江西省南昌中学三经路校区2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份江西省南昌中学三经路校区2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人:揭芬芳审题人:杨平涛
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
直线和直线，则“”是“”的（）
A 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足，若点的轨迹关于直线 对称，则 （）
A. 0B. 2C. 5D. 7
直线与圆 的位置关系是（）
相离B. 相切
C. 相交且直线过圆心D. 相交但直线不过圆心
已知两条平行直线与间的距离为 4，则 C 的值为（）
A
B. C. D. 或
已知圆 的圆心为 ，且经过点，过点 作圆 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A， B，则直线 AB 的方程为（）
B.
C. D.
若圆 ，圆 的两交点分别为 A，B，则 （）
B.C. D.
已知 三边所在直线方程分别为 ，
则 边上的高所在直线的方程是（）
B.
C. D.
已知两点 ， ，过点 的直线 l 与线段 AB（含端点）有交点，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ）
B. C. D.
二、多项选择题:共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
若直线 与曲线 有两个不同的公共点，则实数 k 的值可能是（）
B. C. D.
圆 和圆 的交点为 A，B，则有（）
公共弦 AB 所在直线的方程为
公共弦 AB 所在直线方程为
公共弦 AB 的长为
若 P 为圆 上一动点，则 P 到直线 AB 的距离的最大值为
已知圆 与直线 ，下列选项正确的是（）
直线过定点
直线与圆必相交
圆截轴所得弦长为
直线被圆截得的最短弦长为
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
过点且在 轴､轴上截距相等的直线方程为.
已知点在圆 外，则直线 与圆 O 的位置关系是．
已知圆 C 的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的
圆与圆 C 相外切，则 k 的取值范围为．
四、解答题：共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
已知三点，记 外接圆为圆 .
求圆 的方程；
若直线 与圆 交于 两点，求 的面积.
16 已知直线.
求经过点且与直线 垂直的直线方程；
求经过直线与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
过原点 O 的直线 l 与圆 交于 A，B 两点，且点 ．
过点 P 作圆 C 的切线 m，求切线 m 的方程；
求弦 的中点 M 的轨迹方程．
已知圆．
若直线 与圆 交于两点，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明：直线 与直线 （ 为坐标原点）的斜率之和为定值．
若直线 和直线 将圆 的周长四等分，求 的值．
已知圆 O：及点 ．
若线段 OC 的垂直平分线交圆 O 于 A，B 两点，试判断四边形 OACB 的形状，并给出证明；
过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．
2025~2026 学年度第一学期南昌中学三经路校区 10 月份考试
高二数学
命题人:揭芬芳审题人:杨平涛
一、单项选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
直线和直线，则“”是“”的（）
必要不充分条件B. 充分不必要条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由题设 ，
解得或
故，.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点 满足，若点的轨迹关于直线 对称，则 （）
A. 0B. 2C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】设点的坐标为 ，根据已知求出轨迹为圆，依题意圆心在直线上即可得解.
，即
，
【详解】设点的坐标为 ，因为，所以
整理得点的轨迹方程为，此方程表示一个圆．因为点的轨迹关于直线 对称，
所以圆心 在此直线上，代入得 ．
故选：B
直线与圆 的位置关系是（）
相离B. 相切
C. 相交且直线过圆心D. 相交但直线不过圆心
【答案】C
【解析】
【分析】先计算圆心到直线距离，通过比较圆心到直线的距离 和圆半径的大小关系，若距离等于半径则相切，小于半径则相交，大于则相离，同时，若圆心坐标满足直线方程，则直线过圆心.
【详解】圆 的圆心为 ，
圆心 到直线的距离为： ，
所以直线 过圆心，所以直线与圆相交且过圆心．
故选：C.
已知两条平行直线与间的距离为 4，则 C 的值为（）
B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行直线间的距离公式建立方程，通过解绝对值方程并结合条件 确定正确选项.
【详解】根据两平行直线的距离公式可得，解得 或 ，又因为 ，所
以
．
故选：B
已知圆 的圆心为，且经过点，过点作圆 的两条切线 PA，PB，切点分别为 A，
【分析】由题意求得其中一个切点的坐标，并求出 的斜率即可求解.
【详解】由题意，圆 的半径为圆 的标准方程为．当斜率不存在时，过点 的直线为 ，与圆 相切于点．
由圆的切线的性质可知，，
直线 AB 的方程为，即 ．故选：A.
若圆 ，圆 的两交点分别为 A，B，则 （）
B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】方法一：求得相交弦方程，由圆 的圆心为 ，半径为 2 即可求解；方法二：联立两圆的方程把两点坐标求出来即可.
