南平市建阳市2024-2025学年中考数学全真模拟试题含解析

这是一份南平市建阳市2024-2025学年中考数学全真模拟试题含解析，共23页。试卷主要包含了下列各数中，无理数是，6的绝对值是，如图，A(4，0），B等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．小明早上从家骑自行车去上学，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达学校，小明骑自行车所走的路程s（单位：千米）与他所用的时间t（单位：分钟）的关系如图所示，放学后，小明沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，下列说法：
①小明家距学校4千米；
②小明上学所用的时间为12分钟；
③小明上坡的速度是0.5千米/分钟；
④小明放学回家所用时间为15分钟．
其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，平面直角坐标中，点A（1，2），将AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应点B恰好落在双曲线y=kx（x>0）上，则k的值为( )
A．2B．3C．4D．6
3．下列各数中，无理数是（ ）
A．0B．C．D．π
4．6的绝对值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，△由△绕点P旋转得到，则点P的坐标为（ ）
A．（0， 1）B．（1， -1）C．（0， -1）D．（1， 0）
6．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADCB．∠ABDC．∠BACD．∠BAD
8．如图，△ABC中AB两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C′，且△A′B′C′与△ABC的位似比为2：1．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，A(4，0），B（1，3），以OA、OB为边作□OACB，反比例函数（k≠0）的图象经过点C．则下列结论不正确的是（ ）
A．□OACB的面积为12
B．若y5
C．将□OACB向上平移12个单位长度，点B落在反比例函数的图象上．
D．将□OACB绕点O旋转180°，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上．
10．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )
A．68°B．20°C．28°D．22°
11．已知一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
12．如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C的半径为（ ）
A．2.3B．2.4C．2.5D．2.6
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．对于实数a，b，定义运算“*”：a*b=，例如：因为4＞2，所以4*2=42﹣4×2=8，则（﹣3）*（﹣2）=___________.
14．如图，已知点A(4，0)，O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O、A)，过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于______．
15．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是_____．
16．如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，以A为圆心，AB为半径的弧与BE交于点F，则∠EFD＝_____°．
17．已知关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，则k的值是_________．
18．分解因式：_______
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.
(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=时，求的值；
(2)如图2,当tan∠ABC=时,过D作DH⊥AE于H,求的值；
(3)如图3,连AD交BC于G,当时,求矩形BCDE的面积
20．（6分）某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：
本次接受调查的跳水运动员人数为 ，图①中m的值为 ；求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．
21．（6分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，且DH是⊙O的切线，连接DE交AB于点F．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AE=1，，求⊙O的半径．
22．（8分）如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为的中点，作DE⊥AC，交AB的延长线于点F，连接DA．求证：EF为半圆O的切线；若DA＝DF＝6，求阴影区域的面积．（结果保留根号和π）
23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2＝1有两根α，β求m的取值范围；若α+β+αβ＝1．求m的值．
24．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，点，在边上，．求证：．
25．（10分）如图，已知是直角坐标平面上三点.将先向右平移3个单位，再向上平移3个单位，画出平移后的图形；以点为位似中心，位似比为2，将放大，在轴右侧画出放大后的图形；填空：面积为 .
26．（12分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．
（1）函数y=+1的图象可以由我们熟悉的函数 的图象向上平移 个单位得到；
（2）函数y=+1的图象与x轴、y轴交点的情况是： ；
（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是 ．
27．（12分）△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN=∠B．
如图（1）当射线DN经过点A时，DM交AC边于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形．如图（2），将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于E，F点（点E与点A不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF的面积等于△ABC的面积的时，求线段EF的长．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、C
【解析】
从开始到A是平路，是1千米，用了3分钟，则从学校到家门口走平路仍用3分钟，根据图象求得上坡（AB段）、下坡（B到学校段）的路程与速度，利用路程除以速度求得每段所用的时间，相加即可求解．
【详解】
解：①小明家距学校4千米，正确；
②小明上学所用的时间为12分钟，正确；
③小明上坡的速度是千米/分钟，错误；
④小明放学回家所用时间为3+2+10＝15分钟，正确；
故选：C．
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
2、B
【解析】
作AC⊥y轴于C，ADx轴，BD⊥y轴，它们相交于D，有A点坐标得到AC=1，OC=1，由于AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点，所以相当是把△AOC绕点A逆时针旋转90°得到△ABD，根据旋转的性质得AD=AC=1，BD=OC=1，原式可得到B点坐标为（2，1），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值．
【详解】
作AC⊥y轴于C，AD⊥x轴，BD⊥y轴，它们相交于D，如图，∵A点坐标为（1，1），∴AC=1，OC=1．
∵AO绕点A逆时针旋转90°，点O的对应B点，即把△AOC绕点A逆时针旋转90°得到△ABD，∴AD=AC=1，BD=OC=1，∴B点坐标为（2，1），∴k=2×1=2．
故选B．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了坐标与图形变化﹣旋转．
3、D
【解析】
利用无理数定义判断即可.
