2025-2026学年北京市海淀区北京大学附属中学预科部高三上学期十月月考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年北京市海淀区北京大学附属中学预科部高三上学期十月月考数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．2B．C．8D．
4．已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
7．若函数的定义域为，则“的最小值为0”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
二、多选题
8．已知的图象连续不间断，根据下表中的数据，可以判定方程的一个根所在区间为（ ）（此处取近似值）
A． B． C． D．
三、单选题
9．在声学中，人们用分贝来描述声音的强弱等级．分贝数由声音强度（单位：）与基准声强（通常取，是人耳能听到的最弱声音）的比值共同决定，计算公式为：．一场热闹的演唱会正在进行，其声音强度是基准声强的倍，而普通交谈时的声音分贝约为．记普通交谈时的声音强度为，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则下列选项中正确的是（ ）
A．既有最大值也有最小值
B．存在实数，使得
C．对任意正整数在区间上均单调递增
D．若且关于的方程有且只有两个实根，则
四、填空题
11．若，则 ．
12．在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为 ．
13．已知且函数的图象恰有三条对称轴在上，则其在上共有 个极大值点．
14．如图，已知函数的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧，则不等式的解集为 ．

15．已知函数的定义域为，给出下列四个结论：
①存在周期函数，使得函数不是周期函数；
②对任意，函数与函数不可能都是奇函数；
③若恒成立且函数不是常值函数，则的图象过定点；
④存在无穷多个周期函数，使得恒成立．
其中所有正确结论的序号是 ．
五、解答题
16．已知函数．
(1)求的最小正周期；
(2)求的单调递增区间．
17．在钝角中，已知．
(1)求；
(2)若的周长为，求的面积．
18．设函数的最大值为2.
(1)求的值；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一，若在上有且仅有3个零点，求的取值范围：
条件①：；
条件②：；
条件③：函数在区间上是增函数．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
19．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若恒成立，求的值．
20．已知函数，曲线在点处的切线经过点．
(1)求的值；
(2)求的极值点个数；
(3)是否存在负数，使得曲线在点处的切线与有且只有一个公共点？如果存在，求所有符合条件的的个数；如果不存在，说明理由．
21．已知整数数列满足．定义数列，其中，对，表示集合的元素个数．
(1)对于下列数列，分别写出其对应的：
①；②；
(2)记，证明：若，则；
(3)记为，当时，记为．证明：与的各项对应相等．
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2.5
5
8.5
13
参考答案
11．
12．（答案不唯一，满足即可）
13．2
14．或
15．②③④
16．（1）因为
所以最小正周期；
（2）函数的单调递增区间为．
由，得
所以的单调递增区间为：．
17．（1）由余弦定理可知，所以，
故，
，，
则，
，
或．
当时，，不为钝角三角形，舍去，
时，满足要求．
（2）由（1）可得，
由正弦定理，即．
周长，所以．
则的面积．
18．（1）由题可知，
，
因为函数的最大值为2，所以，解得．
（2）选择①③：
当时，．
因为，
所以，
即．
当时，；
因为函数在区间上是增函数，所以，即．
综上，．此时，．
当时，；
若在上有且仅有3个零点，则，
得．
因此的取值范围是．
选择②③：
当时，．
因为，所以当时取得最大值，
因此，即．
当时，；
因为函数在区间上是增函数，所以，即．
综上，．此时，．
当时，；
若在上有且仅有3个零点，则，得．
因此的取值范围是．
选择①②不符合要求，理由如下：
当时，．
因为，所以，即．
因为，所以当时取得最大值，
因此，即．
结合这两个条件，不能得到唯一的，即不唯一．
19．（1）由已知，函数，则，
又，，
所以点处的切线方程为，即．
（2）方法一：由（1）可得，．
当时，恒成立，因此在定义域内单调递减，
而当时，与题意不符；
当时，令，解得，
则变化如下表．
要使恒成立，只需，
令，
则，令，解得，
则变化如下表．
因此且可得，又由上表是唯一的最大值，因此．
方法二：由（1）可得，因此恒成立，即恒成立，
又在处有导数，因此在处取到最小值，亦是极小值，
从而，解得，
当时，，，
令，解得，则变化如下表．
因此，即当时，恒成立．
20．（1）函数，求导得，则，而，
于是曲线在点处的切线方程为，
又曲线在点处的切线经过点，解得，
所以的值为.
（2）由（1）知，其定义域为，求导得，
令，求导得，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
而，则存在，使得，
当时，；当时，，
函数，即在上单调递减，在上单调递增，
，
函数在和上各有唯一零点，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
因此函数在处取得极大值，在处取得极小值，
所以函数有2个极值点.
（3）曲线在点处的切线方程为，
由曲线在点处的切线与有且只有一个交点，
得函数有唯一零点，求导得，
由（2）知，，则当时，在恒成立，
函数在上单调递增，又，因此函数有唯一零点，符合题意；
当时，由（2）知在恒成立，
函数在单调递减，则，而当时，，
因此存在，使得，则函数在上存在零点，此时至少两个零点，不合题意；
当时，由（2）知在恒成立，
函数在上单调递减，，由（2）知在上单调递增，
于是，，
由（2）知在上单调递减，，
因此当时，，
存在，使得，
函数在上存在零点，函数至少两个零点，不合题意，
所以的所有取值个数为1.
21．（1）根据题意可得
①；②．
（2）因，且数列为整数数列，
所以，，，而.
若，则均等于，于是，故．
若，则中恰有一个不等于，由于，所以，
于是，，故．
若，则中恰有两个不等于，而，，故，
于是，或1，，故.
若，由，故．
综上，.
（3）先证明引理1：对任意．
设．因为，所以均不等于．
所以．故对任意，．
再证明引理2：记数列，对任意，若，则．
设．因为，所以均不等于．而，
所以中恰有项不等于，于是，
进而．易见，所以．
以下证明题目命题.
当时，或，两种情况下都有与的各项对应相等．
假设使得结论不成立的最小，即当时均有与的各项对应相等，
所以与的前项对应相等．根据引理2，与的前项分别相等．
假设与的第项不相等，根据引理1，的第项依次是．
（ⅰ）假设的第项是，则的第项也是，矛盾；
（ⅱ）假设的第项是时，则的第项也是，
于是的第项也是，矛盾；
（ⅲ）假设的第项小于，根据引理2的证明，的第项与第项相等．
于是的前项均小于，则的第项是，矛盾.
故原命题成立．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
C
D
A
BC
C
D
－
0
＋
↘
极小值
↗
＋
0
－
↗
极大值
↘
0
－
0
＋
↘
极小值
↗