2026三明一中高二上学期10月月考试题数学含解析

三明一中 2025-2026 学年上学期 10 月月考高二数学试卷（考试时间：120 分钟 满分：150 分）第 I 卷（选择题共 58 分）一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，仅有一项是符合题目要求的.1. 直线 的倾斜角是（ ）A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°【答案】C【解析】【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.【详解】因为直线方程为 ，所以斜率 ，设倾斜角为 ，所以 ，所以 ，故选：C.2. 若 ， ，则 （ ）A. 22 B. C. D. 15【答案】C【解析】【分析】根据题意，利用向量的坐标运算公式，以及数量积的运算公式，准确计算，即可求解.详解】由向量 ， ，可得 ，且 ，则 .故选：C.3. 已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】第 1页/共 18页【分析】先化方程为 ，结合两平行线间的距离公式，即可求解.【详解】由直线 ，可得 ，则直线 和 的距离为 .故选：B.4. 已知 ， ， ，若向量 ， ， 共面，则实数 的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，得到存在实数 使得 ，结合题意，列出方程组，即可求解.【详解】由向量 ， ， ，因为向量 ， ， 共面，则存在实数 使得 ，即 ，所以 ，解得 .故选：A.5. 已知直线 ： 与 ： 平行，则 m 的值是（ ）A. B. 2 或 C. 6 D. 或 6【答案】D【解析】【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解.【详解】由直线 ，得 ,解得 或 ，当 时，直线 ： 与直线 ： 平行，当 时，直线 ： 与直线 ： 平行，所以 m 的值是 或 6.第 2页/共 18页故选：D6. 在正三棱锥 中， ，点 分别是棱 的中点，则 （ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用向量的运算法则，得到 ， ，结合向量的数量积的运算公式化，即可求解.【详解】如图所示，在正三棱锥 中， ，可得 ，因为点 分别是棱 的中点，可得 ， ，所以．故选：D．7. 已知点 ， ．若直线 与线段 无公共点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】第 3页/共 18页【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段无公共点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【详解】由 ，得 ，所以直线 的方程恒过定点 ，斜率为 .因为 ， ，所以 ， .如图所示，由图象可知， ， 即 时，直线 与线段 无公共点，所以实数 的取值范围为 ，故选：A.8. 已 知 实 数 ， ， ， 满 足 ， ， ， 则的最大值为（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把问题转化为点到直线的距离求解.【详解】设 ， .因为 ， ，所以 .第 4页/共 18页又 ，即 .所以 为等边三角形.如图：取 中点为 ，则 ，点 在以 为圆心， 为半径的圆上.分别过 做直线 的垂线，垂足分别为 .则 .又 ，所以 ，即 .故选：D二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分.9. 下列命题中，错误的是（ ）A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率B. 经过点 且斜率为 2 的直线方程为C. 直线 的斜率为 0D. 直线 与两坐标轴围成的三角形的面积是 2【答案】AC【解析】【分析】根据直线的斜率与倾斜角的定义判断 AC，利用点斜式直线方程求解判断 B，求出直线与坐标轴的第 5页/共 18页交点坐标，进而计算三角形面积求解判断 D.【详解】对于 A，当直线与 轴垂直时，直线的倾斜角为 ，斜率不存在，故 A 错误；对于 B，过点 且斜率为 2 的直线的方程为 ，即 ，故 B 正确；对于 C，直线 的斜率不存在，故 C 错误；对于 D，对于直线 ，令 ，则 ，令 ，则 ，所以直线 在 轴上的截距为 2，在 轴上的截距为 ，所以直线 与坐标轴围成的三角形的面积为 ，故 D 正确.