【详解】
解：π是无理数，
故选：D.
此题考查了无理数，弄清无理数的定义是解本题的关键.
4、A
【解析】
试题分析：1是正数，绝对值是它本身1．故选A．
考点：绝对值．
5、B
【解析】
试题分析：根据网格结构，找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.
试题解析：由图形可知，
对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点（0，-1），根据旋转变换的性质，点（1，-1）即为旋转中心.
故旋转中心坐标是P（1，-1）
故选B.
考点：坐标与图形变化—旋转.
6、C
【解析】
由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．故选C．
7、D
【解析】
∵∠ACD对的弧是，对的另一个圆周角是∠ABD，
∴∠ABD=∠ACD（同圆中，同弧所对的圆周角相等），
又∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
即∠ACD+∠BAD=90°，
∴与∠ACD互余的角是∠BAD.
故选D.
8、D
【解析】
设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似变换的概念列式计算．
【详解】
设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2（﹣1﹣x）＝a+1，
解得x＝﹣（a+3），
故选：D．
本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似变换的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．
9、B
【解析】
先根据平行四边形的性质得到点的坐标，再代入反比例函数（k≠0）求出其解析式，再根据反比例函数的图象与性质对选项进行判断.
【详解】
解：A(4，0），B（1，3），，
，
反比例函数（k≠0）的图象经过点，
，
反比例函数解析式为.
□OACB的面积为,正确；
当时，，故错误；
将□OACB向上平移12个单位长度，点的坐标变为，在反比例函数图象上，故正确；
因为反比例函数的图象关于原点中心对称，故将□OACB绕点O旋转180°，点C的对应点落在反比例函数图象的另一分支上，正确.
故选：B.
本题综合考查了平行四边形的性质和反比例函数的图象与性质，结合图形，熟练掌握和运用相关性质定理是解答关键.
10、D
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′=α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠D′=∠D=90°，
∵∠2=∠1=112°，
而∠ABD=∠D′=90°，
∴∠3=180°-∠2=68°，
∴∠BAB′=90°-68°=22°，
即∠α=22°．
故选D．
11、D
【解析】
根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理即可求解．
【详解】
设多边形的边数是n，则
(n−2)⋅180=3×360，
解得：n=8.
故选D.
此题考查多边形内角与外角，解题关键在于掌握其定理.
12、B
【解析】
试题分析：在△ABC中，∵AB=5，BC=3，AC=4，∴AC2+BC2=32+42=52=AB2，
∴∠C=90°，如图：设切点为D，连接CD，∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，
∵S△ABC=AC×BC=AB×CD，∴AC×BC=AB×CD，即CD===，
∴⊙C的半径为，故选B．
考点：圆的切线的性质；勾股定理．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、-1．
【解析】
解：∵-3＜-2，∴（-3）*（-2）=（-3）-（-2）=-1．故答案为-1．
14、
【解析】
此题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形的性质和判定的应用，题目比较好，但是有一定的难度，属于综合性试题．
【详解】
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE= ，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出= ，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．
过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，
∴BF∥DE∥CM．
∵OD=AD=3，DE⊥OA，
∴OE=EA= OA=2，
由勾股定理得：DE= =5，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴，
∵AM=PM= （OA-OP）= （4-2x）=2-x，
即，
解得：
∴BF+CM= ．
故答案为．
考核知识点：二次函数综合题．熟记性质，数形结合是关键.
15、k＞2
【解析】
根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数k﹣2＞1．
【详解】
因为抛物线y＝（k﹣2）x2＋k的开口向上，
所以k﹣2＞1，即k＞2，
故答案为k＞2.
本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
16、45
【解析】
由四边形ABCD为正方形及半径相等得到AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，利用等边对等角得到两对角相等，由四边形ABFD的内角和为360度，得到四个角之和为270，利用等量代换得到∠ABF＋∠ADF＝135°，进而确定出∠1＋∠2＝45°，由∠EFD为三角形DEF的外角，利用外角性质即可求出∠EFD的度数．
【详解】
∵正方形ABCD，AF，AB，AD为圆A半径，
∴AB＝AF＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴∠ABF＝∠AFB，∠AFD＝∠ADF，
∵四边形ABFD内角和为360°，∠BAD＝90°，
∴∠ABF＋∠AFB＋∠AFD＋∠ADF＝270°，
∴∠ABF＋∠ADF＝135°，
∵∠ABD＝∠ADB＝45°，即∠ABD＋∠ADB＝90°，
∴∠1＋∠2＝135°−90°＝45°，
∵∠EFD为△DEF的外角，
∴∠EFD＝∠1＋∠2＝45°．
故答案为45
此题考查了切线的性质，四边形的内角和，等腰三角形的性质，以及正方形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
17、－1
【解析】
∵关于x，y的二元一次方程组 的解互为相反数，
∴x=-y③，
把③代入②得：-y+2y=-1，
解得y=-1，所以x=1，
把x=1，y=-1代入①得2-3=k，
即k=-1.
