中考数学 专题练习05 函数基础与一次函数（河南专用）（解析版）

这是一份中考数学 专题练习05 函数基础与一次函数（河南专用）（解析版），共63页。试卷主要包含了由函数图象获取信息，动点问题的函数图象，一次函数的图象和性质，一次函数与二次函数的综合问题，一次函数的图象平移问题，一次函数与方程，一次函数与二次函数的简单综合，一次函数与几何的综合问题等内容，欢迎下载使用。

考点一、由函数图象获取信息
1．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（ ）
A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为
B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于
D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小
【答案】C
【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可．
【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意；
B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；
C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意；
D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意；
故选：C
2．（2024·河南·中考真题）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流I与使用电器的总功率P的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量Q与I的函数图象（如图2）．下列结论中错误的是（ ）
A．当时， B．Q随I的增大而增大
C．I每增加1A，Q的增加量相同D．P越大，插线板电源线产生的热量Q越多
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，准确从图中获取信息，并逐项判定即可．
【详解】解∶根据图1知：当时，，故选项A正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，故选项B正确，但不符合题意；
根据图2知：Q随I的增大而增大，但前小半段增加的幅度小，后面增加的幅度大，故选项C错误，符合题意；
根据图1知：I随P的增大而增大，又Q随I的增大而增大，则P越大，插线板电源线产生的热量Q越多，故选项D正确，但不符合题意；
故选：C．
3．（2022·河南·中考真题）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传感器是一种气敏电阻（图1中的），的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（ ）
A．呼气酒精浓度K越大，的阻值越小B．当K＝0时，的阻值为100
C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态D．当时，该驾驶员为醉驾状态
【答案】C
【分析】根据函数图象分析即可判断A，B，根据图3公式计算即可判定C，D．
【详解】解：根据函数图象可得，
A.随的增大而减小，则呼气酒精浓度K越大，的阻值越小，故正确，不符合题意；
B. 当K＝0时，的阻值为100，故正确，不符合题意；
C. 当K＝10时，则，该驾驶员为酒驾状态，故该选项不正确，符合题意；
D. 当时，，则，该驾驶员为醉驾状态，故该选项正确，不符合题意；
故选:C.
【点睛】本题考查了函数图像，根据函数图像获取信息是解题的关键．
4．（2021·河南·中考真题）如图1，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点，设，两点间的距离为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用图2得出当P点位于B点时和当P点位于E点时的情况，得到AB和BE之间的关系以及，再利用勾股定理求解即可得到BE的值，最后利用中点定义得到BC的值．
【详解】解：由图2可知，当P点位于B点时，，即，
当P点位于E点时，，即，则，
∵,
∴,
即,
∵
∴,
∵点为的中点，
∴,
故选：C．
【点睛】本题考查了学生对函数图象的理解与应用，涉及到了勾股定理、解一元二次方程、中点的定义等内容，解决本题的关键是能正确理解题意，能从图象中提取相关信息，能利用勾股定理建立方程等，本题蕴含了数形结合的思想方法．
考点二、动点问题的函数图象
5．（2023·河南·中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
A．6B．3C．D．
【答案】A
【分析】如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．结合图象可知，当点在上运动时，，，易知，当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，可知，过点作，解直角三角形可得，进而可求得等边三角形的边长．
【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点．
结合图象可知，当点在上运动时，，
∴，，
又∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当点在上运动时，可知点到达点时的路程为，
∴，即，
∴，
过点作，
∴，则，
∴，
即：等边三角形的边长为6，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．
考点三、一次函数的图象和性质
6．（2021·河南·中考真题）请写出一个图象经过原点的函数的解析式 ．
【答案】y=x（答案不唯一）
【分析】直接写出一个已经学过的经过原点的函数解析式即可．
【详解】解：因为直线y=x经过原点（0,0），
故答案为：y=x（本题答案不唯一，只要函数图象经过原点即可）．
【点睛】本题考查了学生对函数解析式的理解，解决本题的关键是理解并掌握函数解析式与函数图象的关系等．
7．（2022·湖南湘潭·中考真题）请写出一个随增大而增大的一次函数表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】在此解析式中，当x增大时，y也随着增大，这样的一次函数表达式有很多，根据题意写一个即可．
【详解】解：如，y随x的增大而增大．
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】此题属于开放型试题，答案不唯一，考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题关键．
考点四、一次函数与二次函数的综合问题