故选：AC.10. 已知直线 过点 且交圆 于 两点，则下列结论正确的是（ ）A. 若圆 关于直线 对称，则B. 的最小值为C. 若 的方程是 ，则圆 上有 3 个点到直线 的距离为 2D. 圆 在 两点处的切线的交点轨迹方程为【答案】ABD【解析】【分析】根据直线 过圆心，求得 ，可判定 A 正确；由圆的性质得，当 垂直于 时，求得，可判定 B 正确；求得圆心 到直线的距离为 ，结合 ，可判定 C 错误；设，结合 和 ，联立方程组，求得 ，结合 在圆 上，得到 ，可判定 D 正确.【详解】由圆 ，可得圆心 ，半径为 ，对于 A，若圆 关于直线 对称，则直线 过圆心，此时 ，所以 A 正确；对于 B，由点 满足 ，可得点 在圆内，由圆的性质得，当 垂直于 时，此时 最短，且 ，所以 ，所以 B 正确；第 6页/共 18页对于 C，若直线 的方程是 ，则圆心到直线的距离为 ，因为 ，所以圆 上有 个点到直线 的距离为 ，所以 C 错误；对于 D，设 ，可得 ，所以 ，可得 ，由 ，可得 ，可得 ，联立方程组 ，两式相减得到 ，因为 在圆 上，满足 ，即 ，所以 ，即 成立，所以 D 正确.故选：ABD.11. 如图，在棱长为 6 正方体 中，M 是棱 的中点，点 P 是线段 上的动点，点Q 在正方形 内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（ ）A. 若存在点 Q，使得B. 存在点 P，使得第 7页/共 18页C. 面积的最小值是D. 若 ，则三棱锥 体积的最大值是【答案】BD【解析】【分析】利用线面垂直推理判断 A；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断 BC；求出点 的轨迹求解判断 D.【详解】对于 A，假定存在点 ，使得 ，连接 ，由 平面 ， 平面，得 ，而 平面 ，于是 平面 ，又 平面 ，因此 ，而点 在正方形 内（含边界）运动，显然不存在这样的点 ，故 A 错误；对于 BC，建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，令 ，则 ，第 8页/共 18页，假定存在点 ，使得 ，则 ，整理得 ，而 ，解得 ，因此存在点 ，使得 ，故 B 正确；显然点 在直线 上的投影为点 ，则点 到直线 的距离 ，当且仅当 时取等号，因此 面积的最小值是 ，故 C 错误；在 中， ，则 ，即 ，在平面 内以直线 为 轴，线段 中垂线为 轴建立平面直角坐标系，如图，有 ，于是 ，整理得 ，因此以点 为圆心，4 为半径的圆 在正方形 及内部的圆弧即为点 的轨迹，当点 为线段 与圆 的交点时，点 到底面 的距离最大，最大距离为 ，所以三棱锥 体积的最大值为 ，故 D 正确.故选：BD第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 直线 恒过定点 ，则直线 关于 点对称的直线方程为_________．【答案】【解析】第 9页/共 18页【分析】根据直线过定点的求法可求得 点坐标，根据关于 对称的两条直线平行，且到 点距离相等可构造方程求得结果.【详解】由 得： ，当 时， ， ；设直线 关于 点对称的直线方程为 ，，解得： 或 （舍），直线 关于 点对称的直线方程为 .故答案为： .13. 已知点 和点 到直线 的距离相等，且 过点 ，则直线 的方程为______.【答案】 或【解析】【分析】根据题意，分 和直线 过线段 的中点两种情况讨论，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】因为点 和点 到直线 的距离相等，且 过点 ，当直线 时，可得 ，可得直线 的方程为 ，即 ；当直线 过线段 的中点 ，由 ，即 ，则 ，所以直线 的方程为 ，即 ，综上可得，直线 的方程为 或 .14. 若实数 、 满足 ，则 的取值范围是______.【答案】【解析】【详解】令 ，此时， ，第 10页/共 18页且题设等式化为 .于是， 满足方程 .如图，在 平面内，点 的轨迹是以 为圆心、 为半径的圆在 的部分，即点 与弧 并集.故 .从而， .15. 已知空间中三点 ，设（1）已知 ，求 的值；（2）若 ，且 ，求 的坐标.【答案】（1）（2） 或【解析】【分析】（1）根据条件得到 ， ，再利用向量垂直的坐标表示，即可求解；（2）根据条件得到 ，再利用 ，即可求解.【小问 1 详解】因为 ， ，所以 ， ，又 ，所以 ，得到 .