故答案为-1
18、
【解析】
=2（）=.
故答案为.
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、 (1) ；（2）80；（3）100.
【解析】
(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=得出,设FK=3a,AK=5a，可求得BF=a,故；（2）过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，得△EGA∽△EHD，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED，故可求出矩形的面积.
【详解】
解：(1)过A作AK⊥BC于K,
∵sin∠BEF＝,sin∠FAK＝,
∴,
设FK=3a,AK=5a,
∴AK=4a,
∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴BK=CK=4a,
∴BF=a,
又∵CF=7a,
∴
(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED，
∵∠AGE=∠DHE=90°,
∴△EGA∽△EHD,
∴，
∴,其中EG=BK,
∵BC=10,tan∠ABC＝，
cs∠ABC＝，
∴BA＝BC· cs∠ABC＝，
BK= BA·cs∠ABC＝
∴EG=8,
另一方面：ED=BC=10,
∴EH·EA=80
(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,
∵BC∥KT, ，
∴，同理：
∵FG2= BF·CG ∴，
∴ED2= KE·DT ∴ ，
又∵△KEB∽△CDT,∴，
∴KE·DT ＝BE2， ∴BE2＝ED2
∴ BE=ED
∴
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.
20、（1）40人；1；（2）平均数是15；众数16；中位数15.
【解析】
（1）用13岁年龄的人数除以13岁年龄的人数所占的百分比，即可得本次接受调查的跳水运动员人数；用16岁年龄的人数除以本次接受调查的跳水运动员人数即可求得m的值；（2）根据统计图中给出的信息，结合求平均数、众数、中位数的方法求解即可.
【详解】
解：（1）4÷10%=40（人），
m=100-27.5-25-7.5-10=1；
故答案为40，1．
（2）观察条形统计图，
∵，
∴这组数据的平均数为15；
∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数为16；
∵将这组数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有，
∴这组数据的中位数为15.
本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．
21、 (1)见解析;(2).
【解析】
（1）连接OD，由DH⊥AC，DH是⊙O的切线，然后由平行线的判定与性质可证∠C=∠ODB，由圆周角定理可得∠OBD=∠DEC，进而∠C=∠DEC，可证结论成立；
（2）证明△OFD∽△AFE，根据相似三角形的性质即可求出圆的半径.
【详解】
（1）证明：连接OD，
由题意得：DH⊥AC，由且DH是⊙O的切线，∠ODH=∠DHA=90°，
∴∠ODH=∠DHA=90°，
∴OD∥CA，
∴∠C=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD=∠C，
∵∠OBD=∠DEC，
∴∠C=∠DEC，
∴DC=DE；
（2）解：由（1）可知：OD∥AC，
∴∠ODF=∠AEF，
∵∠OFD=∠AFE，
∴△OFD∽△AFE，
∴，
∵AE=1，
∴OD=，
∴⊙O的半径为．
本题考查了切线的性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理的推论，相似三角形的判定与性质，难度中等，熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
22、（1）证明见解析 （2）﹣6π
【解析】
（1）直接利用切线的判定方法结合圆心角定理分析得出OD⊥EF，即可得出答案；
（2）直接利用得出S△ACD＝S△COD，再利用S阴影＝S△AED﹣S扇形COD，求出答案．
【详解】
（1）证明：连接OD，
∵D为弧BC的中点，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠CAD+∠EDA＝90°，即∠ADO+∠EDA＝90°，
∴OD⊥EF，
∴EF为半圆O的切线；
（2）解：连接OC与CD，
∵DA＝DF，
∴∠BAD＝∠F，
∴∠BAD＝∠F＝∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD+∠F＝90°，
∴∠F＝30°，∠BAC＝60°，
∵OC＝OA，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，∠COB＝120°，
∵OD⊥EF，∠F＝30°，
∴∠DOF＝60°，
在Rt△ODF中，DF＝6，
∴OD＝DF•tan30°＝6，
在Rt△AED中，DA＝6，∠CAD＝30°，
∴DE＝DA•sin30°＝3，EA＝DA•cs30°＝9，
∵∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝60°，
由CO＝DO，
∴△COD是等边三角形，
∴∠OCD＝60°，
∴∠DCO＝∠AOC＝60°，
∴CD∥AB，
故S△ACD＝S△COD，
∴S阴影＝S△AED﹣S扇形COD＝＝．
此题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解直角三角形及扇形面积求法等知识，得出S△ACD＝S△COD是解题关键．
23、 (1)m≥﹣34；(2)m的值为2．
【解析】
（1）根据方程有两个相等的实数根可知△＞1，求出m的取值范围即可；
（2）根据根与系数的关系得出α+β与αβ的值，代入代数式进行计算即可．
【详解】
(1)由题意知，(2m+2)2﹣4×1×m2≥1，
解得：m≥﹣34；
(2)由根与系数的关系得：α+β＝﹣(2m+2)，αβ＝m2，
∵α+β+αβ＝1，
∴﹣(2m+2)+m2＝1，
解得：m1＝﹣1，m1＝2，
由(1)知m≥﹣34，
所以m1＝﹣1应舍去，
m的值为2．
本题考查的是根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝1（a≠1）的两根时，x1+x2＝﹣ba，x1x2＝ca是解答此题的关键．
24、见解析
【解析】
试题分析：证明△ABE≌△ACD 即可.