【详解】方法一 将两圆的方程作差，可得，即直线 AB 的方程为，圆 的圆心为，
半径为 2，
则到直线的距离为 ，故．
B，则直线 AB 的方程为（
）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
解得
或
方法二 联立
所以．
故选：B.
已知 三边所在直线方程分别为 ，
则 边上的高所在直线的方程是（）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在 中， 边上的高必过点 B，联立 、 得出交点 B，设 边上的高所在直线的 斜率为 ，根据互相垂直直线斜率乘积为解出斜率 ，求出直线所在方程.
【详解】设 边上的高所在直线的斜率为 ，则有，
联立 、 方程，得交点 ，
中 边上的高过点 ，斜率为 ，所在直线的方程为，即 ．
故选：A.
已知两点 ， ，过点 的直线 l 与线段 AB（含端点）有交点，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ）
B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线、的斜率后即可求直线/的斜率的范围.
【详解】如图所示：
，而
，
故直线的取值范围为 .
故选：A.
二、多项选择题:共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
若直线 与曲线 有两个不同的公共点，则实数 k 的值可能是（）
B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】分析可知曲线 C 表示圆 的上半部分，根据图形结合直线与圆的位置关系运算求解.
【详解】由，得，可知曲线 C 表示圆 的上半部分．
且直线 过定点，
时，
；
当直线 过点
或 ．
当直线 与圆 相切时，，解得
由图可知，k 的取值范围是．
故选：ABD.
圆 和圆 的交点为 A，B，则有（）
公共弦 AB 所在直线的方程为
公共弦 AB 所在直线的方程为
公共弦 AB 的长为
若 P 为圆 上一动点，则 P 到直线 AB 的距离的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】两圆的方程作差可知公共弦 AB 所在直线的方程，由此可判断 AB，利用点到直线距离以及半径及勾股定理可以计算公共弦长，从而可以判断 C，数形结合找到 P 到直线 AB 的距离最大的情况即可判断 D.
【详解】由两圆的方程作差可知公共弦 AB 所在直线的方程为 ，即 ；故 A 正确，B
错误，
由
，
易知 ，半径，
则点 到直线距离，故弦长；故 C 正确，
当 ，并在如图所示位置时，
P 到直线 AB 的距离最大，为；故选：AD.
已知圆 与直线 ，下列选项正确的是（）
直线过定点
直线与圆必相交
圆截轴所得弦长为
直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由直线过定点判断 A，由定点在圆内判断 B，由弦长的计算判断 CD 即可.
令
解得
【详解】对于 A，由直线 ，整理可得 ， 则直线 过定点 ，所以 A 错误；
对于 B，圆的圆心为 ，半径，由定点 到圆心 的距离为
，得直线与圆必相交（当直线经过圆内一点时，直线与圆必相交；当直线经过圆上一点时，直线与圆必有公共点，即相交或相切），所以 B 正确；
对于 C，由圆心为 ，得圆心到轴的距离为 1，所以圆截 轴所得弦长为，所以 C 正
确；
对于 D，当定点与圆心的连线垂直于直线 时，截得的弦是最短的，此时最短弦对应的弦心距为，
所以最短弦长为，所以 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分.
过点且在 轴､轴上截距相等的直线方程为.
【答案】 或
【解析】
【分析】由题意，截距相等包括截距都为 0 和截距相等且不为 0 两种情况，分别用点斜式与截距式求解方程即得.
【详解】设直线在 轴､轴上的截距均为，
① 若 ，即直线过原点，设直线方程为 ，代入 ，可得，故直线方程为，即 ；
② 若 ，则直线方程为 ，代入 可得，
解得 ，故直线方程为 .
或
.
或
.
综上所述：所求直线方程为故答案为：
已知点 在圆 外，则直线 与圆 O 的位置关系是．
【答案】相交
【解析】
【分析】由在圆外, 得到大于半径, 列出不等式, 再利用点到直线的距离公式表示出圆心 到直线 的距离 , 根据列出的不等式判断 与 的大小即可确定出直线与圆的位置关系.
【详解】点 在圆外，
圆心 到直线 的距离: ,
直线 与圆 相交.故答案为：相交.
已知圆 C 的方程为 ，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的
圆与圆 C 相外切，则 k 的取值范围为．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由圆 C 的圆心到直线 的距离不大于两半径之和求解.
【详解】解：因为直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 相外切，所以圆 C 的圆心到直线 的距离不大于两半径之和，
即，化简得 ，
解得，
故答案为：
四、解答题：共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
已知三点，记 的外接圆为圆 .