8．（2023·河南·中考真题）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象一定不经过（ ）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出、的正负情况，再由一次函数的性质解答．
【详解】解：由图象开口向下可知，
由对称轴，得．
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，解答本题的关键是求出、的正负情况，要掌握它们的性质才能灵活解题，此题难度不大．
9．（2023·河南·中考真题）小林同学不仅是一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对击球线路的分析．
如图，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，球网与y轴的水平距离，，击球点P在y轴上．若选择扣球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足一次函数关系；若选择吊球，羽毛球的飞行高度与水平距离近似满足二次函数关系．

(1)求点P的坐标和a的值．
(2)小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网．要使球的落地点到C点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式．
【答案】(1)，，
(2)选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近
【分析】（1）在一次函数上，令，可求得，再代入即可求得的值；
（2）由题意可知，令，分别求得，，即可求得落地点到点的距离，即可判断谁更近．
【详解】（1）解：在一次函数，
令时，，
∴，
将代入中，可得：，
解得：；
（2）∵，，
∴，
选择扣球，则令，即：，解得：，
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
选择吊球，则令，即：，解得：（负值舍去），
即：落地点距离点距离为，
∴落地点到C点的距离为，
∵，
∴选择吊球，使球的落地点到C点的距离更近．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用，理解题意，求得函数解析式是解决问题的关键．
专练一、平面直角坐标系中的规律探究问题
10．（2025·河南漯河·三模）如图，已知，，，，，，，，…，依此规律，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了点坐标的规律探究．解题的关键在于根据题意推导出一般性规律．根据题意可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，，据此可求得的坐标．
【详解】解：∵，，，，，，，…，，
∴可知个点坐标的纵坐标为一个循环，的坐标为，，
∵，
∴的坐标为．
故选：B．
11．（2025·河南漯河·三模）如图，平面直角坐标系中，，，点为的中点，将作以下操作：①将沿折叠，得到，点的对应点为点；②将沿折叠，得到，点的对应点为点；③将沿折叠，得到，点的对应点为点……按此规律操作，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，解直角三角形．利用旋转的性质求得点的坐标为，，点的坐标为，观察图形，每12个一次循环，余9，则点的坐标与的坐标相同，据此求解即可．
【详解】解：∵，，点为的中点，
∴点的坐标为，，，
∴，点的坐标为，
由折叠的性质得点的坐标为，
点的坐标为，
点的坐标为，
观察图形，每12个一次循环，
∵余9，
∴点的坐标与的坐标相同，
由轴对称的性质，点的坐标为，
故选：A．
12．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，规定点的“豫点”是，例如：点的“豫点”是即；点的“豫点”是即；…，则的“豫点”的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标规律，根据题意先求得前几个点的坐标，找到规律，4次一循环，可得和一样，即可求解．
【详解】解：依题意，点的“豫点”是即；
点的“豫点”是即；
点的“豫点”是即
点的“豫点”是即
点的“豫点”是即
点的“豫点”是即，……
4次一循环，
∵
∴的“豫点”的坐标是，
故答案为：．
13．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，点B在y轴的正半轴上，轴，．点A、B的坐标分别是、将四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点C的对应点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了图形的旋转，坐标与图形，根据旋转的性质得点坐标的变换规律是解题的关键．
根据题意可得，再根据旋转的性质找到点的变化规律，进而可求解．
【详解】解：∵轴，．点A、B的坐标分别是、，
∴，点的纵坐标为，
∴，即点的横坐标为，
∴，
∵四边形绕点O逆时针旋转，每次旋转，
∴四边形每转动4次，点C回到最初位置，
∵，
∴第2026次旋转结束时，点C绕点O逆时针旋转，
∴第2026次旋转结束时，点C与未旋转时点C关于原点对称，
∴第2026次旋转结束时，点的坐标为，
故答案为：．
14．（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，，正六边形的顶点A，D的坐标分别为，，点M是正六边形的边上一动点，连接，在的右上方作等腰直角三角形，其中．点M从点A出发，按照顺时针的方向（即）以每秒个单位长度的速度运动，则第2025秒时点N的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形综合问题，点坐标规律探索，解直角三角形的相关计算，解题关键是根据前几个点找出规律．
先证明是等边三角形，从而可求出，于是可得正六边形的周长为6，再求出点运动一周用时间，从而可得出第2025秒时点的位置与第9秒时点的位置相同，即与的中点重合，再求出，然后证明，利用全等三角形的性质可得出，，进而可求得，就可求得点N的坐标．
【详解】解：连结，
∵六边形是正六边形，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，
又点A，D的坐标分别为，，
∴，
正六边形的周长为6，
点运动一周用时（秒）．
，
第2025秒时点的位置与第9秒时点的位置相同，即与的中点重合，
如图，连结，，则，
与上面同理可证：是等边三角形，
∴，
又由正六边形的轴对称性可知轴，
∴．
过点作轴于点，则，
∵在的右上方作等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
又
∴，
，，
，
．
故答案为：．
专练二、动点问题的函数图象