第 11页/共 18页【小问 2 详解】因为 ，又 ，所以 ，解得 或 ，所以 的坐标为 或 .四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为 ， ， ．（1）求 BC 边上的中线 AD 的所在直线方程；（2）求△ABC 的外接圆 O 被直线 l： 截得的弦长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求 BC 边的中点 D 的坐标，再得 AD 的斜率即可求解；（2）先求△ABC 的外接圆 O，再求圆心到直线.直线 l 的距离，再由勾股定理可求解.【小问 1 详解】∵ ，∴BC 边的中点 D 的坐标为 ，∴中线 AD 的斜率为 ，∴中线 AD 的直线方程为： ，即【小问 2 详解】设△ABC 的外接圆 O 的方程为 ，∵A、B、C 三点在圆上，∴第 12页/共 18页解得：∴外接圆 O 的方程为 ，即 ，其中圆心 O 为 ，半径 ,又圆心 O 到直线 l 距离为 ,∴被截得的弦长的一半为 ,∴被截得的弦长为 .17. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 底面 ， ，M为 的中点，N 为 的中点，解答以下问题：（1）证明：直线 平面 ；（2）求直线 与平面 的距离；（3）求直线 与平面 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）以 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面 的法向量 ，结合 ，即可证得直线 平面 ；（2）由（1）知： 平面 ，得到直线 与平面 的距离即为点 N 到平面 的距离，结合向量的距离公式，即可求解；第 13页/共 18页（3）设直线 与平面 所成角为 ，利用向量的夹角公式，求得 的值，进而得到直线 与平面 所成角的余弦值.【小问 1 详解】证明：如图所示，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 x，y，z 轴建立坐标系，则 ， ， ， ， ， ， ，可得 ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，所以 ，因为 ，且 平面 ，所以直线 平面 .【小问 2 详解】解：由（1）知： 平面 ，且平面 的法向量为 ，所以直线 与平面 的距离即为点 N 到平面 的距离，设点 到平面 的距离为 ，又由 ，可得 ，所以直线 与平面 的距离为 .【小问 3 详解】解：设直线 与平面 所成角为 ，且 ，因为 ，则 ，所以 ，所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .第 14页/共 18页18. 已知圆 .（1）若直线 与圆 相交，求实数 的取值范围；（2）若点 为 轴上一点，过点 作圆 的切线，切点分别为 和 .①求四边形 面积的最小值；②当点 横坐标为 4 时，求直线 的方程.【答案】（1）（2）① ；②【解析】【分析】（1）利用距离公式即可得到答案.（2）①利用面积的公式即可求出最小值；②利用切点弦方程的公式即可得到答案.【小问 1 详解】命题等价于 到直线 的距离小于 ，即 ，解得 的取值范围是 .【小问 2 详解】①易知 ，所以 ，等号对 成立，故最小值是 ；②因为 ，所以 四点共圆，圆心为 的中点 ，因为 ，所以圆 的半径为 ，第 15页/共 18页方程为 ，即 ，直线 为两圆公共弦所在直线方程，两圆方程相减整理得直线 的方程为 .19. 已知圆 和定点 ，动点 ､ 在圆 上.（1）过点 作圆 的切线，求切线方程；（2）若满足 ，设直线 与直线 相交于点 .①求证：直线 过定点；②求证： .【答案】（1） 或 ，（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设直线方程后由点到直线的距离公式列式求解，（2）设直线 方程，与圆方程联立后由韦达定理化简 后证明，以 得直线 方程与 坐标，再由斜率公式计算 后化简证明【小问 1 详解】第 16页/共 18页当直线斜率不存在时， 与 相离，当直线斜率存在时，设切线方程 即 ，，解得 或 ，切线方程为 或 ，【小问 2 详解】若直线 斜率不存在，由对称性得 ，令 ，由 解得 ，则 ，直线 方程为 ，若直线 斜率存在，设方程为 ，联立直线与圆方程得 ，时得 ，而 ，化简得 ，当 时，直线过 ，不合题意，故 ，直线过 ，而直线 也过 ，综上，直线 过定点 ；， ，故直线 方程为 ，得 ， ，第 17页/共 18页