求圆 的方程；
与圆 交于
若直线
【答案】（1）
（2）
【解析】
两点，求 的面积.
【分析】（1）设圆一般方程为 ，将 三点代入得到方程组，求出 ，即可得到圆 的方程；
（2）先求出圆心 到直线的距离 ，再利用勾股定理求出弦长 ，即可求出 的面积.
【小问 1 详解】
设圆 的一般方程为，
将 三点代入上式可得，，
解得 ，
所以圆 的一般方程为
将其化为标准方程为 ；
【小问 2 详解】
由（1）可知，圆心，半径.
则圆心 到直线的距离为，
所以，
故 的面积为.
已知直线.
求经过点且与直线 垂直的直线方程；
求经过直线与 的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据直线 的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解；
（2）联立直线与 的方程可得交点坐标，分截距为 0 和截距不为 0 两种情况分别求解.
【小问 1 详解】
由直线可得斜率为，
所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，
所以所求直线方程为，整理得 ；
【小问 2 详解】
联立，解得，即直线与 的交点为 ，当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，
代入 得 ，此时 ；
当直线的截距都不为 0 时，设直线方程为 ，
依题意，解得 ，此时直线方程为 ，
或
.
综上所述：所求直线方程为
过原点 O 的直线 l 与圆 交于 A，B 两点，且点 ．
过点 P 作圆 C 的切线 m，求切线 m 的方程；
求弦 的中点 M 的轨迹方程．
或
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，分直线斜率存在与不存在两种情况讨论，结合点到直线距离公式及相切条件求解即可；
（2）设 ，根据圆的性质，弦的中点与圆心的连线垂直于弦，即 ，再利用向量垂直的坐标表示即可求解．
【小问 1 详解】
由题知圆心，半径，
当直线斜率不存在时，直线方程为 ，
此时圆心到直线的距离，直线与圆相离，不符合题意；
当直线斜率存在时，设切线方程为，即，
圆心到直线的距离，即，整理得 ，解得 或，
所以切线的方程为 或 ．
【小问 2 详解】
设 ，圆心，
因为 M 弦 的中点，所以 ，又直线 l 过原点 O，所以 ， ，
，
整理得，
所以 M 的轨迹方程为．
已知圆．
若直线 与圆 交于两点，
（ⅰ）求 的取值范围；
（ⅱ）证明：直线 与直线 （ 为坐标原点）的斜率之和为定值．
若直线 和直线 将圆 的周长四等分，求 的值．
【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；
（2） ．
【解析】
【分析】（1）将直线代入圆方程消去，由 得 的取值范围；由韦达定理得；（2）设直线 和圆 交于点，直线与圆 交于点，则和为等腰直角三
角形，利用两平行线距离公式可求.
【小问 1 详解】
将直线的方程代入圆的方程，可得．
（ⅰ）因为直线与圆有两个交点，所以 ，解得，即 的取值范围是
．
（ⅱ）设， ，由根与系数的关系得
所以．
即直线 的斜率之和为定值．
【小问 2 详解】
设直线 和圆 交于点，直线 与圆 交于点 ．
因为直线 和直线 将圆 的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，连接 ，则 ，
所以 为等腰直角三角形，所以圆心 到直线 的距离为，
同理可得圆心 到直线 的距离为，故直线 和直线 间的距离为，所以
，即．
已知圆 O：及点．
若线段 OC 的垂直平分线交圆 O 于 A，B 两点，试判断四边形 OACB 的形状，并给出证明；
过点 C 的直线 l 与圆 O 交于 P，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线 l 的方程．
【答案】（1）四边形为菱形，证明见解析
（2） 或
【解析】
，得
，
【分析】（1） 的中点为， 求出 的垂直平分线，代入圆
由韦达定理及中点坐标公式得到 的中点为，再由 ，推导出四边形 OACB 为菱形．
（2）当直线的斜率不存在时，，当直线的斜率存在时，设的方程为 ，
，圆心到直线 的距离为，由平面几何知识得，推导出当且仅当时， 取得最大值，由此能求出直线的方程．
【小问 1 详解】
四边形 为菱形，证明如下： 的中点为，，
的垂直平分线为，即，代入圆，得，
设，
则
，
所以 的中点为，则四边形 为平行四边形，又 ，所以四边形 为菱形.
【小问 2 详解】
当直线的斜率不存在时，的方程为 ，
，
，
则 的坐标为，所以，当直线的斜率存在时，设的方程为
则圆心 到直线 的距离为，由平面几何知识得，
所以，
或
，
当且仅当，即，取得最大值为 ，此时由，解得
此时直线 的方程为或.