15．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，矩形中动点从点出发，沿路径匀速运动，设点运动的距离为，线段的长为，关于的函数图象如图②所示，则当为的中点时，的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了动点问题的函数图象，矩形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
由图象可得，，，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】当点P和点C重合时，线段的长最大，当点P和点D重合时，运动停止
∴由图象可得，，
∵四边形是矩形
∴
∴
∴当为的中点时，
∴．
故选：B．
16．（2025·河南郑州·三模）如图①，，是上的两定点，圆上一动点从点出发，按逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是，图②是随变化的关系图象，则下列说法错误的是（ ）
A．的半径为B．，两点间的距离为
C．点的运动速度为 D．的度数为
【答案】D
【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
由题图得，抛物线顶点坐标，即时，最长，即此时是直径，据此可判定、、，最后根据，结合等边三角形的性质可对选项D进行判断．
【详解】解：A、由题图得，当时，，即此时、、三点共线，则的半径，故A选项正确，不符合题意；
B、当时，点到达点处，此时，
、两点间的距离为，故B选项正确，不符合题意；
C、点从点运动到、、三点共线的位置时，走过的角度为，则走过的弧长为，运动时间为，
点的运动速度是，故C选项正确，不符合题意；
D、当点运动到点时，，即，
是等边三角形，
，故D选项错误，符合题意．
故选：D．
17．（2025·河南信阳·三模）如图，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发， 沿匀速运动， 回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作于，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键．
【详解】解：如图，过点作于，
由函数图象可知，，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点是边的中点，
∴，
∴，
又由函数图象可得，，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，，
由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点，
∴，
故选：．
18．（2025·河南周口·三模）如图1，在中，，点从点出发，沿折线运动，是边上一定点．设点运动的路程为，的长度为，图2是点运动时随变化的关系图象，则边的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【答案】B
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，勾股定理，先根据函数图象得出当点P运动到点B时，，从而得出，根据时，，得出，根据勾股定理得出，从而得出，求出点P运动到点C时x的值，从而得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
根据函数图象可知：，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
19．（2025·河南驻马店·三模）如图，在边长为的正方形中，动点P从点A出发沿A→B的方向以1 cm/s的速度运动；同时，动点Q从点D出发沿D→C→B的方向以的速度运动．当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．设的面积为y（），运动时间为x（），下列能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数与二次函数，正方形的性质，动点问题，正确作出图形是解题的关键。
根据点Q所在正方形的不同边上，分类讨论，逐一计算，即可解答。
【详解】解：①当点Q在上时，如图
有，，
∴（）．
此时y与x之间的函数为一次函数．
②当点Q在上时，如图
有，，
∴，
∴（）．
此时y与x之间的函数为二次函数．
综上所述，符合当时，图像为一次函数；时，图像为二次函数，只有B选项．
故选B．
专练三、跨学科背景下的图象判断、辨别问题
20．（2025·河南郑州·三模）下面的四个问题中都有两个变量：①新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，电池剩余电量与使用时间；②用固定长度的新型导热线型材料，制作矩形形状的芯片散热框架，矩形面积与一边长；③点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度与燃烧时间；④将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量与放水时间．其中，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，掌握函数图象表示的意义是解题的关键．根据汽车电池剩余电量随使用时间的增加而减小判断即可；根据矩形的面积公式判断即可；根据蜡烛的剩余高度随燃烧时间的增加而减小判断即可；根据水箱中的剩余水量随放水时间的增加而减小判断即可．
【详解】解：新能源汽车电池充满电后，使用智能驾驶功能匀速耗电，则电池剩余电量随使用时间的增加而减小，故符合题意；
用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长，矩形的长宽之间存在关系，可以用表示另一边长，根据面积公式得到的是二次函数，故不符合题意；
点燃一根粗细均匀的蜡烛，蜡烛的剩余高度随燃烧时间的增加而减小，故符合题意；
将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量随放水时间的增加而减小，故符合题意；
所以，变量与之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是．
故选：D．
21．（2024·河南商丘·二模）光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大，植物生长越快．某机构在水资源及光照充分的条件下，研究温度（单位：℃）对某品种草莓光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响，得到如图所示的图象，根据图象分析，下列四个结论中不正确的是（ ）
A．草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小
B．当温度为45℃时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓生长最快时的温度约为35℃
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的信息，进行判断即可得．
【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确；
