陕青宁晋金太阳2026届高三上学期9月开学联考数学试卷（含答案）

这是一份陕青宁晋金太阳2026届高三上学期9月开学联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.抛物线x2=9y的焦点坐标为( )
A. (0,94)B. (0,−94)C. (94,0)D. (−94,0)
2.已知函数f(x)=x+1,x≤22f(x−1),x>2，则f(3)=( )
A. 3B. 4C. 6D. 8
3.已知样本数据90，90，100，100，100，110，110的方差为s12，80，80，100，100，100，120，120的方差为s22，60，60，100，100，100，140，140的方差为s32，则( )
A. s12>s22>s32B. s12>s32>s22C. s32>s12>s22D. s32>s22>s12
4.直线l： 5x+2y−4r−2=0与圆C：x2+(y−1)2=r2(r>0)的位置关系为( )
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不确定的
5.如图，在4×4的菱形网格(每个小菱形的边长均为1)中，向量a与b的夹角为π3，则c⋅d=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6.已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)=13x3−12x2−6x，则f(x)的极大值点为( )
A. 3B. 2C. −2D. −3
7.在等腰直角▵ABC中，AB=AC，O为▵ABC内的一点，且∠BCO=30 ∘，∠CBO=15 ∘.则∠BAO=( )
A. 65 ∘B. 75 ∘C. 72.5 ∘D. 82.5 ∘
8.如图，可任意转动的正方体ABCD−A1B1C1D1容器(忽略容器的器壁厚度)内部装满了水，E为AA1的中点，在点E,B,C1的位置凿出三个小洞(将三个小洞视为质点)，则这个容器最多可盛原来水的( )
A. 23B. 1724C. 34D. 1924
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知集合A=x(x−2)(x−a)=0 ，B=x(x−3)(x−4)=0 ，则A∩B可能为( )
A. ⌀B. 2C. 3D. 4
10.已知正项数列{an}的首项a1=12，前n项积为Tn，且(n+1)an−nan+1=anan+1，则( )
A. a2=32B. 数列{nan}是等差数列
C. {an}是递增数列D. T100>1100
11.将由n个顶点和m条边(m条边均为线段)构成的图，称为一个(n,m)图.下列结论正确的是( )
A. 三棱柱是一个(6,9)图
B. 若平面内的5个定点(任意三点不共线)和7条边构成一个(5,7)图，则这样的(5,7)图共有120个
C. 若一个(4,4)图的4个顶点分别位于平面直角坐标系的四个象限，且该(4,4)图有且仅有2条边与x轴相交，则这样的(4,4)图共有8个
D. 若一个(8,12)图的8个顶点分别位于空间直角坐标系Oxyz的8个部分(三个坐标平面把不在坐标平面内的点分成8个部分)，且该(8,12)图有且仅有2条边与平面Oyz相交，则这样的(8,12)图共有7920个
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.复数i(3+7i)的实部为 ．
13.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需的时间T=klgN(单位：ℎ)，其中k为常数．在此条件下，训练8000个单位的数据量与训练125000个单位的数据量所需的时间之和为54h，则k= .在此条件下，当训练x个单位的数据量所需的时间为18h时，x= ．
14.已知F1，F2分别是双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，关于原点对称的两点P，Q均在C上，|QF2|+|PF2|=6a，且△PF1F2是钝角三角形，则C的离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆x24+y22=1的焦点相同，且M的长轴长是短轴长的 3倍.
(1)求M的方程；
(2)若过点(1,0)且斜率为12的直线l与M交于A，B两点，求|AB|．
16.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD,E是BC的中点．
(1)证明：AD⊥PE．
(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．
17.已知函数f(x)=x+1−(2x+1)lnx．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．
(2)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(3)若关于x的不等式lnx−ax2−axb>0，所以b=1,a= 3，
因此椭圆M为x23+y2=1．
(2)如图，
根据题意，直线l的斜率k=12，其方程为y=12(x−1)，
联立y=12(x−1)x23+y2=1，化简可得7x2−6x−9=0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
根据韦达定理，那么有x1+x2=67,x1x2=−97，
所以|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+(12)2× (x1+x2)2−4x1x2
= 52× 3649−4×(−97)=67 10．
所以|AB|=67 10．
16.【详解】(1)取AD的中点为O，连接OP，OE，
因为▵PAD是等边三角形，所以OP⊥AD，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
所以OP⊥底面ABCD，因为OA,OE⊂底面ABCD，
所以OP⊥OA，OP⊥OE，所以OA，OE，OP两两垂直，
则分别以OA，OE，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，
不妨设AD=2，
则P0,0, 3，A1,0,0，B1,2,0，C−1,2,0，D−1,0,0，E0,2,0，
AD=−2,0,0，PE=0,2,− 3，
因为AD⋅PE=−2×0+0×2+0×− 3=0，所以AD⊥PE，所以AD⊥PE；
(2)在平面PBC中，PB=1,2,− 3，PC=−1,2,− 3，
设m=x,y,z为平面PBC的一个法向量，
则m⋅PB=0m⋅PC=0⇒x+2y− 3z=0−x+2y− 3z=0,
令y= 3，则m=0, 3,2为平面PBC的一个法向量．
又平面PAD的一个法向量n=0,1,0，
设平面PAD与平面PBC夹角为θ，
则csθ=m⋅nm⋅n=0+ 3+0 7⋅1= 217，
所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为 217．

17.解：(1)由题意可得，f′(x)=−1x−2lnx−1，则f′(1)=−2，
又f(1)=2，所以切线方程为y−2=−2(x−1)，即y=−2x+4．
(2)证明：令g(x)=f′(x)=−1x−2lnx−1，x>0，
则g′(x)=1x2−2x=1−2xx2，
当x∈(0,12)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当x∈(12,+∞)时，g′(x)