵，
，
，
．
故答案为：．
13．9
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数的解析式，关于原点对称的点的性质，先根据题意得出，，解得，，即，再把代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴，两点关于原点对称，
即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数，
∴，，
∴，，
∴，
把代入，
得，
解得，
故答案为：9．
14．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点坐标，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，作轴于点D，由等腰三角形的性质可得，进而求出k的值．
【详解】解：如图，过点A作于点D，
∵，
∴，
∵函数 与反比例函数交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵该反比例函数图象在第二、四象限，即，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】由题意，结合两个三角形全等的判定定理得到，从而，，由正方形与矩形面积相等，可知，再根据与的面积之比为，设，，则，利用相似三角形的判定与性质得到、，设，则，，由勾股定理求出正方形边长，进而正方形与矩形面积相等，列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在正方形中，，，则，
在矩形中，，则，
，
，
，
，
，，
正方形与矩形面积相等，
，
与的面积之比为，
设，，则，
，
，
，
，则；
，
，
，则；
设，则，，
，
在中，，，，则由勾股定理可得，
，
，
，
正方形与矩形面积相等，
，即，
，解得或，
在正方形中，当点与点重合时，是等腰直角三角形，则由可知，此时，
当点在边上时，，即，解得，
取，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查结合综合，综合性强，难度非常大，涉及正方形性质、矩形性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等面积法、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识．根据题意，灵活选用相关几何性质，利用三角形面积比，结合三角形相似的判定与性质表示出相关线段长度是解决问题的关键．
16．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据配方法得到，解之即可；
（2）根据因式分解法得到，解之即可．
【详解】（1）解：
解得，．
（2）解：
或
解得，．
17．，，
【分析】本题考查了比例的性质，设，则，，，结合求出的值即可得解，熟练掌握比例的性质是解此题的关键．
【详解】解：设，则，，．
∵，
∴，
解得，
∴，，．
18．(1)
(2)这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大
(3)点不在这个函数的图象上
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）利用反比例函数的图象和性质即可解题；
（3）利用反比例函数的图象和性质即可解题．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数中，
即，
解得，
y与x之间的函数表达式为；
（2）在反比例函数中，，
这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大；
（3）将代入中，
可得，
点不在这个函数的图象上．
19．(1)见解析
(2)6
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质．
（1）根据平行四边形性质证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）根据（1）中结论求出，证明，然后利用相似三角形的对应边成比例即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)A点的坐标为；B点的坐标为；
(2)点E的坐标为或．
【分析】（1）用因式分解法解出一元二次方程，求出的长，即可求解；
（2）设点E的坐标为，根据相似三角形的性质得到，即可求出|m|的值，进而得到点E的坐标．
【详解】（1）解：方程，
∴，
解得：，，
∵，
∴，；
∴A点的坐标为；B点的坐标为；
（2）解：设点E的坐标为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点E的坐标为或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数及其增减性：
（1）根据反比例函数的定义设，将，代入即可求出k；
（2）根据反比例函数的增减性即可求解．
【详解】（1）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，
∴设，
当时，
；
（2）解：中，，
∴在时，随的增大而减小，
∴，
即．
22．(1)60
(2)20
【分析】对于（1），根据相似三角形的性质，可得到；
对于（2），根据可得，进而得到对应高之比等于相似比，，从而得到的长．
【详解】（1）解：∵P为中点，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：60；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴.
∵，
∴，
∴
∴．
∴四边形为矩形，
∴.
∵矩形的周长为，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质，理解相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
23．(1)
(2)反比例函数解析式为；直线的解析式为
(3)或
【分析】该题考查了一次函数的反比例函数综合，解一元二次方程，解题的关键是数形结合．
（1）结合图象即可写出不等式的解集；
（2）由与的长，及位于第一象限，确定出的坐标，将坐标代入反比例解析式中求出的值，确定出反比例解析式，由求出的长，即为的横坐标，代入反比例解析式中求出的长，确定出坐标，设直线解析式为，将与坐标代入求出与的值，即可确定出直线的解析式；
（3）过点D作直线的平行线l，即将直线向下平移个单位长度，同理将直线向上平移个单位长度，得到直线的解析式为，根据平行线间距离处处相等可得，点D到直线的距离等于点P到直线的距离，即此时，，联立和求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可得点的横坐标为2，点的横坐标为，
根据图象可知：不等式的解集为：，
故答案为：；
（2）解：点A，B刻度分别为5，2，
∴，
将点坐标代入，
得：，
；
又，
，
将和分别代入，
得，
解得，
∴直线的解析式为；
（3）解：∵直线的解析式为，，
过点D作直线的平行线l，
即将直线向下平移个单位长度，
则直线l的解析式为，
同理将直线向上平移个单位长度，得到直线的解析式为，
根据平行线间距离处处相等可得，点D到直线的距离等于点P到直线的距离，
即此时，，
联立和可得，整理得：，
解得：或，
即满足条件的点P的横坐标为或．
24．(1)，
(2)点E的坐标为或
(3)
【分析】（1）把点代入求得，再把点A坐标代入反比例函数解析式求得，联立方程组，求解即可；
（2）设，可得、，分类讨论：①若E为的中点，②若F为的中点，③若G为的中点，利用中点坐标公式列方程求解即可；
（3）求得，利用锐角三角函数可得，，分类讨论：当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接，利用锐角三角函数列方程求解；当点P在直线右侧时，，故此情况不存在，即可求解．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
把点代入得，，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点B，
联立方程组得，，
解得或，
∴；
（2）解：设，
∵点F在反比例函数的图象上，点G在一次函数的图象上，
∴、，
①若E为的中点，
∴，
整理得，，方程无解，
∴该情况不存在；
②若F为的中点，如图1，
∴，
整理得，，
解得或（舍去），
∴；
③若G为的中点，如图2，
∴，
整理得，，
解得或（舍去），
∴，
综上所述，点E的坐标为或；
（3）解：∵一次函数的图象与x轴交于点C．
把代入得，，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点P在反比例函数图象上，
设，
当点P在直线左侧时，如图3，过点A作轴于点N，过点P作交延长线于点M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
解得或（舍），
∴；
当点P在直线右侧时，
∵，
∴当时，点P在的延长线上，
∴此种情况不存在，
综上所述，点P坐标为．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题、一次函数与坐标轴的交点问题、锐角三角函数、平行线的性质、中点坐标公式、解一元二次方程、用待定系数法求反比例函数解析式及两点间的距离公式，熟练掌握相关知识，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
25．(1)见解析；
(2)18；
(3)．
【分析】（1）可证得 ， 从而 ， 进一步得出结论；
（2）可证得 ，从而得出 ，进而得出 ，从而 ， 设 ，则 ， 从而得出 ， 从而求得 的值，进一步得出结果；
（3） 延长 ，交于点 ， 可得出 ， 从而 ， 进而表示出 ，可证得 ， 从而 ，进而求得 的值，进一步得出结果；
【详解】（1）证明：∵，
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
设，则
（舍），
设 ， 则 ，
（舍去），
（3）解：如图，
延长 ，交于点 ，
设则
∵四边形 是菱形，
即
在 中，
∵ 为 的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即 ，
∴ (舍去)，
∴，
即菱形 的边长为
【点睛】本题考查了平行四边形、菱形的性质，直角三角形和等腰三角形的性质， 相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
D
D
A
B
C
C
D