由图象，当温度为时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故选项B正确；
由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确；
由图象，当温度约为时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生长最快，故选项D正确；
故选：C．
22．（2025·河南驻马店·三模）现有质量相同、初温均为的两种物质，通过红外加热器加热相同时间（即相同），已知，则的温度随加热时间变化的图象最符合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据两种物质的初温均为且M比N的温度升高得快，即可得出M和N的温度随加热时间变化的图象．
【详解】解：∵相同，两种物质的质量相同，且，
∴M比N的温度升高得快，
∵两种物质的初温均为，
∴M和N的温度随加热时间变化的图象是D．
故选：D．
23．（2025·河南安阳·三模）某教材《阅读与思考》中的部分内容如下：
某数学社团通过查阅资料，了解到放射性物质的质量减为原来的一半所用的时间是一个不变的量，我们把这个时间称为此种放射性物质的半衰期．结合镭的放射规律的函数图象，下列说法正确的是（ ）
A．当时间为3240年时，的值为
B．镭的半衰期是3240年
C．镭缩减为所用的时间大约是1620年
D．镭缩减为所用的时间大约是4860年
【答案】D
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息，根据函数图象以及题意，逐项分析判断，即可求解．
【详解】A．由图象可得，当时间为3240年时，的值为，故该选项错误，不符合题意；
B．根据题意，结合图象可得镭的半衰期是1620年，故该选项错误，不符合题意；
C．镭缩减至需一个半衰期，缩减至需两个半衰期，即（年），故该选项错误，不符合题意；
D．缩减至需一个半衰期，缩减至需两个半衰期，缩减至需三个半衰期，即（年），故该选项正确，符合题意；
故选D．
24．（2025·河南商丘·三模）如图1，质量为m的小球从某处由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度v（cm/s）和弹簧被压缩的长度x（cm）之间的函数关系（可近似看作二次函数）图象如图2所示．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速
B．当弹簧被压缩至最短时，小球的速度最大
C．若小球刚接触弹簧时的速度，则在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为
D．在小球压缩弹簧的过程中，弹簧的长度为9cm时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．
利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可．
【详解】解：A. 小球从刚开始接触弹簧速度并未减速，该选项错误，故不符合题意；
B. 当弹簧被压缩了时，小球的速度最大，该选项错误，故不符合题意；
C.抛物线的对称轴为直线，
所以的对称点为，
假设抛物线的解析式为，
将代入解析式得，
解得，
∴抛物线解析式为，
当时，函数值最大，最大值为，
所以，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，
该选项正确，符合题意；
D.当弹簧的长度为9cm时，被压缩了，此时，小球速度为0，与刚接触弹簧时的速度不相同，该选项错误，故不符合题意；
故选：C．
25．（2025·河南南阳·模拟预测）在化学实验中，小强研究A、B、C三种固体物质的溶解度，如图为这三种固体物质的溶解度曲线，请根据图象回答，下列说法中错误的是（ ）
A．C种物质的溶解度随温度的增加而变小
B．当温度为时，A，C两种物质的溶解度相等
C．当温度为时，A种物质的溶解度是
D．当温度时，A，B，C三种物质的溶解度由大到小的顺序是
【答案】D
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，准确获取图象信息是解题的关键．根据函数图象的信息逐项判定即可．
【详解】解：根据函数图象的性质数形结合逐项分析判断如下：
A、C物质的溶解度随温度的增加而减小，故A选项说法正确，不符合题意；
B、当温度为时，A，C两种物质的溶解度相等，故B选项说法正确，不符合题意；
C、当温度为时，A种物质的溶解度是，故C选项说法正确，不符合题意；
D、当温度时，在A、B交点，表示该温度下两种物质的溶解度相等，故D选项说法错误，符合题意；
故选：D．
26．（2025·河南南阳·二模）民权葡萄酒，河南省商丘市民权县特产，1954年，民权县开始葡萄种植，1958年始建葡萄酒厂，20世纪60年代进入国际市场．2003年3月，原国家质检总局正式批准对“民权葡萄酒（民权牌）”实施地理标志产品保护．某社会实践小组去民权葡萄酒厂进行探究实践学习，研究酵母菌发酵技术，如图1，是在显微镜下观察到的酵母菌结构，图2是发酵过程中酵母菌数量、酒精和葡萄糖浓度不断发生变化的近似图象，请分析图象，并判断以下说法中错误的是（ ）
A．在发酵前期的小时内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加
B．在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖
C．在发酵后期，葡萄糖浓度的减少抑制了酵母菌的生长繁殖
D．随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐增加，增加了葡萄酒的口感
【答案】D
【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息．理解函数图象中的数据含义及变化趋势，再逐一分析判断即可．
【详解】解：A、在发酵前期的小时内，酵母菌数量的变化趋势是逐渐增加，说法正确，本选项不符合题意；
B、在发酵后期，酒精浓度的升高抑制了酵母菌的生长繁殖，说法正确，本选项不符合题意；
C、在发酵后期，葡萄糖浓度的减少抑制了酵母菌的生长繁殖，说法正确，本选项不符合题意；
D、随着发酵时间的增加，葡萄糖的浓度逐渐减少，增加了葡萄酒的口感，原说法错误，本选项符合题意；
故选：D．
27．（2025·河南濮阳·二模）研究表明，运动后感觉疲劳与体内血乳酸浓度升高有关．运动员未运动时体内血乳酸浓度低于；若运动后降至以下，疲劳基本消除．科研人员根据数据绘制了运动员剧烈运动后体内血乳酸浓度随时间变化的图象．下列叙述正确的是（ ）
A．运动后40分钟时，采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同
B．剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为
C．剧烈运动后，慢跑80分钟才能基本消除疲劳
D．剧烈运动后，慢跑放松有助于快速消除疲劳
【答案】D