试题解析：法1：
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵AD=CE,
∴∠ADE=∠AED,
∴△ABE≌△ACD,
∴BE=CD ,
∴BD=CE,
法2：如图，作AF⊥BC于F,
∵AB=AC,
∴BF=CF,
∵AD=AE,
∴DF=EF,
∴BF－DF=CF－EF,
即BD=CE.
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】
（1）分别画出A、B、C三点的对应点即可解决问题；
（2）由（1）得各顶点的坐标，然后利用位似图形的性质，即可求得各点的坐标，然后在图中作出位似三角形即可．
（3）求得所在矩形的面积减去三个三角形的面积即可.
【详解】
（1）如图，即为所求作；
（2）如图，即为所求作；
（3）面积=4×4-×2×4-×2×2-×2×4=6.
本题主要考查了利用平移变换作图、位似作图以及求三角形的面积，作图时要先找到图形的关键点，把这几个关键点按平移的方向和距离确定对应点后，再顺序连接对应点即可得到平移后的图形.
26、（1），1；（2）与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；（3）答案不唯一，如：y=﹣+1.
【解析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据点的坐标满足函数解析式，可得答案．
【详解】
（1）函数的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移1个单位得到，
故答案为：，1；
（2）函数的图象与x轴、y轴交点的情况是：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点，
故答案为：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；
（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是：y=﹣+1， 答案不唯一，
故答案为：y=﹣+1．
本题考查了函数图像的平移变换，函数自变量的取值范围，函数图象与坐标轴的交点等知识，利用函数图象的平移规律是解题关键．
27、（1）△ABD，△ACD，△DCE（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明见解析；（3）4.
【解析】
（1）根据等腰三角形的性质以及相似三角形的判定得出△ADE∽△ABD∽△ACD∽△DCE，同理可得：△ADE∽△ACD．△ADE∽△DCE．
（2）利用已知首先求出∠BFD=∠CDE，即可得出△BDF∽△CED，再利用相似三角形的性质得出，从而得出△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出DH的长，从而利用S△DEF的值求出EF即可
【详解】
解：（1）图（1）中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE．
（2）△BDF∽△CED∽△DEF，证明如下：
∵∠B+∠BDF+∠BFD=30°，∠EDF+∠BDF+∠CDE=30°，
又∵∠EDF=∠B，
∴∠BFD=∠CDE．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∴△BDF∽△CED．
∴．
∵BD=CD，
∴，即．
又∵∠C=∠EDF，
∴△CED∽△DEF．
∴△BDF∽△CED∽△DEF．
（3）连接AD，过D点作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H．
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=BC=1．
在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=102﹣3，
∴AD=2．
∴S△ABC=•BC•AD=×3×2=42，
S△DEF=S△ABC=×42=3．
又∵•AD•BD=•AB•DH，
∴．
∵△BDF∽△DEF，
∴∠DFB=∠EFD．
∵DH⊥BF，DG⊥EF，
∴∠DHF=∠DGF．
又∵DF=DF，
∴△DHF≌△DGF（AAS）．
∴DH=DG=．
∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=3，
∴EF=4．
本题考查了和相似有关的综合性题目，用到的知识点有三角形相似的判定和性质、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，要仔细观察图形、选择合适的判定方法，注意数形结合思想的运用．