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，理解函数图象的意义并从中获取有用的信息是解题的关键．根据函数图象的特征逐项分析即可．
【详解】解：A、由图象知，当时，虚线所在图象高于实线所在的图象，即采用慢跑方式放松时的血乳酸浓度低于采用静坐方式休息时的血乳酸浓度，故叙述错误；
B、由图象知，剧烈运动后，血乳酸浓度最高约为左右，故叙述错误；
C、由图象知，剧烈运动后，慢跑40分钟能基本消除疲劳，故叙述错误；
D、由图象知，剧烈运动后，慢跑放松相比于静坐方式放松更有助于快速消除疲劳，故叙述正确；
故选：D．
专练四、一次函数的图象和性质
28．（2023·陕西·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，
函数是经过第一、三、四象限的直线，
故选：D．
29．（2025·河南驻马店·三模）一次函数的图象如图所示，若，，则的值可以是（ ）
A．B．0C．D．5
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，求出m的范围，结合选项即可得到答案．
【详解】解：∵一次函数图象过一，二，四象限，
∴，
∵，，
∴，
解得：，
∵，
∴的值可以是．
故选：B．
30．（2025·河南驻马店·三模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查判断一次函数的图象所过的象限，根据的符号进行判断即可．
【详解】解：一次函数为，其中，．
∴图象经过第二、第一、第四象限，不经过第三象限．
故选：C．
31．（24-25八年级上·山西晋中·期末）已知点都在经过原点的同一条直线上，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的性质，先由已知求得直线解析式，再根据正比例函数的性质可得的大小关系．
【详解】解：根据题意可设直线解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线解析式为，
∵，，
∴．
故选：B．
32．（2025·河南·模拟预测）已知是一次函数的图象上的两点，且当时，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，根据当时，，可判断出此函数是减函数，再由一次函数的性质即可列出不等式，求出的取值范围．解题的关键是熟知一次函数的增减性，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
【详解】解：∵是一次函数的图象上的两点，且当时，，
∴此函数为减函数，
∴，
∴．
故选：A．
33．（2025·河南平顶山·模拟预测）已知点都在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查比较一次函数值的大小，由一次函数可得出随的增大而减小．又根据即可得出．
【详解】解：∵一次函数中，
∴随的增大而减小．
又∵，
∴．
故选A．
34．（2025·河南周口·三模）在平面直角坐标系中，记一个点的纵坐标与横坐标的比值为该点的“特征值”．如图所示，正六边形位于第一象限，其上下两边与轴平行，则该正六边形六个顶点中“特征值”最小的是点 ．
【答案】B
【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据“特征值”的定义可知，由正比例函数可得，即“特征值”为，各个顶点分别与原点连接，越靠近轴越小，据此判断即可．
【详解】解：各个顶点分别与原点连接，
由正比例函数可得，
∴“特征值”为，
∵当时，，
∴越靠近轴越小，
∴由函数图象可得直线的最小，即“特征值”最小，
故答案为：B．
35．（2025·河南周口·三模）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象不经过第一象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据题意写出符合该条件的一次函数的表达式即可，掌握一次函数的图象特点是解题的关键．
【详解】解：符合条件的一次函数的表达式可以是，
故答案为：．
36．（2025·河南周口·模拟预测）甲、乙两位同学各给出某函数的一个特征．甲：“函数值 y随自变量x增大而减小．”乙：“函数图象经过点．”请你写出一个同时满足这两个特征的函数表达式 ．（写出一个符合条件的表达式即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，待定系数法；
根据函数值 y随自变量x增大而减小可设函数为，再把点代入求出b即可．
【详解】解：根据题意，甲：“函数值y随自变量x增大而减小”；
可设函数为：，
又满足乙：“函数图像经过点”，
把代入得：，
∴，
则函数关系式为，
故答案为：（答案不唯一）
37．（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，，，总结出规律即可得解．
【详解】解：设点，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，，
，，
将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，
，，，，，
第次平移后，点的坐标为，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
专练五、一次函数的图象平移问题
38．（2025·河南南阳·二模）将直线向下平移个单位长度后，经过点，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，直线上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的平移规律是解题关键．
由题意求得直线平移后的解析式为，把点的坐标代入，即可求解．
【详解】解：将直线向下平移个单位长度后的解析式为，
直线经过点，
得：，解得：．
故选：D．
39．（2025·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向右平移个单位，得到一个正比例函数图象，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可．用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式，求得平移后的函数解析式是解题的关键．
【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后，得到新图象的解析式为，即，
把代入，得：，
解得：，
即的值为．
故选：B．
40．（2025·河南驻马店·三模）将直线向下平移2个单位长度后，所得的直线的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换．根据函数图象的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
【详解】解：根据平移的规则可知：
将直线向下平移2个单位长度后得到的直线解析式为：，
故答案为：．
41．（2025·河南周口·二模）将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，求出将一次函数的图象向右平移个单位，所得一次函数解析式为，即，再根据平移后的图象不经过第二象限，得，解不等式即可．
【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的解析式为，即，
因为平移后的图象不经过第二象限，
所以，
解得，
故答案为：．
42．（2025·河南驻马店·三模）如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的规律，点的坐标，线段的中点，先理解题意，把代入，得，即，再结合，且是的中点，得出点A的坐标为，因为将沿射线平移，当点的对应点与点重合，得出平移规律，运用平移规律得出点A的对应点坐标，即可作答．
【详解】解：∵一次函数的图象经过中点，
∴把代入，
得，
∴，
∵，且是的中点，
∴，
∴，
∴点A的坐标为
∵将沿射线平移，点的对应点与点重合，
∴平移规律是向左平移个单位，向下平移个单位，
∵点A的坐标为
故，
即点A的对应点坐标为，
故答案为：．
43．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系中，点，，点C在第二象限内且，，交y轴于点D，将沿x轴向左平移使点D落在上，则平移后的点B对应的点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查坐标与图形，一次函数的应用，平移等知识，运用勾股定理、三角形面积公式求出点C的坐标，进而得到直线和直线的函数解析式，求出点D的坐标，再根据平移后点D落在上求出平移距离，从而得到点B平移后对应点的坐标．
【详解】解：∵点，，
∴．
又∵， ，
∴，
过点C作x轴的垂线，垂足为M，
∵，
∴，
∴，
∴
则点C的坐标为
令直线的函数解析式为，
则，
解得：
∴直线的函数解析式为，
同理可求出的函数解析式为：，
将代入，则，
∴点，
将代入，
解得：，
∴沿x轴向左平移个单位长度后，点D落在上，
∴，
则平移后点B对应的点的坐标为，
故答案为：
专练六、一次函数与方程、不等式
44．（2025·河南南阳·三模）已知点在直线上，且在直线的下方，则的值可能是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【分析】此题考查了一次函数和一元一次不等式的联系，解法一：画出图象根据交点坐标即可求出答案；解法二：．求得，即可得到答案．
【详解】解法一：如图，由图象可得直线与直线的交点坐标为，
数形结合，可得，
故选：A．
解法二：点在直线上，
．
对于，当时，
∵点在直线的下方，
，即，
解得．
，
即
故选：A．
45．（2025·河南南阳·模拟预测）已知直线与相交于点，则关于x的不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象得到当时，直线都在直线的下方或重合，即不等式的解集为，然后用数轴表示解集．
【详解】解：如图所示，
当时，，
所以关于x的不等式的解集为，
用数轴表示为：．
故选：C．
46．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数（k为常数，）的图象分别与x，y轴交于A，B两点，，则当时，x的取值范围为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数与不等式，从函数图象的角度看，就是确定直线的解集，就是图象在x轴下方部分所有的点的横坐标所构成的集合，掌握数形结合思想是解题的关键．
根据函数图象解答即可得到时x的取值范围．
【详解】解：∵，
∴，
由函数图象可得，当时，，
∴的取值范围为，
故选：D．
47．（2025·河南南阳·一模）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（m，n为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论．
【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的上方，
所以关于x的不等式的解集是，
所以在数轴上表示的解集，只有选项C符合．
故选：C．
48．（2025·河南安阳·模拟预测）已知方程组
(1)列表取值：二元一次方程有无数组解，请补充下面表格，使上下每一对x，y的值都是二元一次方程的解，则_______，_______．
(2)实践操作：把x的值作为点的横坐标，所对应的y的值作为点的纵坐标，描出表格中的值所对应的点，并把这些点按照横坐标从小到大的顺序依次连接起来．你有什么发现？
(3)类比探究：你能用同样的方法在同一坐标系中画出以二元一次方程的解为横、纵坐标的点并连成线吗？参考表格：
由图象可知，（2）和（3）中的图象的交点坐标为_______；
(4)发现特征：解二元一次方程组结合图象写下你的发现．
【答案】(1)4，1
(2)画图见解析，这些点在一条直线上
(3)表格和函数图象见解析，
(4)，方程组的解中x的值是交点的横坐标，y的值是交点的纵坐标
【分析】本题主要考查了画一次函数图象，一次函数与二元一次方程之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，正确理解题意是解题的关键．
（1）把对应的数值代入到中计算求解即可；
（2）先描点，再连线画出对应的图象即可得到结论；
（3）先列表，再描点，连线画出对应的图象即可得到结论；
（4）利用加减消元法解方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：在中，当时，，
∴，即；
在中，当时，，
∴，即；
（2）解：如图所示，即为所求．
发现这些点在一条直线上．
（3）解：列表如下：
画函数图象如下所示：
由函数图象可知，两个函数的交点坐标为；
（4）解：
得：，解得，
把代入①得，，解得，
∴原方程组的解为,
我发现：方程组的解中x的值是交点的横坐标，y的值是交点的纵坐标．
专练七、一次函数与二次函数的简单综合
49．（2025·河南南阳·二模）若二次函数 的图象如图所示，则直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限．
【详解】解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点位于y轴的负半轴，
，，，
，
，，
直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选A．
50．（2025·河南漯河·一模）如图，这是一次函数的图象，则二次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出， ，再判断二次函数的图象特征，进而求解．
【详解】解：由一次函数的图象可得：，，
∴二次函数图象的对称轴是直线，与轴的交点在正半轴，符合题意的只有A．
故选：A．
51．（2025·河南濮阳·一模）已知二次函数和一次函数，则这两个函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质．熟练掌握二次函数和一次函数的图象的性质是解答本题的关键．本题可先由二次函数的图象得到字母系数a、b的正负，再与一次函数图象得到字母系数的正负，相比是否一致．
【详解】解：A、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意．
B、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意．
C、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项符合题意．
D、图象中二次函数，，一次函数，，故此选项不符合题意．
故选：C．
专练八、一次函数与几何的综合问题
52．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向上平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数图象的几何变换．根据题意求得正方形各顶点的坐标，然后根据待定系数法求得直线l的解析式，直线平移，斜率不变，设平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可．
【详解】解：∵长为3的正方形中，点的坐标为，
∴，，
将直线沿轴向上平移个单位后扔解析式为，，
当直线与正方形有唯一一个交点时，即直线经过点B，D，
当经过点D时，有，解得，；
当经过点B时，有，解得，；
所以，直线与正方形有交点，则的取值范围是，
故选：B．
53．（2025·河南郑州·一模）如图，四边形为矩形，A，C分别在坐标轴上， ，，将绕点A顺时针旋转得，交x轴于点E，则点E坐标为 （ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，正确作出辅助线构造全等三角形成为解题的关键．
如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，易得是等腰直角三角形，其中；过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，则四边形是矩形；证明可得，；然后证明，根据相似三角形的性质列比例式可得；设，则，则，然后求得m的值，进而确定点H的坐标；再运用待定系数法求得直线AH的表达式为，最后求得点E的坐标即可．
【详解】解：如图，延长交x轴于点F，过点F作交的延长线于点H，

∴是等腰直角三角形，其中
过点H作x轴的平行线，交y轴于点M，过点F作于点 N，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴，
∵
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
∴ ，即，解得：，
∴，
设，则，
∴
∴，解得∶，
∴，
设直线的表达式为，
将代入，得，解得：
∴直线AH的表达式为，
令，则，解得：，
∴点E的坐标为．
故选C．
54．（2025·河南南阳·二模）如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“等垂点”，如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“等垂点”，连接，则的最小值是 ，此时点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】设，过点作轴，证明，求得的坐标，求得点的轨迹在上，当垂直直线时，取得最小值，据此即可求解．
【详解】解：如图，设，过点作轴，
，
，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，
点在上，
当垂直直线时，取得最小值，
设直线与轴和轴的交点分别为，
令，得，令，得，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，即的最小值是，
此时，点的坐标为，
∴点的坐标为，
∵，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数，求得点的坐标是解题的关键．
55．（2025·河南·二模）如图，已知正方形的顶点与原点重合，顶点A、C分别在轴、轴上，顶点．将正方形向左平移，点恰好落在的图象上时，此时点的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了正方形平移，熟练掌握正方形性质，平移性质，一次函数性质，是解题的关键．当平移到上时，，求出x值，可得移动的距离，根据即得的坐标．
【详解】解：∵正方形的顶点与原点重合，顶点A、分别在轴、轴上，顶点．
∴，
∵将正方形向左平移，点恰好落在的图象上，
∴把代入中，
得，
∴．
∴平移的距离为，
∴的对应点的坐标为．
故答案为：．
56．（2025·河南平顶山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一点，过点作的垂线交直线于点，当点在轴上移动时，线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合、相似三角形的判定与性质、一元二次方程根的判别式，过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，设点，利用待定系数法求出直线的解析式，因为点在直线上，所以可以设点的坐标为，则，从而可得，，根据可得：，整理可得：，因为点在轴上，所以方程一定有实数根，所以，从而可求有最大值，则有最小值，把代入求出最小值即可．
【详解】解：如下图所示，
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，设点，
设直线的解析式为，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
，
设点，则，
，，
，
，
轴，
，
，
又，
，
，
即，
整理得：，
点在轴上，
方程必有实数解，
，
即，
，
解得：（舍去）或，
取最大值为
．
故答案为：．
57．（2025·河南濮阳·一模）如图，两座城市和在平面直角坐标系中的坐标为、，铁路所在的直线为，计划在铁路上修建一个站点，使站点到两城市的距离和最小，则站点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了轴对称的性质，待定系数法求一次函数的解析式，求两直线的交点坐标，两点之间，线段最短等．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．先确定点关于直线对称的点的坐标，连接与直线的交点即为点，再求出直线的解析式，联立方程组，求出两直线的交点坐标即可．
【详解】解：作点关于直线对称的点，连接，如图：
∵点与点关于直线对称，
∴，
故，
当点、、三点共线时，的值最小，最小值为线段的长，
即点是与直线的交点；
∵点关于直线对称点坐标为，
∴点关于直线对称的点的坐标为，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
∵点是直线与直线的交点，
故联立方程组，
解得：，
即点的坐标为．
故答案为：．
58．（2025·河南郑州·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在直线：上．将正方形沿轴正方向平移个单位长度，当点的对应点落在直线上时，的值为 ，当点的对应点落在直线上时，的值为 ．
【答案】
【分析】过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点B作于点F，通过证明，，得出点C和点B的坐标，再求出直线的解析式为，设点C平移后的点为，点B平移后的点为，根据平移的性质可知，点C和点纵坐标相等，点B和点纵坐标相等，求出点和的坐标，即可解答．
【详解】解：过点A和点C作x轴的垂线，垂足分别为点D和点E，过点B作于点F，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点C平移后的点为，点B平移后的点为，
①当在l上时，，
解得：，
∴，
∴，
②当在l上时，，
解得：，
∴，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，一次函数，全等三角形的判定和性质，平移的性质，解题的关键是正确画出辅助线，构造全等三角形，掌握正方形的性质，平移的性质，以及用待定系数法求解一次函数解析式的方法和步骤．
59．（2025·河南周口·模拟预测）如图，在平行四边形中，， ，点P是边上的动点，连接，以为直角边向右侧构造等腰直角且．
（1）连接，当时，的长是 ；
（2）当点P从点A 运动到点B 的过程中，连接，则的最小值是 ．
【答案】 / /
【分析】本题主要考查了平行四边的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、一次函数与几何的综合等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）根据直角三角形中的边角关系得：、，由已知可知： 点在上，，从而完成解答；
（2）设，以点A为原点、所在直线建立平面直角坐标系，分别过点D、作直线的垂线段，则，由(1)知：，通过分类讨论：当、、三种情况，由“”证明得到点的坐标，随着点P的运动，点在直线上运动，由“垂线段最短”知：当与直线垂直时，的值最小，从而求出的最小值．
【详解】解：（1）∵在平行四边形中，， ，
∴如图：当时，，，
∴，，
∵等腰直角且，
∴点在上，，
∴，
∴；
故答案为：．
（2）当点P从点A运动到点B的过程中，设，以点A为原点、所在直线建立平面直角坐标系，分别过点D、作直线的垂线段，则，
由(1)知：，
如图：当时，则，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，这里；
当时，由(1)知： 当点在上，，
此时，，即，这里；
如图：当时，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，这里；
综上所述，随着点P的运动，点在直线上运动；
∴当与直线垂直时，的值最小，
此时直线与x轴的夹角是，从而与的夹角也是，
设直线与的交点为G，则，
当时，则，解得：，
∴，
在中，．
故答案为：．
60．（2025·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中放置一块等腰直角三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点．
(1)用尺规作出直线l；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合应用，垂直平分线，全等三角形的判定与性质，做垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题意作出线段的垂直平分线即可；
（2）利用一线三直角证明继而可求出点C坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，即可求出双曲线中的k值．
【详解】（1）解：作线段的垂直平分线即为所求的直线l，如图所示：
（2）解：如上图，作轴，垂足为F，
∴，
由直线的解析式为，
令时，，解得，
令时，，
∴，，
，
，
∴
∵为等腰直角三角形，
∴，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵直线，且过的中点，
∴点D为线段的中点，
∴，
∵双曲线经过点，
∴．
61．（2025·河南驻马店·三模）如图1，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，其中，直线经过点，且与线段所夹的锐角为．已知．
(1)点的坐标为_____________，直线的表达式为_____________．
(2)将直线向下平移个单位长度，平移后的直线交线段于点，交线段于点，将矩形沿直线折叠，点的对应点分别为．
①如图2，当点和点重合时，请通过推理判断的形状，并求出此时的值．
②在直线平移的过程中，当四边形与矩形重叠部分（例如图3中的阴影部分）是四边形，且该四边形满足“一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角”时，请直接写出直线的表达式．
【答案】(1)；
(2)①等腰三角形，；②直线的表达式为或．
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，一次函数与几何图形综合，解直角三角形，等腰三角形的性质与判定；
（1）根据坐标系与矩形的性质求得的坐标，进而根据与线段所夹的锐角为．，得出点的坐标，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）①由折叠的性质，得．进而先证得是等腰三角形，过点作于点，则四边形是矩形，，由勾股定理，得，求出的值，即可求解；
②分两种情况讨论，根据折叠的性质得出，结合，根据解直角三角形，即可求解．
【详解】（1）解：如图，设直线与交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴
∵，
∴
∴
设直线的解析式为，代入
解得：
∴的解析式为：
故答案为： ；．
（2）①由折叠的性质，得．
，

，

是等腰三角形．
如图，过点作于点，则四边形是矩形，，
，
，
．
由勾股定理，得，
，
解得．
②解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，，
设交与点，当时，

∴
设，则
∴
∵折叠，
∴
∴
又∵
∴
∴
解得：
∴即
由（1）可得直线的表达式为，代入
∴直线的表达式为
如图，过点作于点，则四边形是矩形，设与交于点，当时，
设，则，
同理可得，，
∵
∴
∴
∴，则
∵，，
∴
解得：
∴
∴
∴直线的表达式为
综上所述，直线的表达式为或．科学家如何测算岩石的年龄
你知道科学家如何测算岩石的年龄吗？解决这个问题时也用到函数这个数学工具．
1903年，英国物理学家卢瑟福通过实验证实，放射性物质在放出射线后，这种物质的质量将减少，减少的速度开始较快，后来较慢．物质所剩的质量与时间成某种函数关系．如图为表示镭的放射规律的函数图象．
x
y
y

0
1
2
3